«Методика изучения отдельных вопросов алгебры и начал анализа»

Теперь весьма трудно было бы дать даже приблизительно библиографию работ, возникших под влиянием постоянного изменения содержания школьного образования. Как любой вузовский преподаватель, автор в своей работе использует учебники, специальную литературу по методике обучения математике, литературу, адресованную учителям, в частности, журнал «Математика в школе».

Содержание учебно-методического пособия, несомненно, будет использоваться при проведении практических занятий, окажется полезным студентам в самостоятельной работе.

Часть вопросов, изложенных в пособии, поможет молодым учителям при чтении профильных курсов, при подготовке выпускников школ к единому государственному экзамену.

Изучение элементов теории делимости в школе имеет, вообще говоря, две главные цели.

С одной стороны, теория делимости есть база для изучения операций в новом числовом множестве — множестве обыкновенных дробей и особенно для выработки техники вычислений с такими дробями. Хорошая техника преобразования дробей достигается при достаточно свободном владении навыками применения таких понятий, как «наибольший общий делитель», «наименьшее общее кратное», «простые и взаимно простые числа» и т. д. Однако если согласиться с тем, что область применения обыкновенных дробей довольно узка и, следовательно, вычисления с дробями, имеющими многозначные числители и знаменатели, в школе не должны иметь места, то необходимость в построении прочной базы для таких вычислений отпадает. Именно такую позицию занимают сторонники реформы преподавания математики, что нашло свое отражение в учебниках для V—VI классов.

С другой стороны, элементарная теория делимости есть введение в один из красивейших разделов классической математики — теорию чисел. Уже изложение элементарных вопросов теории делимости позволяет ознакомить учащихся с изящными теоремами, яркими фактами математики и ее истории и т. д. Через элементарную теорию делимости довольно легко подойти к пониманию ряда вопросов современной алгебры и современной математики вообще. Но при всей перспективности такого направления в изучении математики в V—VI классах оно, по крайней мере, сейчас, преждевременно. И отбирая материал, обязательный для изучения всеми учащимися, составители программы и учебников существенно ограничили его объем. Собственно, в современной программе такой темы вообще нет, а вопросы теории делимости целых чисел распределены по всему курсу математики V—VI классов.

Первый из вопросов теории делимости, с которым встречаются учащиеся VI класса, есть вопрос о делении с остатком. В учебнике и книге для учителя соответствующий материал и методика изложены достаточно убедительно. Нужно подчеркнуть, что для ученика главный смысл изучаемых фактов станет ясным тогда, когда они увидят, что запись и переход от неправильной дроби к числу есть по существу одно и то же.

В V же классе вводятся понятия делителей и кратных и изучаются простейшие признаки делимости (на 10, на 5, на 2 и на 3). Так как изучение этих вопросов имеет чисто практическую цель, то и здесь изложение носит чисто индуктивный характер и лишь при изучении признака делимости на три можно (с большой долей осторожности!) опереться на элементы дедукции.

В VI классе изучаются четыре вопроса, которые относятся к теории делимости. Во-первых, при изучении свойств дробей вводится понятие наибольшего общего делителя. Но так как при сокращении дробей мы не будем требовать обязательного деления числителя и знаменателя сразу на наибольший общий делитель, а вполне согласимся и с последовательным сокращением, то введенное понятие фактически пока не будет использоваться и учащиеся должны овладеть им лишь на уровне первоначального ознакомления. Второй и вытекающий из него третий вопросы — простые и составные числа и разложение числа на простые множители. Хотя внешне цель изучения этих вопросов сводится к облегчению сокращения дробей, учителю следует иметь в виду и смежные теоретические цели: повторение очень важной идеи разбиения множества на классы на примере классификации натуральных чисел и осторожный подход к основной теореме арифметики целых чисел (о единственности представления целого числа в виде произведения простых множителей). Разложение на простые множители используется в V классе и при изучении последнего по порядку вопроса теории делимости — введении понятия наименьшего общего кратного. Это понятие сразу же используется при операциях с дробями, и поэтому его смысл понятен учащимся. Но не следует забывать и о смежных задачах — закреплении понятия пересечения множеств и, как и всегда, при изучении числовых множеств — совершенствовании навыков вычислений.

Уменьшение объема обязательного материала по теории делимости оставляет простор для творчества учителя во внеклассной работе — трудно найти в V-VI классах более благодатный материал, столь удачно соединяющий относительную доступность с возможностью глубоких обобщений.

Здесь представлена разработка по теории делимости чисел, в котором даны необходимые определения, перечислены свойства, доказаны теоремы и приведены примеры с решениями.

Этот материал очень важен именно сегодня в связи с включением элементов теории чисел в задания ЕГЭ.

1.1. Делимость целых чисел. Делимость суммы, разности и произведения

Известно, что любое целое положительное число можно единственным способом разложить в произведение простых множителей, так, например,

400=24 • 52; 1001=7 -11-13; 290981=43 -67 • 101.

Более простой факт: если произведение тп делится на 7, то хотя бы одно из чисел т и п должно делиться на 7.

Эти факты считаются очевидными. Между тем доказать их не так просто. Это мы сделаем позже, а начнем с самых простых утверждений, относящихся к делимости целых чисел.

Всюду латинскими буквами: а,b, с, т, п, х, у и т.д. мы обозначаем целые числа.

Мы говорим, что целое число а делится на целое число b, если существует такое число k, что а = bk. В таком случае число b называется делителем числа а.

Сразу выведем два простых утверждения:

1° . Если числа а и b делятся на с, то и их сумма а + b и их разность делятся на с.

2°. Если а делится на с, а b делится на d, то их произведение аd делится на сd.

Докажем 1°. Поскольку а делится на с, то а=kc, где k - некоторое целое число. Точно также b = тс, где т - целое число. Поэтому а + b = (k+т)с, откуда следует, что каждое из чисел а + b и а - b делится на с.

Докажем 2°. Пусть а = kс, b=md. Тогда аb = (kт)сd, откуда следует, что аb делится на сd.

Задача 1. Докажите, что если аb делится на с и а + b делится на с, то: а2 + b2 делится на с.

Решение. Выразим а2 + b2 через и аb:

По условию делится на с, следовательно, делится на с. По условию аb делится на с, поэтому 2аb делится на с. Так как число равно разности двух чисел, делящихся на с, согласно утверждению (1°) оно само делится на с.

Задача 2. Докажите, что делится на .

Решение. Выражение разлагается на множители:

.

Если а и b - целые, то оба множителя будут целыми числами. Отсюда следует, что делится на .

Задача 3. Какие из следующих утверждений верны, а какие - нет:

а) если одно слагаемое делится на 15, а другое не делится на 15, то их сумма не делится на 15;

б) если каждое из двух слагаемых не делится на 15, то их сумма не делится на 15;

Решение. а) Это утверждение верно. Докажем это. Пусть , причем а делится на 15, а b не делится на 15. Докажем, что с не делится на 15. Предположим противное: пусть с делится на 15. Но тогда по утверждению (1°) разность делится на 15. Мы получили противоречие с условием задачи.

б) Это утверждение неверно. Приведем противоречащий пример: 7 + 8 = 15. Здесь каждое из двух слагаемых не делится на 15, в то время как их сумма делится на 15.

Важное замечание. Подчеркнем, что когда спрашивается: «верна какая-то теорема (какое-то математическое утверждение) или нет» - то имеется в виду: «верно ли это при всех значениях букв, во всех возможных случаях?». Поэтому, когда мы доказываем, что теорема верна, мы должны проводить рассуждение так, чтобы оно годилось для всех случаев. Если же мы хотим показать, что теорема неверна, то достаточно привести один опровергающий пример; так мы построили ответ на вопрос 3б.

1.2. Деление с остатком

Отметим на числовой оси точки, соответствующие целым числам (рис.1). Пусть b - некоторое натуральное (целое положительное) число.

Выделим на рисунке все целые числа, делящиеся на b. Они расположены на оси на равном расстоянии друг от друга. Эти числа называют еще кратными числу b.

Рис. 1

Рис.2

Пусть теперь какое-то число а не кратно b. Тогда оно попадает между двумя числами, кратными b- между и (рис. 2).

По этому поводу можно сформулировать такое утверждение.

Если а и b - целые числа, причем b>0, то существует такое целое число q, что а =bq+r, где \"остаток\" r - целое число, удовлетворяющее неравенству . Эти числа q и r определяются (по данным а и b) единственным образом.

Пусть числа а и b заданы своими записями в десятичной системе. Чтобы найти \"частное\" q и остаток r, не нужно, конечно, рисовать отрезок длины а на числовой оси и \"укладывать\" на нем много раз отрезок длины b. Для этого существует более рациональный способ. Это - известное всем правило деления одного числа а на другое число b \"столбиком\". Это деление можно продолжать до тех пор, пока остаток не станет меньше, чем делитель. Например, если делить 1973 на 31, то при делении получится частное 63 и остаток 20 или .

Замечание про отрицательные числа. В утверждении, выделенном курсивом, мы считаем, что «делитель» b - положительное число, и про остаток мы сказали, что , но про \"делимое\" а мы ничего такого не говорили.

Разберем пример, когда делимое а - отрицательное число. Пусть , b= 7. Тогда , где 0 < 5 < 7. Следовательно, остаток при делении (-23) на 7 равен 5.

Задача 1. Докажите, что числа: 104 и 106, дают одинаковые остатки при делении на 11.

Решение. Имеем 104 = 11 • 909 +1, 106 = 11 • 90909 + 1. Следовательно, оба числа дают при делении на 11 один и тот же остаток 1.

Заметим, что условие: « x дает при делении на т остаток r (где )», эквивалентно такому: х =тt + r, где t - целое число.

Пусть в этой формуле t пробегает все множество целых чисел {., -2, -1, 0, 1, 2,.}, в то время как т и r фиксированы, не меняются (скажем, т = 8, , тогда ). При этом формула дает все возможные числа, для которых остаток от деления на т равен r. Если изобразить эти числа на оси, то получится множество точек, отстоящих друг от друга на расстояние т:

(на нашем рисунке изображено множество чисел ).

Таким образом, если задано , то все множество целых чисел можно разбить на т классов: к одному классу отнести все числа, дающие при делении на т остаток 1, к другому - остаток 2, и так и далее. Эти классы можно записать так:

и наконец, последний (вернее, \"нулевой\") класс . В него входят все числа, дающие при делении на т остаток 0.

Например, если т = 8, то всего классов 8; каждое целое число х может попасть в один из классов . Заметим, что если т задано, то два числа и попадают в один и тот же класс в том и только в том случае, если их разность делится на т.

