«Разностные уравнения и поведение их решений»

Объектом данного исследования являются уравнения в конечных разностях

для различных значений α >0 (0<α<1, α=1, α>1) и колеблемость (осцилляции) решений этого уравнения.

Предметом изучения данного исследования и стали условия осцилляции, неосцилляции и асимптотические поведения решения вышенаписанного уравнения.

Целью работы являются исследования осцилляции и неосцилляции решения данного уравнения с помощью различных теорем и их доказательств. Для достижения намеченной цели необходимо последовательное доказательство вспомогательных теорем (лемм) методом от противного.

Степень изученности проблемы. Изучение разностных уравнений начато в ХVIII веке (например, см. Кушнир Е.А. Развитие теории разностных уравнений в ХVIII и в первой половине XIX века – канд. дисс.- Черновцы, 1960) и этой тема посвящена литература, изданная в XIX и в первой половине XX ( [1], [2], [5], [6], [7], [12], которых нет в библиотеках г.Уфы , но они указаны в списке литературы [3]), и начиная со второй половины XX века этому посвящены книги многих авторов( как советских и российских, так и зарубежных).

Начиная со второй половины XX века, проблеме исследования осцилляции решений дифференциальных, дифференциально – разностных, дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом и разностных уравнений посвящена довольно обширная работа, напечатанных как в качестве отдельных статей, так и книг и монографий. Исследования осцилляции решений уравнений в конечных разностях были начаты Скалкиной М.А.([8]-[11]).

В работе [4] достаточно полно рассмотрены и анализированы работы по осцилляции решений разностных уравнений до 1998 года. В них исследуются достаточные, необходимые и достаточные, необходимые условия осцилляции и неосцилляции решений конечно разностных уравнений I, II, III, IV и n-го порядков (в том числе и уравнений с запаздыванием).

Источниковая база исследования. Для наших исследований взяты уравнения, леммы и теоремы работы [4] и они рассмотрены для уравнения нечетного порядка, доказана сформулированная в [4] теорема 19 для случая , а для остальных - проверены доказательства для уравнения нечетного порядка.

Методологической основой исследования является доказательство лемм и теорем методом от противного.

Научная новизна исследования заключается в следующем:

• в изучении научных работ последних лет по теме работы;

• доказательство теоремы, сформулированной в работе [4].

Новизной исследования поставленной задачи является само ознакомление с разностными уравнениями, их видами и решениями, дифференциальных уравнений с запаздывающим (отклоняющимся) аргументом, осцилляция и неосцилляция, асимптотика решений выше перечисленных уравнений, которые не рассматриваются в программе математического анализа и дифференциальных уравнений педагогических вузов.

Научно-практическая значимость исследования. Исследование носит теоретический характер, а его результаты могут быть использованы в исследованиях студентов вузов, аспирантов, интересующихся этой проблематикой, (т.е. теми, кто занимается качественным исследованием решений дифференциальных, разностных, дифференциально-разностных, функциональных, функционально-разностных уравнений).

Структура работы. В соответствии с поставленными целью и задачами исследования работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе дается понятие разностного уравнения и их решения, некоторые свойства однородных и неоднородных разностных уравнений. Вторая глава посвящена исследованию осцилляционных свойств решений уравнения

и формулируются вспомогательные предложения. Доказана, сформулированная в работе [4] теорема 19 для случая и уравнения .

Под «разностным уравнением» будем понимать «уравнение в конечных разностях» (или то же самое «конечно разностное уравнение»). Под решением разностного уравнения будем понимать решение, продолжаемое вправо.

Решение рассматриваемого уравнения (или разностного уравнения высшего порядка) назовем осциллирующим (или колеблющимся), если оно меняет знак на . В противном случае решение назовем не осциллирующим (или не колеблющимся).

§1.1. Общие понятия разностных уравнений

Разностным уравнением (обыкновенным – с одной независимой переменной x) называется функциональное уравнение, в которое неизвестная функция у = у(х) входит при различных значениях аргумента, а именно это есть уравнение вида

Ф(x, y(x + h0), y(x + hl),., y(x + hm)) = 0 (0.1)

Величины h0,h1.,hm называются отклонениями (аргумента), они могут быть постоянными и переменными. Когда все hk (к = 0,1,2) постоянны, их называют обычно разностями.

Функция у = у(х) является решением уравнения (0.1) на множестве Е, если она при подстановке в уравнение обращает его в тождество Е. Отметим одну особенность разностных уравнений: подставляя функцию у(х) в уравнение (0.1), должны требовать, чтобы для имели смысл все выражения у(х + ho), y(x + h1 ),…,у(х + hm), т.е. чтобы функция y(z) была определена в точках z = x + ho , x + h1,.,x + hm. Но если Е, то x + hk E + hk={z/z = x + hk , E}, - это есть множество Е, сдвинутое на вектор hk . Таким образом, множество М = (E + ho) (E + h1) . (E + hm), на котором функция у = у(х) определена, и множество Е, на котором она является решением уравнения (0.1), вообще говоря, не совпадают. Может оказаться даже Е М = 0. Но если h0 = 0, то всегда Е М.

