«Методы половинного и шагового деления Microsoft Excel, MathCAD, Pascal»

В общем случае для функции f(x) не существует аналитических формул для нахождения корней. Более того, их точное вычисление не всегда является необходимым. Это объясняется тем, что встречающиеся в инженерной практике уравнения часто содержат коэффициенты, величины которых имеют приближенные значения. В таких случаях решается задача определения корней с некоторой заранее заданной степенью точности.

В дальнейшем предполагаем, что уравнение (1) имеет только изолированные корни, т.е. для каждого из них существует некоторая окрестность, не содержащая других корней этого уравнения. Процесс нахождения изолированных действительных корней нелинейного уравнения включает два этапа:

1) отделение корней, т.е. нахождение интервалов [a, b], внутри которых содержится один и только один корень уравнения;

2) уточнение приближенных значений отдельных корней до заданной степени точности.

5

Этап отделения корней может быть выполнен различными способами. Во-первых, приближенное значение корня иногда бывает известно из физического смысла задачи. Во-вторых, для отделения корней может использоваться графический способ, основанный на построении графика функции y = f(x), где приближенные значения действительных корней уравнения f(x) = 0 соответствуют абсциссам точек пересечения или касания графика с осью 0x (y = 0). Наиболее часто применяется метод отделения корней, основанный на следующем положении: если на концах некоторого интервала [a, b] значения непрерывной функции f(x) имеют разные знаки, т.е. f(a)f(b) , то на этом интервале уравнение (1) имеет хотя бы один корень. При этом корень является единственным, если производная функции f'(x) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала [a, b].Рассмотрим простейший алгоритм отделения корней нелинейных уравнений, ориентированный на использование ЭВМ. Исходный интервал [, ], на котором определена и непрерывна функция f(x), разбивается на n отрезков равной длины

(x0, x1), (x1, x2), ., (xn -1, xn),где x0  x1 .xn и x0 = , xn = . Затем вычисляются значения функции f(xj) в точках xj (j = ) и выбирается отрезок (xi, xi+1), на концах которого функция имеет разные знаки, т.е. f(xi)f(xi+1)  0. Если длина этого отрезка достаточно мала (можно предположить единственность корня), то считается, что корень отделен на интервале [a, b], где a = xi, b = xi+1. В противном случае границы исходного интервала сдвигаются, т.е.  = xi,  = xi + 1, и процедура повторяется.

Необходимо отметить, что длина исходного интервала [], на котором определена функция f(x), может изменяться в широких пределах. Поэтому число отрезков n, а также длина искомого

Программа

Program ex_1;

Uses crt;

Var c,d,h,a,b:real ; k:integer ;

Function F(x:real ):real ;

Begin

F:= exp(x*ln(2))-4*x

End ;

Begin

Writeln ('vvedite c,d,h');

Readln (c,d,h);

k:= 0 ;

a:=c;

Repeat

b:=a+h;

If F(a)*F(b)<= 0 then

begin

k:=k+1 ;

Writeln ('k=',k,' a=',a:5 :2 ,' b=',b:5 :2 );

end ;

until b>d;

end.

Ответ: k=1 a=0 b=0.5

k=2 a=3.5 b=4

x=0.310 f(x)=-0.0005

19

a=3.5

b=4

e=0.001

a=3.9000b=3.9500f(a)=-0.671472135f(b)=-0.345018737

a=3.9000b=3.9250f(a)=-0.671472135f(b)=-0.510526065

a=3.9000b=3.9125f(a)=-0.671472135f(b)=-0.591564328

a=3.9000b=3.9063f(a)=-0.671472135f(b)=-0.631658927

a=3.9000b=3.9031f(a)=-0.671472135f(b)=-0.651600629

a=3.9000b=3.9016f(a)=-0.671472135f(b)=-0.661545147

a=3.9000b=3.9008f(a)=-0.671472135f(b)=-0.666510831

x=3.900 f(x)=-0.6690

Выводы

Мы нашли корни уравнения в Microsoft Excel, MathCAD, Pascal 2 методами: шаговым и половинного деления с точностью до 0,001. Из схем и таблиц можно увидеть, что получилось 2 корня. Наиболее точные корни получились в средах Excel и Pascal, хотя наиболее удобной в использовании была среда MathCAD, так как в нее уже заложены специальные формулы, позволяющие найти более точное значение уже со второго приближения. Уточнение корня напрямую зависит от точности его нахождения e, чем меньше e, тем точнее будет корень. Среда Excel выводила результат в ячейках. Выводить его самостоятельно было бы затруднительно.

При нахождении корней были получены следующие результаты:

MathCAD:

X=0.31 на интервале [0; 0.5]

X=3.999 на интервале [3.5; 4]

Microsoft Excel

X=0.309 на интервале [0; 0.5]

X=3.999 на интервале [3.5; 4]

Pascal

X=0.310 на интервале [0; 0.5]

X=3.900 на интервале [3.5; 4]