Второе решение задачи 1. Поскольку делится на 11, то числа 106 и 104 дают одинаковые остатки при делении на 11

Задача 2. Какой остаток (при каждом натуральном п) дает число при делении на число

Решение. Перепишем данное число так:

.

Из этой записи видно, что если число п + 1 больше 3, то остаток всегда равен 3. Если п + 1 = 2 (при п = 1), то, поскольку , остаток равен 1. Если п + 1 = 3 (при п = 2), то остаток равен 0.

Задача 3. Докажите, что из 8 целых чисел всегда можно выбрать два таких, разность которых делится на 7.

Решение. Пусть даны любые 8 целых чисел. Найдем остаток каждого из них от деления на 7. Всего существует 7 возможных остатков: 0, 1, 2. 3. 4, 5, 6. А у нас имеется 8 остатков. Значит, хотя бы два из них совпадают. Следовательно, два из наших чисел давали один и тот же остаток при делении на 7: Тогда их разность должна делиться на 7.

1.3. Делители

В этом разделе, а также в 1.4, 1.5 и 1.6 мы будем рассматривать только

натуральные, то есть целые положительные числа. Возьмем какое-то целое число а и выпишем все его делители. Например, у числа а = 48 множество D всех его делителей состоит из 10 чисел: D={1, 2, 3,4, 6, 8, 12, 16,24,48}.

Множество D делителей данного числа а всегда обладает некоторой симметрией, которую мы сейчас объясним.

Если b - делитель числа а, то , где - целое число. Конечно, при этом тоже будет делителем числа а. Такие два делителя, произведение которых равно а, называются дополнительными. Например, 3 и 16 -дополнительные делители числа 48. Сопоставляя каждому делителю дополнительный, мы получим взаимнооднозначное отображение множества D на себя. Например, для числа а = 48 это отображение можно задать так:

Делитель 1 2 3 4 6 8 12 16 24 48

Дополнительный делитель 48 24 16 12 8 6 4 3 2 1

Задача 1. Докажите, что если число не является полным квадратом, то у него четное количество делителей, а если является квадратом - то нечетное.

Задача 2. Пусть целое число а четно и не делится на 4. Докажите, что у числа а столько же четных делителей, сколько нечетных.

Указание. Постройте взаимнооднозначное отображение множества четных делителей числа а на множество его нечетных делителей.

Каждое натуральное число а, большее 1, имеет, по крайней мере, два делителя: 1 и а. Число а называется простым, если у него нет других делителей, и составным - если они есть. Вот первые десять простых чисел: 2, 3. 5. 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

1.4. Простые числа

Каждое натуральное число можно разложить в произведение простых чисел.

Действительно, пусть нам дано составное число а. Мы можем разложить его в произведение двух множителей, меньших а. Если среди них есть хотя бы один не простой, то мы можем и его разложить в произведение двух множителей. Если среди них опять будут составные, они опять разлагаются на множители и т.д.

.

Этот процесс не может продолжаться бесконечно, поскольку каждый сомножитель меньше самого числа.

(В нашей схеме на каждом «этаже» числа меньше, по крайней мере, вдвое, чем на предыдущем «этаже»). В результате мы придем к разложению на простые множители.

Обычно равные простые множители собирают вместе и записывают разложение так: , в общем случае: , где

- простые числа. (Конечно, пока не ясно, почему такое разложение единственно. Это мы докажем ниже в 1.6).

Чтобы начать процесс разложения данного числа а в произведение простых, нужно найти хотя бы один его простой множитель. Никакого простого способа для этого не существуют; если про число а заранее ничего неизвестно, приходится перебирать простые числа и по очереди испытывать, делится ли а на 2, 3, 5 и т.д.

Пример. Разложим число 1970 на простые множители. Оно четное -делится на 2: . Далее, 985 явно делится на 5: 985 = 5 • 197. Пробуем делить 197 на 7, 11, 13 - не делится. Далее можно не пробовать; поскольку 172 = 289 > 197, то 197 не может иметь ни одного делителя, отличного от 1 и 197,то есть 197 - простое. (Если 197 = аk , где 197 > а > 17, то 1 < /г < 17. а таких делителей 197 не имеет). Итак, 1970 = 2 • 5 • 197.

1.5. Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

Пусть а и b - два целых числа, не равные одновременно нулю.

Рассмотрим все числа, на которые делятся и а, и b одновременно. Выберем из них наибольшее число и назовем его наибольшим общим делителем. Дальше будем обозначить наибольший общий делитель чисел а и b через НОД (а, b)

Пример. Общие делители чисел 48 и 30: 1, 2, 3, 6. Таким образом, отсюда видно, что НОД (48, 30) = 6. Точно также легко проверить, что НОД(4, 12) = 4, НОД(21,91) = 7, НОД(15,28)=1.

Если НОД (а, b)= 1, то числа а и b называются взаимно простыми.

Задача. При каких натуральных п будут взаимно просты числа: и

Решение. Предположим, что числа и имеют общий делитель d. Тогда число , тоже имеет делитель d. Значит, . Следовательно, и взаимно просты при любом п.

Теперь сформулируем основной факт, в который упирается доказательство единственности разложения на простые множители.

Теорема 1. Если числа а и b взаимно просты и произведение bх делится на а, то х делится на а.

Теорема 1.1. Если числа а и b взаимно просты и bх = ау, то существует t такое, что х =at и у =bt.

1.6. Основная теорема арифметики

В 1.4 мы показали, что всякое число можно разложить на простые множители. Теперь, пользуясь теоремой 1, мы можем доказать больше.

Теорема 2. (\"Основная теорема арифметики\").

Каждое натуральное число разлагается на простые множители единственным образом.

Доказательство. Сначала докажем такую лемму.

Лемма 1. Если числа - простые и делится на то одно из чисел равно .

Прежде всего, заметим, что если простое число р делится на простое число то (в противном случае, если , то р и q взаимно просты-простое число, по определению, не имеет делителей, кроме самого себя и единицы).

Отсюда сразу следует утверждение леммы для п = 1. Для п = 2 оно вытекает прямо из теоремы 1: если делится на q и то р2 делится на q (то есть ).

Доказательство леммы для п = 3 проведем так. Пусть делится на q. Если р3 = q, то все доказано. Если , то согласно теореме 1 делится на q. Таким образом, случай п = 3 мы свели к уже рассмотренному случаю п =2.

Точно так же от п = 3 мы можем перейти к случаю n= 4, затем к п = 5, и вообще, предполагая, что для п = k утверждение леммы доказано, мы можем легко доказать его для п = k + 1. Это убеждает нас, что лемма верна для всех п. (Такой способ рассуждений называется доказательством по индукции).

Теперь докажем теорему 2.

Предположим, что имеется два разложения числа а на простые множители:

Так как правая часть делится на , то и левая часть должна делиться на . Согласно лемме 1, одно из чисел равно . Сократим обе части равенства на .

Проведем такое же рассуждение для , затем для , ., для . В конце концов, справа сократятся все множители, и останется 1. Естественно, и слева не останется ничего, кроме 1.

Отсюда мы заключаем, что два разложения и могут отличаться только порядком сомножителей.

Используя основную теорему арифметики, можно доказать такие предложения.

1°. Для того, чтобы число а делилось на число b, необходимо и достаточно, чтобы каждый простой множитель, входящий в разложение числа b. входил и в разложение числа а; причем, если простой множитель входит в разложение b k раз, то в разложение числа а он должен входить не менее k раз.

. Пусть а и b разложены на простые множители. Тогда, чтобы найти , нужно перемножить все общие простые множители чисел а и b, причем, если p входит в разложение b k раз, а в разложение числа а l раз, и , то в разложение НОД (а, b) множитель p должен входить k раз.

3°. Пусть с - какой-нибудь общий делитель чисел а и b, а наибольший общий делитель этих чисел. Тогда d обязательно делится на с.

4°. Пусть число а делится на b и с, причем b и с взаимно просты. Тогда а делится на произведение bс.

5°. Пусть число а делится на b и с, и пусть НОД (b, с)=d. Тогда а делится на целое число . Это число k: называется наименьшим общим кратным b и с: .

Задача. Выписать все делители числа 72 • 113.

Решение. Согласно (1°), это будут числа Их удобно записать в такую таблицу:

1 11

7

Всего, таким образом, 12 чисел.

1.7. Прямые на решетке. Линейные уравнения

Начнем с решения такой задачи.

Задача 1. Пусть на клетчатой бумаге нарисован прямоугольник размерами клеток (стороны прямоугольника идут по линиям сетки). Проведем диагональ и отметим все узлы сетки, которые на ней лежат. На сколько частей эти узлы делят диагональ?

Узлами мы называем точки, где пересекаются линии сетки.

Прежде чем решать задачу в общем виде, рассмотрим несколько примеров.

На рис. 3 на клетчатой бумаге взят прямоугольник . Мы видим, что узлы делят диагональ на равные части, и число частей равно 5.

Рис. 3 Рис. 4

Диагональ прямоугольника (рис.4) вообще не проходит через узел, лежащий внутри прямоугольника: число частей - 1.

Нарисуйте ещё несколько прямоугольников на клетчатой бумаге. Проверьте, скажем, что диагональ прямоугольника делится узлами на 2 равные части, прямоугольника - на 3, - на 7, - на 4.

Теперь вы сможете догадаться, что ответ в задаче 1 такой: диагональ прямоугольника разбита узлами на d = НОД (а, b) частей.

Удобнее доказать более сильное утверждение: диагональ делится узлами на d = НОД (а, b) равных отрезков.

Объясним, в первую очередь, почему отрезки, на которые диагональ делится узлами, будут равны. Для того, чтобы это понять, не нужен прямоугольник, удобнее говорить просто о прямой, проведенной на клетчатой бумаге. Пусть прямая проходит через два узла решетки А и В. Будем двигаться по прямой в направлении . Пусть следующий за А узлом, лежащим на прямой , будет С, следующим за В - узел О (рис.5).

Рис.5

Ясно, что : ведь мы можем передвинуть весь лист клетчатой бумаги вдоль прямой АВ так, что точка А перейдет в В, при этом все узлы клетчатой бумаги

снова перейдут в узлы, следовательно, ближайший к А узел С перейдет в ближайший к В узел D. Тем самым мы показали, что узлы на нашей прямой расположены на равных расстояниях друг от друга.

Теперь объясним, почему диагональ прямоугольника разбита на d= НОД (а, b) частей. Пусть k - какой-то общий делитель чисел а и b. Тогда мы можем разбить каждую сторону некоторыми узлами на k равных частей. Проведя через точки деления линии сетки, мы разобьем весь прямоугольник на меньших прямоугольников, а диагональ при этом разобьется на . равных кусков (рис.6). Обратно, если некоторые узлы разбивают диагональ на k равных частей, то, проведя через них линии сетки, мы разобьем на k частей стороны, то есть получим, что k - общий делитель а и b .