Будем говорить, что решение у = у(х) определено (непрерывно, аналитично и т.п.) на множестве М, если функция у(х) определена (непрерывна, аналитична и т.п.) на множестве М и является решением уравнения (0.1) на множестве Е.

Если hk- целые числа, то (0.1) называется уравнением с целыми разностями. Оно называется уравнением второго порядка, когда hk=k (к=0,1,2) и в него явно входят у(х) и у(х + 2).

Укажем на связь разностных уравнений с уравнениями в конечных разностях. Пусть функция y(x) определена для всех значений x вида x = xo+kh, где хо и h > 0 - фиксированные числа, а к = 0,1,2,. или k Z. Конечной разностью первого порядка (с шагом h) функции у(х) в точке h называется величина у(х) = у(х + h)- у(х); оператор Δ, очевидно, линейный. Индуктивно вводятся разности второго, третьего, и т.д. порядков:

. Используя метод математической индукции, нетрудно установить формулы

, (0.2)

. (0.3)

Часто интересуются задачей: восстановить функцию у(х) по некоторому соотношению между ее разностями. В отличие от уравнения вида (0.1) и уравнения вида

Ф(х, у(х), у(х + 1),., у(х + т)) = 0,

уравнение

F(x, y(x), y(x),., my(x)) = 0 (0.4)

назовем уравнением в конечных разностях. Если в него явно входят m - я разность, число т назовем разностным порядком уравнения.

Для простоты будем считать xо = 0, h = 1 - к этому всегда можем перейти в результате замены t = (x-xo )/ h; имеем t = k. Если в уравнение (0,1) явно содержащее у(х + т), вместо у(х + п) (п = 0,1,2,.,т) подставить их выражение через разности по формуле (0.3), то придем к уравнению в конечных разностях порядком т. Наоборот, уравнение (0.4), пользуясь формулой (0.2), можно преобразовать к разностному уравнению (0.1), однако порядок последнего может оказаться меньше разностного порядка т. Например, уравнение 2у(х) + 3 (x) - y(x) = х разностного порядка т = 3 преобразуется в разностное уравнение Зу(х+2) - у(х+3)= х порядка 1.

§ 1.2. Некоторые свойства однородных разностных уравнений и их решения.

Рассмотрим линейное разностное уравнение первого порядка

, (1.1)

где Q(x) — заданная функция от х, ai—данные функции х, а f(x) — искомая функция, называется линейным уравнением порядка k; однородным, если Q(X) = 0, И неоднородным, если Q(х) 0. Воспользовавшись выражением р-й разности f(x) через f(x), f(x+1), f(x+2), ., т. е.

,

мы сможем уравнение (1.1) преобразовать к следующему:

f (х + к) + bxf (x + k — 1)+ .+bkf(x) = Q(x), (1.2)

где bi — некоторые функции х. Обратно, замечая, что при целом р справедливо равенство

,

мы всякое уравнение вида (1.2) сможем привести к виду (1.1). Итак, вместо того чтобы рассматривать решение уравнения (1.1), мы можем рассматривать уравнение (1.2); этот последний вид пред-почтительнее для исследований, поэтому мы и будем им пользо-ваться.

Мы построим общую теорию линейных разностных уравнений. В этой общей теории мы будем полагать коэффициенты линейного уравнения в форме (1.2) функциями от х.

Займемся сначала исследованием однородного уравнения. Итак, рас-смотрим разностное уравнение

f(x+k) + P1 (x)f(x+k— 1)+…+ Pk (x) f (x) = 0, (1.3)

где Р(х) — заданные функции от х. Будем опять считать х при-нимающим значения 0, 1, 2, . Функции Р1(х), Р2(х), ., Pk(x) будем считать имеющими конечные и определенные значения на этом множестве и Pk (x) не тождественно равной нулю на нем.

Каждое решение уравнения (1.3) определяется заданием начальных значений f(0)=f0, ., f(k—1)=fk-1.

Прежде всего мы можем доказать теорему.

Теорема 1. Если f1(х), f2(х), ., fp (х) — решения уравнения

f(x+k)+P1f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0, (1.3)

то и функция φ(x)

φ(x) = C1 f1 (х) + С2f2 (х)+. + Cnfp (х), (1.4)

где С1; С2, ., Сn —постоянные, будет также решением этого уравнения.

Доказательство. Положим Ро (х) = 1, тогда

.

Меняя во второй части порядок суммирования, получим ,

так как все fi(x) — частные решения нашего уравнения.

Значит, φ(x) — тоже решение уравнения, и теорема доказана.

Теперь мы можем доказать и теорему об общем решении линейного уравнения без правой части.

Теорема 2. Если f1(x), f2(x), . fk (х)— решения урав-нения (13):

f(x+k)+P1f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0,

0причем определитель

(1.5)

отличен от нуля, то общее решение нашего линейного однородного уравнения имеет вид

f(x)=C1f1(x)+ C2f2(x)+ …+Ckfk(x)

где С1 ,С2,.,Ck — произвольные постоянные.

