«Решение уравнений в целых числах»

Целью нашей работы является узнать, как можно больше о решении уравнений в целых числах, выявить способы их решения, научиться их решать, узнать их значение в нашей жизни, и то, как они повлияли на развитие науки, рассмотрение наиболее ярких и известных задач о решении уравнений в целых числах. Также мы составим учебное пособие, представляющее собой задачник, для учеников нашей гимназии.

Итак, условно можно выделить несколько способов решения уравнений в целых числах:

1) способ перебора вариантов,

2) решение уравнений в целых числах, как квадратных относительно какой-либо переменной,

3) метод остатков,

4) метод бесконечного спуска,

5) метод разложения на множители,

6) решение систем уравнений в целых числах с помощью выделения области допустимых значений,

7) цепные дроби,

Рассмотрим еще несколько уравнений, которые можно решить как квадратные относительно, например, х.

Задача: Решите уравнение в целых числах х2-4ху+5у2=169.

Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х, тогда а=0, b=-4у, с=5у2-169. Дискриминант в таком случае будет равен -4у2+676. Найти х можно по формуле х=(16у2±√-4у2+676)/2. Для того, чтобы можно было найти х,

-4у2+676 должно быть положительным или равно нулю, а следовательно, должно выполняться неравенство у2≤169. Это возможно, если у[-13;13], уN. Подставляя, вместо у все возможные значения, выясним, при каких корень из дискриминанта извлекается, и найдем х.

Задача: Решите уравнение в целых числах х2+2ху+2у2=4.

Решение: Решим уравнение относительно х. Тогда получим, а=1, b=2у, с=2у2-4. Значит, √D=√-4у2+16. Для того, чтобы извлекся корень, выражение -4у2+16 должно быть неотрицательным, то есть должно выполняться неравенство 16≥4у2, отсюда у{±2,±1,0}. При у=±1 корень из дискриминанта будет нецелым числом, при у=±2 D=0, при у=0 √D=±4. Получаем, корни х=-2, у=2; х=2, у=-2, х=±2, у=0.

Задача: Решите в целых числах уравнение: 1 + 2k + 22k+1 = n2.

Решение. Если k = 0, то уравнение примет вид 5 =n2 и не имеет решений.

Если k = -1, то уравнение примет вид 2 =n2 и тоже не имеет решений.

Если k ≤ -2, то 1 < 1 + 2k + 22k+1 < 1 + 14 + 14 < 2 и 1 2 < 2. В этом случае данное уравнение также не имеет решений.

Остается рассмотреть случай, когда k - натуральное число. Тогда 1 + 2k + 22k+1 ≤ 11 и n - целое неотрицательное число. Не теряя общности рассуждений можно считать, что n - натуральное число, так как при n < 0 n2 = (-m)2, где m = -n - натуральное число.

2k(1 + 2k + 1) = (n - 1)(n + 1).

Понятно, что n будет нечетным числом. Пусть n = 2m + 1. Тогда (n - 1)(n + 1) = 2m(2m + 2) = 4m(m + 1) и наше уравнение примет вид:

2k - 2(1 + 2k + 1) = m(m + 1). (*)

Числа 2k - 2 и 1 + 2k + 1 взаимно просты. Действительно, если d их наибольший общий делитель, то число

1 + 2k + 1 - 2 ⋅ 2k - 2 = 1 делится на d. Значит d равно 1.

Аналогично доказывается, что числа m и m + 1 тоже являются взаимно простыми.

Пусть m четное число. Так как правая часть уравнения (*) делится на m, то и правая его часть тоже делится на m. Так как и 1 + 2k + 1 - нечетное число, то 2k - 2 делится на m. При этом правая часть уравнения (*) делится на 2k - 2, значит и его правая часть тоже делится на 2k - 2. В силу того, что m + 1 - нечетное число, то m делится на 2k - 2. Натуральные числа m и 2k - 2 делятся друг на друга. Это возможно только при m = 2k - 2. Тогда m + 1 = 1 + 2k + 1 и m = 2k + 1. Получили, что m равно двум различным натуральным числам 2k + 1 и 2k - 1. Чего быть не может.

Также приходит к противоречие, если m + 1 - четное число. Таким образом, ни m, ни m + 1 не могут быть четными. Но из двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является четным. Значит, данное уравнение решений в целых числах не имеет.

Задача: Решить уравнение в целых числах 4х2 - 2ху + 2у2 + у – 2х – 1 = 0

Решение: Рассмотрим уравнение как квадратное относительно х:

4х2 – 2(у + 1)х + (2у2 + у -1) = 0,

D1 = (у + 1)2 – 4(2у2 + у – 1) = - 7у2 – 2у + 5.

D1 0

- 7у2 – 2у 0, + 5

7у2 + 2у - 0, 5

-1 у 0 .

Так как у – целое число, то у = -1 или у =0.

Если у =0, то исходное уравнение примет вид:

4 х2 – 2х – 1= 0,

D1 = 1 + 4 = 5,

Целых корней нет.

Если у = -1, то исходное уравнение примет вид:

4 х2 = 0,

х= 0.

Ответ: (0;-1).

Задача: Доказать, что уравнение не имеет решений в целых числах, кроме случаев .

Мы надеемся, что решение уравнений в целых числах включат в школьную программу, а пока это не произошло, мы планируем самостоятельно продолжать изучение этой темы.

7. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ /Учеб.пособие/ И.Р. Высоцкий, Д.Д. Гущин, П.И.Захаров, Москва: Астрель, 2010