Итак, каждому общему делителю k чисел а и b соответствует (взаимно однозначным образом) разбиение диагонали на k равных частей. Ясно, что самому мелкому разбиению (всеми узлами, лежащими на диагонали), соответствует наибольший общий делитель. Задача 1 решена.

Рис. 6

Связь между узлами клетчатой бумаги и целыми числами, которая использовалась в этом решении, легко объясняется с помощью метода координат.

Выберем на клетчатой бумаге

за оси координат две линии сетки, за единицу масштаба - сторону клетки. Тогда узлы сетки можно охарактеризовать так: это - такие точки обе координаты которых -целые числа. Будем их называть целыми точками, а все множество этих точек (узлов) - решеткой.

(Таким образом, задачу 1 можно было бы сформулировать так: «на сколько частей целые точки делят отрезок с концами в точках и ? »).

Рис. 7

На рисунке 7 по решетке проведена прямая, задаваемая уравнением или, то же самое,

Легко видеть, что все возможные точки решетки, лежащие на этой прямой – это (3,2), (6, 4), (9, 6), (12, 8),. по одну сторону от начала координат (0,0) и (-3,-2), (-6,-4), . по другую сторону. Короче, все эти точки можно записать общей формулой: их координаты , где t - любое целое число.

В общем виде сформулируем наше наблюдение так.

Теорема 1.2. Если целые числа а и b взаимно просты, то все целые точки лежащие на прямой ау = bх, находится по формуле х = аt, у = bt, где t - произвольное целое число.

Эта теорема, разумеется - еще один вариант формулировки теоремы 1 из 1.5.

Выше, при решении задачи 1, мы дали наглядное объяснение, а в 1.9 проведем чисто алгебраическое доказательство этой теоремы.

Задача 2. Нарисуйте прямую, задаваемую уравнением и напишите общую формулу, задающую все целые точки этой прямой. (Масштаб и размеры рисунка выбирайте так, чтобы несколько - хота бы три. четыре точки решетки, лежащие на прямой, уместились на рисунке).

Решение. После сокращения на НОД (85, 153) = 17 получим уравнение прямой: . Ближайшие к узлу (0, 0) целые точки на прямой и , а общее решение , где t - любое целое число. Рисунок сделайте сами.

Мы научились решать однородное уравнение в целых числах

Обсудим теперь, как устроено множество решений неоднородного уравнения

Начнем с примеров.

Пример 1. Рассмотрим уравнение . Левая часть при всех х и у делится на 4, а правая - нет. Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Пример 2. Рассмотрим уравнение . Разделим обе части на 4. Получим: . Теперь начертим несколько прямых, уравнения которых . Все эти прямые параллельны (рис.8), нужная нам прямая - четвертая снизу. Заметим, что она проходит через целую точку (5, 5). А остальные целые точки на этой прямой расположены на равных расстояниях (точно так же, как на прямой ).

Отсюда ясно, что все решения нашего уравнения в целых числах:

где t - любое целое число.

Теперь сформулируем общую теорему 3:

а) Уравнение тогда и только тогда имеет решение в целых числах, когда с делится на НОД (а, b).

б) Если НОД (а, b) = 1, с - произвольное число, то уравнение имеет бесконечное число решений в целых числах. Если известно одно решение то все решения имеют вид где t - любое целое число.

Доказательство. Ясно, что числа а и b делятся на d, то при целых х, у число тоже делится на d.

Если же а, b и с делятся на d, то поделив все члены на d, мы придем к случаю, когда НОД (а, b)=1. Рассмотрим такое уравнение.

Пусть одно решение уравнения мы нашли: . Тогда легко найти общую формулу для остальных решений. В самом деле, уравнение мы можем записать теперь так: или . Отсюда по теореме 1.2. получаем: , где t - любое целое число.

Эти общие формулы выражают геометрически очевидный факт: если прямая проходит через целую точку то все другие целые точки расположены на ней с такими же интервалами, как и на параллельной прямой . В самом деле, можно перенести плоскость так, что (0; 0) перейдет в и при этом наши прямые (и множества целых точек) совпадут.

Осталось показать, как найти хотя бы одно решение уравнения (если НОД (а, b)= 1). Заметим, что достаточно сделать это для : если - решение уравнения , то есть , то будет решением уравнения .

Итак, нужно доказать такую лемму.

Лемма 2. Если НОД (а, b) = 1, то существуют целые числа х, у такие, что .

Здесь мы дадим геометрическое объяснение этой леммы; очень короткое алгебраическое доказательство приведено в 1.9. Но это - только доказательство существования нужных х и у. А в 1.8 мы увидим, как действительно можно быстро их найти для конкретных чисел а и Ь, даже довольно больших.

Рис. 8

Рассмотрим множество точек Это -параллелограмм с вершинами (0; 0), (0; 1), (а; b+1), (а; b): см. рис. 8, где , . Внутри него лежат а - 1 целых точек (на каждой прямой по одной - ведь эти прямые пересекают параллелограмм по отрезку длины 1). Посчитаем для каждой из этих целых точек значение Это - целое число, . При этом разным точкам обязательно соответствуют разные (подумайте, почему). Значит, соответствие между целыми точками и числами 1, 2, . , а - 1 взаимнооднозначно (проверьте это для рис.8). В частности, найдется такая, что .

1.8. Алгоритм Евклида

Слово \"алгоритм\" (иногда пишут \"алгорифм\" - это то же самое) означает \"общий метод, применимый к целому классу задач\". Обычно в математике подразумевается, что этот метод можно сформулировать в виде совершенно точного описания - настолько точно и определенно, что любой человек, умеющий только читать и считать, может его выполнить (для любой конкретной задачи, то есть для любых заданных ему значений параметров).

Вы знаете алгоритм, позволяющий любое натуральное число а. записанное в десятичной системе, разделить на другое натуральное число Ъ с остатком - правило \"деления столбиком\".

Алгоритм Евклида - это правило, которое позволяет по двум натуральным числам: а и b найти НОД (а, b). В принципе, для этого можно предложить такой алгоритм:

1) Найти все делители числа а (перепробовав все числа: 1, 2, ., не превосходящие );

2) Найти все общие делителя чисел а и b (проверив, на какие из делителей а делится b);

3)Выбрать из общих делителей наибольший.

Или другой алгоритм: разложить оба числа на простые множители и воспользоваться следствием из теоремы 2 1.6. Однако, если разложения на простые множители ни одного из данных чисел не известны, а числа большие, требуется много вычислений.

Алгоритм Евклида позволяет найти НОД (а, b) в этих случаях быстрее, не отыскивая всех делителей ни у одного из чисел а и b.

Что ещё важнее - алгоритм Евклида дает нам путь к отысканию решений уравнения в целых числах. Заодно мы еще раз докажем теорему об этих уравнениях из 1. 7.

Алгоритм Евклида основан на таком факте:

Лемма 3. Пусть а = bq+ r, тогда НОД (а, b) = НОД (b, r).

Покажем, что у пары чисел (а, b) множество общих делителей в точности такое же, как у пары чисел (b, r). Отсюда, конечно, будет следовать, что и НОД у этих пар один и тот же. Итак, докажем, что каждый общий делитель чисел а и b является также делителем числа r, и наоборот, что каждый общий делитель чисел b и r является делителем числа а.

Докажем сначала первое утверждение. Пусть а и b делятся на т. Тогда bq делится на т, и a-bq=r делится на т.

Перейдем ко второму утверждению. Если b и r делятся на k, то bq делится на k и a=bq+r делится на k.

Доказанная лемма позволяет легко и быстро находить НОД двух чисел. Посмотрим, как это делается.

Пример. Найти НОД (273, 1014).

Решение. Выполняем деление с остатком. По лемме 3:

Ответ: НОД (273, 1014) = 39.

Метод отыскания наибольшего делителя, состоящий в последовательном применении леммы 3, носит специальное название - алгоритм Евклида.

Алгоритм Евклида в общем случае можно описать так. Если у вас имеется два числа а и b, причем , то сначала делим а на b и получаем остаток , который меньше b. Затем делим число b на и находим остаток который меньше, чем . Далее, мы делим число у на число при этом получаем остаток меньший, чем и так далее, пока какой-нибудь остаток не разделится на остаток нацело, без остатка (т.е. ).

Ясно, что указанный процесс обязательно кончится, поскольку каждый остаток меньше предыдущего, а все остатки - неотрицательные числа. Последний остаток и есть НОД (а, b). Действительно,

Геометрический вариант алгоритма Евклида - алгоритм отыскания наибольшей общей меры двух отрезков (рис. 9).

Рис. 9.

На отрезке а откладываем столько раз, сколько это возможно, отрезок b, получаем остаток ; на отрезке b откладываем, пока это возможно, , получаем остаток на откладываем, пока это возможно, , получаем , и т.д.

Правда, для отрезков (длины которых не целые числа) может случиться, что этот процесс никогда не кончится, а будет продолжаться бесконечно (никогда не получится остаток, равный нулю) - это произойдет в той случае, когда отрезки а и b несоизмеримы (вы, вероятно, знаете, например, что диагональ квадрата и его стороны несоизмеримы). Но если этот процесс кончится, то последний ее равный нулю остаток даст наибольшую общую меру отрезков а и b - то есть наибольший отрезок d, такой, что где и - целые числа. Это доказывается точно так же, как мы выше с помощью леммы 3 доказали, что алгоритм Евклида, примененный к целым числам, дает НОД (а, b): а именно, у каждой пары отрезков , , , наибольшая общая мера будет одна и та же, а если целое число раз укладывается в то ясно, что их наибольшая общая мера - как раз .

Задача 1. Докажите, что для любых двух целых чисел и

Указание. Проведите такое же рассуждение, как и в доказательстве леммы 3.

Покажем теперь, как алгоритм Евклида позволяет найти решение уравнения в целых числах. Пусть, например, нужно решить уравнение

(1)

Выше мы нашли НОД (273,1014) =39 из цепочки равенств, которые мы перепишем так:

(2)

Поскольку 156 делится на 39: , то уравнение (1) имеет решения в целых числах. И цепочка равенств (2) позволяет найти одно из решений, последовательно подставив в виде (где хп и уп - целые) остатки :

Конечно, удобнее сразу разделить все числа на 39, тогда в уравнении (1) и равенствах (2), (3) будут встречаться меньшие числа:

(1)

(2)

Отсюда:

(3)

Итак, мы нашли решение уравнения : Отсюда получаем решение (1): . А общее решение, как следует из теоремы 3: где t - любое целое число. Например, при получаем

Тот же способ применим и в общем случае. Если нужно решить уравнение (можно считать, что ), отыскиваем с помощью алгоритма Евклида

и пишем цепочку равенств, из которой находим представление d в виде где и целые числа.