Доказательство. Рассмотрим k решений уравнения (1.3) f1(x), f2{x),., fk(x), определяемых начальными значениями:

f1(0)=f11, f1(1)=f12, … f1(k-1)=f1k,

f2(0)=f21, f2(1)=f22, … f2(k-1)=f2k,

…

fk(0)=fk1, fk(1)=fk2 ,… fk(k-1)=fkk

и притом выбранными так (что, естественно, всегда можно сде-лать), чтобы определитель (1.5)

был отличен от нуля.

Заданием начальных значений функции f1(x), f2(х),.fk (x) полностью определяются на всей нашей последовательности х =0,1,., и значит, по первой теореме функция . φ(x). = C1f1(x)+…+Ckfk(x),

где все C1 ,С2 ,…,Ck — постоянные, также будет решением уравнения (13).

Легко показать, что все решения уравнении (1.3) содержатся в совокупности функций φ(x). Действительно, пусть мы имеем произвольное решение f(x). Оно вполне определяется заданием начальных значений f1,., fk. Выберем теперь из совокупности функций φ(x) такую, которая имела бы те же начальные значения. Иначе говоря, нам нужно найти такие постоянные С1, Сг, С3,.,Ск, чтобы были выполнены k равенств:

f1=φ(0)=C1f11+C2f12+…+Ckf1k

f2=φ(1)=C1f21+C2f22+…+Ckf2k

…

Fk=φ(k-1)=C1fk1+C2fk2+…+Ckfk

Но это можно сделать, н притом единственным образом, так как определитель системы отличен от нуля.

Решив эту систему линейных уравнений относительно С1, Сг, С3,.,Ск , мы найдем их значения и получим, таким образом, функцию φ(x), имеющую те же начальные значения, что и f(x). Но так как начальные значения определяют единственным образом функцию, удовлетворяющую уравнению (1.3), то φ(x) =f(x) (на множестве х = 0, 1, 2,.).

Тем самым теорема доказана.

Пример. Пусть требуется решить уравнение

f(x+4)+2f(x+3)+3f(x+2)+2f(x+1)+f(x)=0

при начальных условиях

f(0=)f(1)=f(3)=0, f(2)=-1.

Решение. Составляем характеристическое уравнение

λ4+2λ3+3λ2+2λ+1=0,

или (λ2+λ+1)2=0, или

=0;

его корни:

, ;

поэтому общее решение будет

=

,

где (i=1, 2, 3, 4) – новые произвольные постоянные.

Воспользовавшись начальными условиями, составляем уравнения для определения этих постоянных:

откуда

Итак,

§ 1.3. Общие понятия неоднородных линейных разностных уравнений

Рассмотрим теперь решение неоднородного уравнения

F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=Q(x).

Относительно неоднородного линейного уравнения имеет место теорема, аналогичная соответствующей теореме в теории линейных неоднородных дифференциальных уравнений.

Теорема 3. Общее решение линейного неоднородного уравнения F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=Q(x) (1.6)

представляется в виде суммы частного его решения и общего решения линейного однородного уравнения

F(x+k)+P1(x)f(x+k-1)+…+Pk(x)f(x)=0, (1.7)

т. е. f(x)=f*(x)+C1f1(x)+…+Ckfk(x), (1.8)

где fi (x)— частные решения однородного уравнения и притом такие, что для них

D[f1(0),…fk(0)] 0.

Доказательство. Пусть f*(x)— любое решение нашего неоднородного уравнения. Заменим тогда f(x) через . f*(x)+ φ(x). Мы получим, полагая P0(x)=1, что

.

Так как f*(х) — решение нашего неоднородного уравнения, то

и, значит,

+P1(x) +…+Pk(x) )=0.

Но общее решение этого уравнения представляется, как это следует из теоремы 2, в виде

,

где fs(x), s=1, 2,., k,—частные решения однородного уравнения и притом такие, что

D[f1(0),…fk(0)] 0,

откуда и следует, что

f(x)=f*(x)+C1f1(x)+…+Ckfk(x).

Пример. Рассмотрим последовательность чисел, начинающихся с нуля и единицы, в которой каждый последующий член равен сумме двух непосредственно предшествующих ему предыдущих: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …(числа Фибонначи). Найти выражение общего члена последовательности.

Решение. Согласно условию задача сводится к решению конечно-разностного уравнения

f(x+2)=f(x+1)+f(x)

с постоянными коэффициентами при начальных условиях f(0)=0, f(1)=1; f(x) обозначает число Фибонначи номера х. Составляя характеристическое уравнение λ2 -λ-1=0, находим его корни

, ,

так что

Постоянные C1 и C2 определятся из начальных условий, т.е. из уравнения C1 + C2=0, ( C1 + C2)+ (C1 - C2)=2, решая которые найдем

, ,

и следовательно,