Если с делится на и то числа будут давать решение уравнений

А общее решение, как следует из теоремы 3

Задача 2. Пусть

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

Докажите, что а > 13. Пусть \"алгоритм Евклида\" продолжается не 5 шагов, а п; докажите, что тогда а не меньше п -го члена последовательности

2,3,5,8,13,21. (Ф)

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих. (Эта после-довательность довольно часто встречается в разных задачах и носит специальное название \"Последовательность Фибоначчи\").

Указание к задаче 2. Докажите последовательно неравенства:

Решив задачу 3 а), легко ответить на вопрос: за сколько шагов алгоритм Евклида справится с любыми числами, меньшими 100? Поскольку десятый член последовательности Фибоначчи больше 100, то, значит, десять шагов алгоритм Евклида для чисел продолжаться не может.

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

А числа 89 и 55 - пример такой пары, для которой он продолжается наибольшее возможное число - девять шагов.

1.9. Выберем наименьшее

Здесь мы дадим краткие формальные доказательства теоремы 1 и леммы 2.

Доказательство леммы 2. Пусть а и b - взаимно простые числа.

Рассмотрим множество I всех натуральных чисел z, представимых в виде и выберем в нем наименьшее число d.

Докажем, что a делится на d. Разделим a на d с остатком: и пусть . Поскольку , оно имеет вид , следовательно,

Мы видим, что .

Поскольку мы предположили, что наименьшее число в I, получили, противоречие. Значит, a делится на d.

Точно также докажем, что b делится на d (проведите рассуждение). Значит, . Лемма доказана.

Доказательство теоремы 1. Первый способ. Мы должны доказать, что если делится на b и , то с делится на b.

По лемме 2, существуют такие, что . Тогда , очевидно, делится на

Второй способ. Рассмотрим множество I всех натуральных чисел таких, что делится на . Пусть наименьшее число в I. Легко видеть, что . Аналогично доказательству леммы 2 докажите, что делится на и делится на (иначе в I оказался бы остаток от деления или на ). Поэтому .

1.10. Уравнения и неравенства в целых числах.

Решение уравнений и неравенств с целыми коэффициентами в целых числах является одной из самых трудных проблем теории чисел. Однако задачи этой тематики достаточно представлены в материалах ЕГЭ. Несмотря на то, что этими задачами занимались многие выдающиеся математики древности (Пифагор, Диофант, П. Ферма, Л. Эйлер, Ж.Л. Лагранж и др.), универсальные методы в этой области, позволяющие решить в целых числах любое уравнение или неравенство с целыми коэффициентами, отсутствуют. Проблема решена только для уравнений первой и второй степени с двумя неизвестными. Однако и для этих уравнений использование полученных методов часто оказывается не самым эффективным и достаточно трудоемким. Рассмотрим на примерах задач основные, наиболее часто используемые приемы решения уравнений и неравенств в целых числах второго и высших порядков, которые не являются универсальными, но в большинстве случаев оказываются более экономичными и удобными.

Приводимый здесь материал явится предметом обсуждения на практических занятиях со студентами.

Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число представляется в виде , где - простые числа, причем представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Следствие. Каждое натуральное число n единственным образом представимо в виде , где - простые и - некоторые натуральные числа.

Задача 1. Решить в целых числах уравнение .

Решение. Перепишем исходное уравнение в виде: . Правая часть этого уравнения делится на 7, следовательно, и левая часть уравнения должна делится на 7. рассмотрим всевозможные остатки от деления х на 7:

1) не делится на 7.

2) не делится на 7.

3) не делится на 7.

4) не делится на 7.

Таким образом, получаем, что ни при каких х левая часть уравнения не кратна 7, следовательно, данное уравнение не имеет решении в целых числах.

Ответ: решений нет.

Задача 2. Найти все целочисленные решения системы

Решение. Разложим 7889 и 2875 на простые множители: 7889 = , 2875 = . Тогда первое уравнение системы равносильно следующему: . Откуда следует, что . Так как, , то Далее ищем соответствующие , подставляя найденные в первое уравнение системы.

Ответ: (-5;-7),(0;0),(5;7).

Метод разложения на множители

Задача 3. Найти все целые решения уравнения

.

Решение. Уравнение

Поскольку х и у – целые, то выражение является натуральным числом, а - целым.

Итак, имеем совокупность трех систем:

Решая данную совокупность, получаем, что последние 2 системы совокупности не имеют целых решений. Первая система дает нам четыре решения:

Ответ: (2;2), (2;-2), (-2;2), (-2;-2).

Метод решения уравнения относительно одного из неизвестных

Задача 4. Найти все пары целых х и у, удовлетворяющих равенству

Решение. Рассмотрим данное уравнение как квадратное относительно х:

То есть или . При исходное уравнение имеет вид и не имеет целых корней. При исходное уравнение имеет вид

Ответ: (0;-1).

Графический метод решения

Задача 5. Сколько точек с целыми координатами находится внутри криволинейной трапеции, образованной осью абсцисс, прямыми , и графиком функции ? (Точки, лежащие на границе указанной трапеции, не учитывать.)

Решение. Построим график функции в специально выбранном масштабе. Заметим, что для каждого целого х:

1) , число точек с целочисленными координатами внутри фигуры равно 1;

2) , число точек с целочисленными координатами внутри фигуры равно 2;

3) , число точек с целочисленными координатами внутри фигуры равно 3;

4) , число точек с целочисленными координатами внутри фигуры равно 4;

5) , число точек с целочисленными координатами внутри фигуры равно 5;

6) , число точек с целочисленными координатами внутри фигуры равно 6.

Таким образом, общее число точек с целочисленными координатами есть:

Ответ: 642 точки.

Использование принципа математической индукции

Задача 6. Найти все целые решения неравенства .

Решение. Определим допустимые то есть . Начнем последовательно проверять:

1) - решение, так как .

2) - решение, так как .

3) - решение, так как .

4) - решение, так как .

Для остальных целых х неравенство не выполняется. Докажем это по индукции. То есть докажем, что

База индукции. При - верное неравенство.

Шаг индукции. Докажем, что для любого целого если выполнено (*), то данное неравенство выполнено и для

Имеем:

Прибавим к неравенству (*) слева и справа по 1, получим

Покажем, что

поскольку 6k+18>k+4, 5k+14>0, что верно и для любого

Ответ:

§2. Методика изучения темы «Числовые последовательности»

Все программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев по математике для 10 класс и соответствующие учебники предусматривают изучение темы «Последовательности» в объеме не менее 16 часов. Здесь мы хотим предложить целесообразную систему примеров на эту тему, из которых можно получить разные оптимальные подсистемы, исходя из контингента учащихся и целей, которые ставит учитель.

2.1. Определение последовательности. Способы задания последовательности

Определение. Последовательностью называется пронумерованное бесконечное множество действительных чисел.

Обозначение: или в развернутом виде а1,а2,а3,.,ап,.

Примерами простейших последовательностей могут служить:

1) множество самих натуральных чисел N = {п}: 1,2,3,4,., n,. ;

2) множество квадратов натуральных чисел ап = п2 : 1,4,9,16,25,.;

3) множество квадратных корней из натуральных чисел

4) множество чисел, обратных натуральным числам

Данное определение последовательности равносильно следующему, более подробному и конструктивному.

Определение. Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие действительное число ап, то множество всех действительных чисел а1,а2,а3,., ,. называют числовой (или просто) последовательностью.

Числа а1}а2,а3,., ,. называются членами (элементами) последовательности, ап - общим членом (элементом), п - его номером.

Последовательности могут быть заданы в различных формах.

- Явно, если указана формула ее общего члена (как в приведенных выше примерах).

- Неявно, если общий член является неизвестным числом некоторого уравнения, коэффициенты которого зависят от п . Например, отрицательный корень уравнения при этом -явный вид общего члена этой последовательности.

- Словесно. Например, рп - периметр правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса = 3,4,5,6,. . В приведенном примере для согласования номера члена последовательности с определением можно ввести обозначения: а1=р3,а2=р4,а3=р5,.,ап=рп+2,.; вид общего члена последовательности предлагается найти самостоятельно.

- Рекуррентно, если заданы один или несколько первых ее членов и дана связь (выражение, формула) между n-ым членом и несколькими предыдущими членами последовательности. Например, а) = 5,ап+1 = + 7; б) = 6, = 3ап; в) = -5, = 7,ап+2 = 2ап+1 +35 и т. д.

Упражнения.

1. Напишите первые пять членов последовательности , а также члены с номерами 10, 100, 101, 102, n + 1, если:

1)

2)

3)

4)

5)

2. Дан общий член последовательности и несколько действительных чисел. Проверьте, являются ли данные числа членами соответствующей последовательности и если да, то определите их номера.

1) -1; 7; 36; 37.

2) 1.

3) 3,5;

4)

5)

3. Даны шесть членов последовательности. Допишите еще три члена, а затем составьте одну из возможных формул n-го члена последовательности:

1) 1, 4, 9, 16, 25, 36,.;

2) 1, 3, 9, 27, 81, 243,.;

3) 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56,.;

4) 1, 5, 11, 19, 29, 41, 55;

5) 6, 18, 54, 162, 486;

6) 6, 24, 60, 120, 210, 336.

4. Обозначим через сторону правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса R, через рп - его периметр, через - площадь. Напишите формулу для общего члена последовательности: a) ; б) ; в) .

При каких значениях п определены члены этих последовательностей?

5. Обозначим через Ап сторону правильного n-угольника, описанного около окружности радиуса R, через его периметр, через - площадь. Напишите формулу для общего члена последовательности: а) ; б) ; в) .

2.2. Монотонные последовательности. Интерпретации

Определения.

Последовательность называют возрастающей (убывающей), если для любого номера имеет место неравенство

Последовательность называют невозрастающей (неубывающей), если для любого номера имеет место неравенство

Возрастающие, убывающие последовательности называют строго монотонными, а невозрастающие, неубывающие - (нестрого) монотонными (слово нестрогое можно опускать). При необходимости подчеркивают вид монотонности, скажем, монотонно убывает.

Говоря о поведении последовательности, будем подразумевать ее свойства в смыслах, приведенных выше (возрастает, строго монотонна и т.д.)

Исследование на монотонность последовательности сводится к исследованию знака разности или разности , если члены последовательности положительны ( >0 для любого n).

Последовательности, не являющиеся монотонными, называют немонотонными. В частности, немонотонными считаются те последовательности, которые монотонны, только начиная с некоторого . Для произвольных последовательностей имеет смысл поиск наибольшего или наименьшего члена, или и того и другого.

Члены последовательности можно изображать (интерпретировать) точками горизонтальной числовой прямой . Тогда монотонные последовательности изображают динамическое (подвижное, переменное) множество точек, которые «двигаются» в одном направлении: вправо, если последовательность возрастающая (неубывающая) или влево, если она убывающая (невозрастающая).

Последовательность может быть задана посредством некоторой функции , определенной при всех положительных значениях переменной х, пологая . В таком случае последовательность изображает множество точек координатной плоскости Оху с координатами принадлежащих графику функции . Можно также интерпретировать последовательность множество точек Оу с ординатами

Упражнения.

6. Докажите, что последовательность являются возрастающей, если:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Рассмотрим решение некоторых заданий.

1) По виду определяем откуда легко видеть, что т.е. последовательность монотонно возрастает.

3) Сравнить непосредственно и непросто, поэтому исследуем знак разности.

I способ. Разность отрицательна при всех п (поскольку п положительное), а значит, последовательность - убывающая.

II способ. Все члены данной последовательности положительны и, значит, можно рассмотреть отношение которое меньше 1 при всех п, поскольку числитель на 7 меньше знаменателя, что влечет неравенство . Таким образом, данная последовательность убывает.

5) Рассмотрим разность предварительно выделив целую часть дроби:

Положительность разности при всех доказывает монотонное возрастание рассматриваемой последовательности.

7. Докажите, что последовательность является убывающей, если:

1)

2)

3)

4)

5)

Ограничимся решением примера 4. Используя формулу разности куб представим общий член последовательности в виде

Каждое слагаемое знаменателя возрастает при замене на ( в частности, ), откуда можно делать выводы о том, что при всех , т.е. последовательность убывает.

8. Исследуйте на монотонность данные последовательности

1)

2)

3)

4)

Решим первое задание.

Найдем разность :

.

Используя метод интервалов, находим, что исследуемая разность отрицательна при п=1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9. (среди написанных номеров отсутствует п=6, так как ). Но первые шесть членов последовательности отрицательны, а все последующие - положительны и, значит, вся последовательность не монотонна.

Рассматриваемая последовательность монотонно убывает, начиная седьмого члена, при этом седьмой - наибольший, его значение . Поэтому все члены, начиная с седьмого положительны, а первые шесть отрицательны и они, эти шесть членов убывают, то наименьший член последовательности равен

Замечание. Приведенный пример показывает, что последовательность может состоять из двух монотонно убывающих частей, но не быть монотонной (здесь убывающей) в целом.

2.3. Ограниченность последовательности

Определения.

Последовательность называют ограниченной сверху (снизу), если существует число , такое, что при всех имеет место неравенство

Последовательность, ограниченная и сверху и снизу называют ограниченной. Для такой последовательности при всех выполняется двойное неравенство Геометрически члены ограниченной последовательности можно изобразить точками отрезка .

Последовательность называют неограниченной сверху (снизу), если для любого числа существует натуральное число такое, что

Последовательность, неограниченная либо сверху либо снизу, либо и сверху и снизу, называют неограниченной.

Исследование последовательности на ограниченность сводится к решению относительно п неравенства вида где -параметры (вообще, произвольные числа). Побочным результатом исследования на ограниченность является нахождение максимальных и минимальных членов последовательности.

Примечание. При исследовании на ограниченность последовательностей может оказаться полезным известное неравенство (Коши): если , то и равенство достигается только при .

Упражнения.

9. Исследуйте на ограниченность данные последовательности.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15) …,

16)

17) …,

Приведем решения некоторых из предлагаемых заданий.

Идеи решения многих примеров можно получить, исходя из визуального, созерцательного анализа членов рассматриваемой последовательности.

1) Данная последовательность совпадает с множеством нечетных чисел - она неограниченна сверху (для любого числа М существует нечетное число больше, чем М; например, если М = 1010, то нечетное число 1010+1 > М = 1010). Наименьший член последовательности равен 1. Последовательность ограничена снизу (наименьший член равен 1), не ограничена сверху и неограниченная (в целом).

Дроби 8) - 14) можно анализировать по единой схеме. Наблюдения показывают, что числители и знаменатели этих дробей принимают сколько угодно большие значения, а отношение принимает характер «неконтролируемой» переменной величины. Для анализа каждого из отношений вынесем за скобки в числители и знаменателе наибольшую величину (п в высшей степени, наибольшую степень двойки, тройки и т.д.).

9) Вынесем за скобки в числителе и знаменателе п, затем дробь сократим на этот множитель:

Отдельный анализ структуры и величины числителя и знаменателя показывает, что первый не может принимать значения больше, чем 3 + 4 + 8 = 15, а второй не может принимать значения меньше, чем 15 = . Учитывая

положительность дроби, можно записать двойное неравенство что означает ограниченность последовательности. Число 0 можно заменить большим, а 15 - меньшим, но это не влияет на содержание вывода.

15) После визуального изучения этой последовательности можно записать ее члены в виде

Рассматривая однородность этой системы записей, приходит в голову гипотезу, что ее можно доказать так: - ясно; используя это неравенство, из второго равенства получаем неравенство ; это неравенство, в свою очередь, позволяет получить из третьего равенства неравенство ; и так далее. Таким образом, при всех значениях , и, в силу справедливости неравенств можно записать двойное неравенство , откуда следует, что последовательность ограничена.

17) Ограниченность этой последовательности можно получить по аналогии с решением задания 15), заменяя сложение на умножение: и т. д.

Примечание. Ограниченность снизу данных последовательностей вытекает из их положительностей, а для получения наименьшего члена воспользуемся неравенством Коши, которое можно переписать в следующем виде: если а и b числа одного знака, то (равенство имеет место только при ). Как видно, необходимо представить данную дробь в виде суммы дробей (прямой и обратной).

Например,

6)

7)

Оба выражения принимают наименьшее значение при 2п + 3 =9, т.е. при п = 3.

2.4 Предел числовой последовательности

Ознакомить учащихся с определением предела числовой последовательности можно следующим образом.

Сначала рассматривается последовательность десятичных приближений числа, например х = , по недостатку или по избытку. Задается -точность (пусть = 0,02 и - последовательность десятичных приближений числа по недостатку) и ставится вопрос: найдутся ли среди членов последовательности такие, которые являются приближенными значениями числа х с заданной -точностью? Очевидно, что с , т.е., начиная с третьего члена, все члены данной последовательности являются приближенными значениями числа х с точностью до 0,02. Далее ставится вопрос: найдутся ли в данной последовательности такие члены, которые являются приближенными значениями числа х с более высокой точностью? Так как при всех достаточно больших меньше любого положительного , то для всех этих номеров . Это значит, что для всех этих п числа являются приближенными значениями числа х с -точностью. Следует подчеркнуть, что рассматриваемая последовательность десятичных приближений числа х = обладает свойством: для любого при всех достаточно больших п с точностью до . В этом случае говорят, что число х есть придел последовательности. Вообще, если последовательность обладает таким свойством, т.е. для любого при всех достаточно больших п все соответствующие члены последовательности являются приближенными значениями числа х с точностью до , то число х называют приделом числовой последовательности .

Усвоение структуры определения понятия, понимания значения каждого слова в формулировке определения осуществляется в процессе решений упражнений, в которых предметом усвоения является каждое существенное свойство понятия, используемое в его определении.

Логическая структура определения предела последовательности такова: - любое положительное число, для всех достаточно больших

Упражнения, способствующие усвоению структуры определения предела последовательности:

а) Известно, что для некоторого при всех достаточно больших номеров п последовательности выполняется неравенство Следует ли отсюда, что ?

Ответ. Нет, так как в условии говорится лишь о некоторых , но не любых. Например, для при всех п для членов последовательности имеет неравенство , однако число 0 не является пределом последовательности .

б) Последовательность обладает свойством: для любого существуют такие члены последовательности, для которых

Является ли число х пределом этой последовательности? Измените условие так, чтобы из него следовало, что .

в) Известно, что существует такое , для которого не все члены последовательности являются приближенными значениями числа с -точностью. Можно ли утверждать, что число х не является пределом этой последовательности?

Ответ. Утверждать нельзя, так как не сказано, как «ведут себя» члены этой последовательности при, всех достаточно больших номерах п. Например, для первые два члена последовательности не являются приближенными значениями нуля с точностью до 0,5. Однако .

г) Известно, что для любого не все члены последовательности являются приближенными значениями числа х с точностью до . Следует ли отсюда, что ?

Ответ. Нет, так как неизвестно о том, является ли при всех достаточно больших номерах п члены этой последовательности приближенными значениями числа х.

д) Заполните пропуски: число а называется пределом последовательности если для . при . достаточно больших номерах п выполняется неравенство .

§3. Методические рекомендации к ведению профильного курса «Комплексные числа в общеобразовательной школе»

Введение

Для повышения у учащихся средних школ общей математической культуры очень полезным, на наш взгляд, является профильный курс «Комплексные числа», давно включенный в программу математических школ и классов.

Каждый выпускник школы, желающий продолжать изучение математики, должен знать, что расширение множества чисел, начавшееся после изучения натуральных чисел с введения рациональных и целых чисел, а затем введение действительных чисел, на этом не заканчивается.

Множество чисел ещё можно расширить, если поставить задачу разрешимости на множестве чисел любых уравнений, например, хотя бы всех уравнений второй степени.

Здесь следует четко объяснить учащимся, какие задачи решались при расширении множества натуральных чисел до целых, рациональных и действительных чисел. Полезно также рассказывать учащимся, что в древности при решении задач встречались случаи, когда в результате решения уравнения получалось действительное число, но оно выражалась через квадратичные корни из отрицательных чисел, например, при решении кубического уравнения по известным формулам Кардано.

Например, уравнение имеет три действительных корня: однако если применить формулы Кардано, то получим:

Здесь мы видим, что в результате действии над корнями из отрицательных чисел получаются действительные числа. Поэтому целесообразно сразу после рассмотрения такой задачи ввести число . Это так называемая мнимая единица. И тогда, естественно, вводятся комплексные числа вида a+bi, где a,b-действительные числа . В этих числах нет ничего мнимого или воображаемого. Действия над ними вводятся по правилам, являющимися обобщением соответствующих действий над действительными числами и двучленами.

При изложении комплексных чисел следует придерживаться, на наш взгляд, «блочной» методики. После введения комплексных чисел следует сразу определить правила сложения, умножения, деления, вычитания и извлечения квадратного корня по формулам:

После этого для усвоения указанного блока теории следует рассмотреть типы задач:

1. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Например, при решении уравнений и получаются корни: -0,6+0,8i, -0,6-0,8i и 1,2+0,4i, 1,2-0,4i соответственно, которые являются примерами комплексных чисел.

2. Решение систем уравнений первой степени. Например, решить систему

Приравнивая коэффициенты при х, умножив первое уравнение на /-5+2i/, а второе—на /3-2i/, и затем вычитая из первого уравнения второе, получим: у/-22-6i/=5+39i.

Откуда

Выполнив деление, получим:

Аналогично, приравнивая коэффициенты при у и вычитая из первого уравнения второе, получим: -х(22+6i)=-(13+41i) откуда

Выполнив деление, получим:

Решение систем уравнений с комплексными коэффициентами, а затем выполнение проверки дает хорошую базу для закрепления всех четырех арифметических действий над комплексными числами.

3. Извлечение корня второй степени по указанным выше формулам. Здесь следует рассмотреть двучленные уравнения. Например, решить уравнения:

а) x2=-8+6i

б) x2=-3-4i

в) x2=15-8i

г) x2=-11+60i

Все уравнения решаются по одной формуле:

а) x = ± =±( 1 + 3i );

б) x = ± ;

в) x = ± ;

г) x = ± .

Заметим, что знак в скобках соответствует знаку коэффициента при i в правой части уравнения.

4. Решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами. Например, решить уравнение:

/ 2+i / x + / -1+7i / =0/

Решаем по обычной формуле нахождения корней квадратного уравнения:

и, аналогично,

.

Рассмотрим решение неприведенного квадратного уравнения

.

Решаем также по обычной формуле:

и, аналогично:

Задачи всех типов учитель может подобрать самостоятельно. Но при этом желательно подобрать коэффициенты так, чтобы при применении формул извлечения квадратных корней получались не слишком громоздкие вычисления.

5. Решение биквадратных уравнений. Например, решить уравнение: Сначала решаем уравнение относительно : .

Затем решаем два двучленных уравнения: и по формулам извлечения корня получим: , .

После того, как на каждый из 5 типов будет решено достаточное количество задач, можно переходить ко второму блоку теории: рассмотреть геометрическую интерпретацию комплексного числа как точки плоскости М/ а;в / и вектора ОМ = / а;в /. Затем рассмотреть тригонометрическую форму комплексного числа , где , где r—модуль числа, φ—его аргумент. Затем вывести правила умножения и деления чисел в тригонометрической форме, а также возведения любой конечной положительной степени из комплексного числа, а также их геометрическую интерпретацию.

Далее переходим к решению большого количества задач на закрепление этого блока теории. Это следующие задачи:

1. Изображение множества точек на плоскости, изображающих комплексные числа с определенными свойствами.

Например, найти множество точек, изображающих комплексные числа:

а) модуль которых равен 2;

б) аргумент которых равен ;

в) удовлетворяющих равенству | z-(1+i)|=2;

г) удовлетворяющих | z-2+i|<1

В решении этих задач следует пользоваться геометрической интерпретацией комплексных чисел и, исходя из определения модуля и аргумента чисел, сразу определяем, что:

а) множество точек окружности с центром в начале координат и радиуса 2;

б) множество точек, лежащих на луче с началом в начале координат и образующем угол с положительным направлением оси 0х;

в) множество точек, лежащих на окружности с центром в точке и радиуса 2;

г) множество точек, лежащих внутри круга с центром в точке и радиуса 1.

Во всех этих задачах нужно сделать чертежи и указать множества решений на чертеже.

2. Найти тригонометрическую форму чисел, заданных в виде a+bi. Здесь следует рассмотреть, с одной стороны, задачи, тригонометрическая форма которых следует из чертежа и из известных значений синуса и косинуса, и, с другой стороны, где тригонометрическая форма может быть записана лишь приближенно с помощью таблиц.

Например, представить в тригонометрической форме числа:

В решение задач пункта а) из чертежа и из определения модуля по формуле и аргумента по формулам .

Получим:

В этих задачах большую трудность обычно составляет нахождение аргумента, поэтому очень важен чертеж и знание значений синуса и косинуса для аргумента и . Эти трудности устраняются рассмотрением большого числа примеров. Сначала можно пользоваться и таблицей значений синуса и косинуса для указанных аргументов.

3. Удобство действий над числами в тригонометрической форме наглядно показывается при произведении чисел в целую положительную степень и при извлечении корня. Это, например, такие задачи:

а) вычислить .

Представим сначала число в тригонометрической форме. Здесь это делается довольно просто. Представим и запишем: в силу того, что больше нуля, полученное выражение и есть тригонометрическая форма. Тогда по формуле Муавра получим: .

Представим , и тогда, используя периодичность функции синуса и косинуса, получим:

или .

б) извлечение корня n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме находится по формуле: пусть , где . Тогда 0,1,2,…,n-1.

г) вычислить корни и изобразить их геометрически:

Решение: Представим числа в тригонометрической форме:

.

По формуле получаем:

Подставляя последовательно значения “k”, получим три различных значения корня третьей степени:

Заметим, что из формулы извлечения корня видно, что все корни n-ой степени из числа являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса . Поэтому изобразим на чертеже точки

Для получаем по формуле или значения корней:

Изобразим точки на том же чертеже. Заметим, что это также вершины треугольника на той же самой окружности радиуса 1.

Для получаем по формуле после преобразования:

Выпишем отдельно значения корней:

Воспользуемся формулами половинного аргумента для тригонометрических функций, а затем формулами приведения, получим:

Заметим, что на чертеже вершины квадрата, вписанного в окружность радиуса

На тему «Геометрическая интерпретация и тригонометрическая форма комплексного числа» можно рассмотреть еще ряд интересных задач. Например, Выразить через .

Воспользуемся, с одной стороны, формулой Муавра:

а, с другой стороны, формулой возведения в четвертую степень:

.

Приравнивая действительные части в правых частях этих равенств, получим: .

Затем заменим , .

Получим: .

Отметим, что при использовании данной теории можно рассмотреть большое количество разнообразных задач, интересных не только в практике, но и дающих много теоретических сведений о комплексных числах.

3.1 Определение комплексных чисел. Их геометрический смысл. Действия с комплексными числами

Нам представляется целесообразным сразу же при введении понятия «комплексные числа» обратить внимание учащихся на их геометрический смысл, подчеркнуть, что необходимость расширения множества вещественных чисел связана с двумя проблемами: невозможностью разрешить уравнение на множестве R потребностью изобретения чисел, которые соответствуют точкам плоскости, так же как вещественные числа соответствуют точкам прямой.

В соответствии с этим первые же уроки по теме дают ответы на поставленные вопросы. Дается определение комплексных чисел (заметим, что определение действий сложения и умножения—неотъемлемая часть этого определения и открывать ее нежелательно), указывается, что числу вида , где , соответствует точка плоскости с координатами (a, b), вводятся обозначения: Обращается внимание учащихся на то, что если А и В—точки, соответствующие числам z1 и z2, то числу z1+z2 соответствует точка C такая, что (О—начало координат). Выводятся простейшие свойства действий.

Здесь могут быть предложены задачи типа следующих:

1. Изобразите на чертеже множество всех точек комплексной плоскости, для которых выполнены данные условия:

а)

б)

в)

г)

2. Рассматриваются все точки z комплексной плоскости такие, что Изобразите на чертеже множество всех точек u, удовлетворяющих данным условиям:

а) б) в)

3. Пусть М—совокупность всех точек u комплексной плоскости таких, что Изобразите на чертеже множество всех точек z таких, что М есть совокупность точек вида

4. На комплексной плоскости отмечены точки A, B, С, D, соответствующие числам Найдите комплексное число z такое, что соответствующая ему точка С будет вершиной параллелограмма ABCD. Решите ту же задачу для

5. Докажите, что точки, соответствующие числам лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда имеются такие не равные нулю одновременно вещественные числа

Найдем АВ по теореме косинусов, учитывая, что , тогда . Учитывая, что , можно сделать вывод, что наименьшее значение функции f(x) равно .

б) ОК найдем методом площади, используя равенство

, тогда

откуда

2. При каких значениях a, b для функции выполнено условие f(x) = f(f(x)) при всех действительных х?

Решение. Пусть у = f(x). Когда х пробегает все действительные значения, у пробегает все значения из области E(f) значений функции f(x). За счет выбора параметров a, b условие f(y) = у должно выполняться для всех

Функциональная зависимость не изменится, если в ней аргумент у обозначить и заменить, например, на х. Поэтому приходим к следующей переформулировке задачи: при каких a, b выполнено условие f(x) = х для всех х из множества значений E(f) функции где ?

Значит, следует найти множество E(f).

Если а = 0, то при любом b R условия задачи выполнены, т.к. при этом f(x) = у = 0, 0 = 0 при всех х R.

Если а 0, то его влияние легко учесть, если выявить область значений E( ) и свойства функции (x).

Функция является кусочно-линейной, ее областью значений E( ) является положительно направленный луч. Минимальное значение функция E( ) достигает в одной из точек излома (при ). Поэтому следует рассмотреть три случая.

Первый случай: (рис. 1а). Освобождаясь от модулей, получим

Если

Если

Если

Пусть а > 0. Тогда область значений Е(f) есть луч и полностью задается правым звеном ломаной, так как

Значит, именно прямая у = y3(x) должна совпадать с биссектрисой у = х. Теперь понятны условия для выбора параметров. Согласно вышеприведенной переформулировке задачи параметры a, b должны обеспечить равенство

(1)

для всех х a(b2 - b), то есть удовлетворять смешанной системе

Пусть а < 0. Тогда область значений y a(b2 - b) снова определяется правым звеном ломаной, так как

Однако требуемое условие (1) для всех х a(b2 - b) выполнить невозможно, так как равенство 4а = 1 невозможно при а < 0.

Второй случай: b2 < b (рис. 1b). Он рассматривается аналогично.

Пусть а > 0. Тогда область значений задается левым звеном. Требуемое условие а(- 4х+b+3 )=х для всех обеспечить невозможно, так как равенство -4а = 1 невозможно при а > 0.

Пусть а < 0. Тогда область значений совпадает с областью значений для левого звена. Требуемое условие а(-4х+6+3 )=х

для всех выполнить невозможно. Действительно,

Третий случай: b2 < b, то есть b= 0 или b=1. Пусть b = 0 (рис. 2а). Тогда

При а > 0 требуемое условие 4ах = х (для всех ) дает следующую пару

При а < 0 требуемое условие -4ах = х (для всех ) дает еще одну пару

Пусть b=1 (рис. 2 b). Тогда

Оба звена графика этой функции проходят через точку (1; 0), а потому не могут лежать на биссектрисе у = х.

Рис. 2

Ответ:

3. На задана функция f(x). f(0)=f(1)=0 и справедливо неравенство Доказать, что f(x) на имеет бесконечно много нулей.

Решение. Пусть . Из условия задачи имеем

; Следовательно . Если , то по доказанному выше и из условия задачи имеем

Далее , из предположения, что имеем

при любом Отсюда и из принципа математической индукции следует, что , .

4. Докажите, что при любом натуральном n>1 верно неравенство

Доказательство: Так как все члены неравенства положительны, то, возведя неравенство в n-ю степень, получим:

Имеем, с одной стороны,

(т.к. каждый множитель меньше единицы, то и произведение меньше единицы).

С другой стороны,

(т.к. каждый множитель произведения, стоящего в скобках, больше единицы (кроме первого), то и само произведение больше единицы).

Неравенство (*) доказано. Извлекая корень n-й степени из всех членов неравенства (*), установим справедливость данного неравенства.

5. Найдите минимальное и максимальное значение функции

.

Решение. Данная функция определена при условии

В силу периодичности y(x) с основным периодом далее ограничимся рассмотрение только . Значения функции

Поэтому у(х) достигает минимального и максимального значение значений при тех же х, при которых принимает соответственно минимальное и максимальное значение функция . Преобразуем

Заметим, что для любого выполняется равенство , следовательно, для нахождения наименьшего и наибольшего значения функции достаточно рассмотреть лишь На это отрезки значения монотонно возрастают. Поскольку то монотонно возрастает и . Следовательно,

Т.к. , то

Ответ:

6.

1) Вспомогательные графики: .

2) ООФ:

3) т.к. то строим в правой полуплоскости.

4) Характерные точки:

а)

б) - вертикальный асим. график.

в) при и иск. график пересекает .

г) при - точках заданный график пересекает ось абсцисс. График колеблется около оси абсцисс приближаясь к ней.

7. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых графики функций разбивают координатную плоскость равно на пять частей.

Решение. График функции есть гипербола, а график функции может и не быть гиперболой при условии

Рассмотрим четыре случая.

1. Если а=0, то (рис.3): прямая касается гиперболы , поскольку

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

2. Если а=1, то . (рис.4)

3. Если , то (рис. 5)

4. Если , то оба графика- гиперболы, которые в случае пересечения друг с другом разбивают плоскость на большее число частей, чем в случае не пересечения, когда они разбивают плоскость как раз на пять частей. Последнее происходит тогда и только тогда, когда не имеет корней уравнение

т.е. когда дискриминант уравнения (квадратного, так как ) последней системы отрицателен:

(иначе он положителен, ибо и последняя система обязательно имеет решение).

Итак, получаем, что нас устраивают в точности следующие значения

8. Одна из общих точек графика функции и графика ее первообразной имеет абсциссу 2. Найдите абсциссу всех общих точек двух графиков.

Решение. Найдем первообразную функцию

, где с- произвольная постоянная. Из условия задачи следует, что , и, значит,

32-60+24+4=16-40+24+8+с, с=-8. Таким образом,

Для нахождения абсциссы всех общих точек графиков функции приравняем функцию

Одно из решений уравнения нам известно: х=2. Найдем другие решения, обратившись к схеме Горнера.

1 -9 21 -8 -12

2 1 -7 7 6 0

2 1 -5 -3 0

Итак,

Отсюда следует:

Таким образом, абсциссы общих точек двух графиков

Ответ:

9. Пусть решить уравнение

Решение. Пусть Тогда имеем уравнение

Далее так же решаем два полученных уравнения

Имеем

Решаем каждое из полученных уравнений:

1)

2)

3)

4)

(из-за отрицательности дискриминанта

Ответ:

10. Решите уравнение

Решение: Пользуясь формулой логарифмическую функцию к общему основанию. По условию

При таких х равносильны уравнения

1)

.

2) Логарифмическая функция монотонна, получим уравнении и решим его:

Ответ: -3

11. Функция f(x) удовлетворяет следующему условию: для любых чисел а и b выполняется равенство

Найдите значение функции f(1999), если f (1) = 1, f (4) = 7.

Решение. Подставляя в заданное равенство пары чисел а = 4, b = 1 и а=1, b = 4, соответственно, получим

Взяв еще а=0, b = 3, имеем

Значит,

Итак, получаем цепочку равенств

Далее вычисления ведем «снизу вверх»:

f(9) = 17, f (27) = 53, f (75) = 149, f (223) = 445, f (667) = 1333,

f (1999) = 3997.

Ответ: 3997.

12. Найдите все значения а , для которых при каждом х из промежутка значение выражения не равно значению выражения

Решение.1) Значения указанных в задаче выражений не равны друг другу тогда и только тогда, когда выполнено условие где Следовательно, в задаче требуется, чтобы уравнение не имело корней на промежутке

2) График функции (относительно переменной .) есть парабола, изображенная на рисунке: ее ветви направлены вверх, а точка пересечения с осью ординат лежит ниже оси абсцисс (так как ). Поэтому квадратный трехчлен имеет два корня

. Если то а если ,то , поэтому уравнение имеет корень на промежутке [1;9) тогда и только тогда, когда

3) Решим полученную систему:

Итак, уравнение не имеет корней на промежутке [1;9) для всех остальных значений a, т.e. тогда и только тогда, когда

Ответ: .

Замечание: в работах выпускников в шаге 2) могут отсутствовать словесные описания, а корни квадратного трехчлена могут быть вычислены.

13. Ha графике функции найдите точку, расстояние от которой до точки М(- 6; 1,5) будет наименьшим. Найдите это расстояние.

1) Построим график параболы и точку М(- 6; 1,5) (рис. 6).

Рис. 6

2) Пусть искомая точка N(x; f(x)), где х 0. Если х 0, то ордината точки N равна , т. е.

3) Используя формулу расстояния между точками, заданными координатами, найдем

4) Найдем наименьшее значение функции

a)

б)

т.е.

в)

Следовательно,

Ответ:

14. Найдите количество целых чисел, принадлежащих множеству

значений функции

Решение. Так как то множество значений этой суммы есть отрезок Значит, множество значений числителя дроби- это отрезок

, а для всей дроби - это отрезок [2,4]. Так как функция является монотонно убывающей и непрерывной, то множество значений данной функции - это отрезок . Вычислив значения логарифмов,

получаем, что множеством значений функции f(x) является отрезок [-8,-4]. Этому отрезку принадлежат ровно пять целых чисел: - 8; - 7; - 6; - 5, -4.

Ответ: 5.

15. При каких значениях х соответственные значения функций

будут отличаться меньше, чем на 1?

Решение. 1)

2)

Ответ: (1;2).

16. Найдите область значений функции .

Решение. Перейдем к основанию, большему 1:

Квадратный трехчлен принимает все значения из промежутка .В силу определения логарифмической функции аргумент её в нашем случае принимает все значения из промежутка ; тогда

принимает все значения из промежутка . Отсюда следует, что принимает все значения из промежутка [ , т.е.

Ответ:

17. Найдите асимптоты функции

Решение. По этой формуле функция получает вещественные значения, если или х >а; при х= а функция обращается в бесконечность.

Считая х >а, имеем при х>

так что, со стороны положительных х, кривая приближается к асимптоте

Аналогично получается со стороны отрицательных х другая асимптота

Производная

обращается в нуль при , меняя знак минус на плюс (минимум). Она

обращается в нуль и при х = 0, но это - конец промежутка (- ,0], в котором мы функцию рассматриваем, и об экстремуме здесь не может быть и речи.

Вторая производная:

она положительна и при х < 0, и при х > а, так что кривая всегда выпукла (вниз).

Вычислив еще ординату у = 2,6а, отвечающую , мы имеем уже достаточно данных для построения графика.

Ответ: .

18. На каком множестве определена функция если

Решение.

-множество всех целых чисел.

19. При каких значениях р уравнение имеет решение?

Решение: Задачу сведем к нахождению области значений тригонометрической функции.

1)

Это уравнение равносильно системе:

2) Уравнение имеет корни только если число р принадлежит множеству значений выражения . Значит, следует найти множество значений функции

3) Пусть тогда . Т.к. , то A Поэтому и функция убывает на отрезки [-1;1].

Т.к. непрерывная функция, то и функция у непрерывна. Поэтому она принимает все значения от наим. до наиб., т.е.

4) Т.к. по условию , то

Ответ:

20. Из области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найдите все положительные значения а, при которых такая сумма будет больше 8, но меньше15.

Решение: 1) Графиком дробно- линейной функции

является гипербола. По условию х>0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а функция z возрастает, ее значение стремится к 8. Кроме того, z(0)=1.

2) По определению логарифма область определения D(y) состоит из решений неравенства . При а=1 получаем неравенство, у которого нет решения. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 00, то z(x)>z(0)=1. Значит, каждое положительное х является решение неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При показательна функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно .

Если , то любое положительное число является его решение, и указанную в условии сумму нельзя найти.

Если , то множество положительных решений неравенства- интервал

5) Целые числа расположены в этом интервале, начиная с 1: 1; 1+2=3; 1+2+3=6; 1+2+3+4=10; 1+2+3+4+5=15; …

Поэтому указанная сумма будет больше 8, но меньше 15 только если число 4 лежит, а 6 не лежит в этом интервале, т.е. .

Т.к. возрастает на [4;6], то Поэтому

Ответ:

21. Существует ли функция, определенная на множестве R, которая каждое свое значение принимает ровно два раза?

Решение. Докажем, что функция

удовлетворяет требуемым условиям, или, другими словами, при любом , т. е. при , уравнение f(x)=a имеет ровно два решения.

Поскольку

при

при и

при и

Таким образом, уравнение f(x)=a действительно имеет два решения при любом

22. Найдите множество значений функции у = 4х2-6х+5, х [-1;3].

Решение. Заданная функция непрерывна на отрезке [-1,3] и потому в соответствии с описанной выше схемой находим

а)

б)

в)

г)

Ответ:

Комментарий. Приведенный пример можно решить проще, выделив полный квадрат: Поскольку абсцисса вершины параболы принадлежит интервалу (-1;3), а ветви параболы направлены вверх, то наибольшее значение достигается на одном из концов отрезка Точка x=3 расположена дальше от абсциссы вершины параболы и потому

23. Решить неравенство

Традиционное решение этого неравенства сводится к решению двух систем неравенств в зависимости от значения х в основаниях логарифмов, каждая из которых распадается в свою очередь на две системы в процессе раскрытия присутствующих в неравенстве модулей, содержащих неизвест-ную величину.

Допустимыми значениями неизвестного будут те значения х, которые удовлетворяют условиям х >0, x≠1, x≠3.

Перенеся в левую часть неравенства, получим:

После применения соответствующей теоремы к левой части пос-леднего неравенства и свойства умножения модулей мы получим неравенство, равносильное данному:

Учитывая то, что , неравенство можно переписать в виде:

или

Так как х > 0, то в числителе можно выполнить необходимые преобразования и получить

Сократим числитель и знаменатель дроби на общий множитель (это не повлияет на ее знак) и воспользуемся тем, что множители и х + 1 положительны (тоже не влияют на знак левой части неравенства).

В итоге получается неравенство:

Ответ:

24. Касательная к графику функции такова, что абсцисса с точки касания принадлежит отрезку [1/2; 1]. При каком, значении с площадь треугольника, ограниченного этой касательной, осью Ох и вертикальной прямой х = 2, будет наименьшей и чему равна эта наименьшая площадь?

Решение. , , . Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой с имеет вид

Абсцисса точки пересечения этой прямой с осью абсцисс легко находится: х= -с/2.

Площадь треугольника, ограниченного касательной, осью Ох и прямой х=2, найдем по формуле Ньютона – Лейбница

(Можно было бы найти эту площадь иначе, вычислив длины катетов данного треугольника.)

Функция S(c) определена и дифференцируема при с>0:

На промежутке [0; +∞] функция S (с) имеет только одну критическую точку

причем S\'(с) < 0 при 0 < с < (функция убывает) и S\'(с)>0 при

с > (функция возрастает). Поэтому точка с = является точкой, в которой функция S (с) принимает наименьшее значение на отрезке

Ответ: при с = наименьшее значение площади

25. Решим уравнение

Все корни уравнения (1) содержатся среди тех х, для каждого из которых справедливо неравенство х -1 > 0, то есть содержатся в множестве М = (1; +∞).

В каждой точке этого множества положительны обе функции и

Поэтому, логарифмируя уравнение (1), получим, что оно равносильно на множестве М уравнению

Применяя свойства логарифмов, получим, что уравнение (2) равносильно на множестве М уравнению

Все решения уравнения (3), принадлежащие множеству М, будут:

Следовательно, и равносильное на множестве М уравнение (1) имеет те же решения.

Ответ:

26. Решить в целых числах уравнение: 19х2-65у2=1965.

Решение. Перепишем уравнение в следующем виде:

х2+ у2+1=4(5 х2-16 у2-491)

Заметим, что квадрат целого числа при делении на 4 может в остатке иметь только 0 или 1, поэтому х2+ у2+1 не делится на 4, а правая часть кратна 4. следовательно уравнение не имеет решений в кратных числах.

27. Найти все целые решения системы:

Решение. Возведем первое уравнение в куб и вычтем второе:

Разложим левую часть на множители:

Поэтому Но х-у=3-z. Следовательно, число 3-z является делителем восьми.

Перебирая все возможные значения, получаем четыре решения:

(1,1,1); (-5,4,4); (4,-5,4); (4,4,-5).

28. Найти n из уравнения:

Решение. Домножив и разделив левую часть уравнения на , приведем уравнение к виду:

Имеем:

Отсюда либо либо

Пусть . Тогда , что невозможно. Если , то .

Ответ: , где .

29. Найти целое число, кубичный корень из которого равен количеству тысяч этого числа.

Решение. Пусть х – искомое число. По условию задачи , где . Полагая , получим , или . Отсюда , а . С другой стороны, , отсюда следовательно, y=32, а x=32768.

30. Найти все значения а, при которых корни x1, x2, x3 многочлена удовлетворяет равенству

Решение. Сделаем замену , тогда , , являются корнями многочлена

.

По теореме Виета имеем равенства

а кроме того, должно выполняться соотношение . Непосредственной проверкой убеждаемся в справедливости тождества

,

из которого получаем необходимое и достаточное условие для а:

, т.е. а = - 9.

31. Найти все многочлены P(x), удовлетворяющие условию Р(0)=0 и тождеству .

Решение. Любой многочлен вида P(x)=ax, где а – константа, удовлетворяет условиям задачи. Докажем индукцией по , что для каждого искомого многочлена Р(х) выполнены равенства Р(n)=nP(1).

При n=0 и n=1 эти равенства верны. Пусть они уже доказаны для чисел n-1 и n, где . Тогда P(n+1)=2P(n)-P(n-1)=(n+1)P(1), а значит, равенство справедливо и для числа n+1.

Поскольку многочлен Р(х)-Р(1) х имеет бесконечно много корней х=0,1,2,…, то он равен нулю. Таким образом, искомые многочлены имеют вид Р(х)=ах.

32. Известно, что Найти

Решение. Если определен, то

(2)

Произведение тангенсов связано с p и q следующим образом:

(3)

Из (3) получаем, что p и q либо одновременно равны нулю, либо одновременно не равны.

1o. Если p = 0 и q = 0, то из (1) получаем = 0. При этом надо проверить, что знаменатель в (1) не равен нулю. Действительно:

2o. Если , и , то из (2) получаем и из (1) .

3o. Если , и , то не определен.

4o. Если p = 0 или q = 0, но , то условие задачи противоречиво.

33. Пусть f(x)=x2+12x+30. Решите уравнение f(f(f(f(f(x)))))=0.

Решение. Заметим, что f(x)=(x+6)2-6.

Отсюда видно, что f(f(f(f(f(x))))) = (x+6)32-6.

Следовательно, ответ: x = -6 + 61/32.

34. Решить систему уравнений:

Решение. Запишем эти уравнения следующим образом:

Второе уравнение возведём в квадрат, прибавим к нему третье уравнение, умноженное на 2, и вычтем первое уравнение. В результате получим:

0 = 16(a2 + 1)2 - 16(a2 + 1)z,

т.е. z = a2 + 1. Теперь второе и третье уравнения записываются так:

Решение этой системы сводится к решению квадратного уравнения; решая его, находим

x = a2±a + 1, y = a2±a + 1.

35. Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет хотя бы одно решение.

Решение. По условию функция y = sin x + a - b x обращается в нуль ровно в двух точках x1 и x2, x1 < x2.

Эти точки разбивают числовую ось на 3 промежутка (-∞, x1], (x1, x2], (x2, +∞). Поскольку b ≠ 0, а |sin x| ≤ 1, то на промежутках (-∞, x1) и (x2, +∞) функция имеет разные знаки. Поэтому на некоторых двух соседних промежутках (-∞, x1), (x1, x2) или (x1, x2), (x2, +∞) функция имеет одинаковые знаки, а тогда либо точка x1, либо точка x2 является точкой экстремума и производная в ней y\" = (sin x + a - b x)\" = cos x - b обращается в нуль.

36. Найдите какие-нибудь четыре попарно различных натуральных числа a, b, c, d, для которых числа a2+2cd+b2 и c2+2ab+d2 являются полными квадратами.

Решение. Предположим, что ab=cd. Тогда a2+2cd+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2, c2+2ab+d2=c2+2cd+d2=(c+d)2. Таким образом, достаточно найти четыре различных натуральных числа a, b, c и d, для которых ab=cd. Для этого найдем число n, разлагающееся в произведение двух множителей различными способами. Например, таким числом является n=6; в этом случае можно взять a=1, b=6, c=2, d=3.

37. Из квадратного листа бумаги в клетку, содержащего целое число клеток, вырезали квадрат, содержащий целое число клеток так, что осталось 124 клетки. Сколько клеток мог содержать первоначальный лист бумаги?

Решение. Задача сводится к решению в целых положительных числах уравнения x² – y² = 124, которое можно переписать в виде (x – y)(x + y) = 124. Пусть (x,y) — решение этого уравнения. Предположим, x и y имеют разную четность (то есть одно из них нечетно, а другое — четно). Тогда числа x – y и x + y — оба нечетные, значит, их произведение нечетно и не может быть равно 124. Поэтому x и y имеют одинаковую четность (то есть либо оба нечетные, либо оба четные), значит числа x + y и x – y четные. Единственный способ разложить число 124 на два четных сомножителя — это 2 • 62. Значит сумма чисел x и y равна 62, а разность — 2. Откуда x = 32, y = 30. Первоначальный лист бумаги содержал 32² = 1024 клетки.

38. Упростить выражение .

Решение. Обозначим сначала через a.

Тогда

16 − 12a + 8a2 − 4a3 = 6 − 12a + 8a2 − 4a3 + 2a4 = (a − 1)2(2a2 + 6) = (a − 1)2(a4 + 2a2 + 1) = (a − 1)2(a2 + 1)2.

Следовательно,

Ответ: 1 + .

39. Найти действительные корни уравнения:

x2 + 2ax + = - a + (0 < a < ).

Решение. Пусть — левая часть данного уравнения. График функции y = представляет собой параболу. Если 0 < a < , то )>0. Поэтому исходное уравнение эквивалентно уравнению

x2 + 2ax + = - a± .

Правая часть уравнения (1) представляет собой обратную функцию . В самом деле, если y2 + 2ay + = x, то y = - a± . Чтобы найти действительные корни данного уравнения, нужно найти точки пересечения графиков y = и y = . Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y = x, поэтому действительные корни данного уравнения являются в точности действительными корнями уравнения x2 + 2ax + = x.

Решив это уравнение, находим x1, 2 = .

40. Решить уравнение:

Решение. Заметим, что

(3)

(4)

Поэтому исходное уравнение можно записать в виде

(все корни мы считаем положительными). Рассмотрим по очереди все возможные случаи:

1. В этом случае уравнение имеет единственное решение x = 10.

2. . В этом случае получаем тождество, т.е. если , то x является корнем данного уравнения.

3. . Уравнение имеет единственное решение x = 5.

Случай, когда , очевидно, невозможен.

Ответ: .

5. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко П.И. Задачи по математике. Алгебра: Справочное пособие. М.: Наука, 1987.

6. Ивлиева Е.Г. Как готовиться к экзамену по математике: справочные материалы по алгебре и началам анализа. Системы задач для самоконтроля. 2 изд., испр. и доп. М.: школа пресс, 1994.

7. Аленицын А.Г. и др. Краткий физико математический справочник. М.: Наука, 1990.

8. Математика / Большой справочник для школьников и поступающих в вузы / Д. И. Аверьянов, И.И. Баврин и др. 2 изд. М.: Изд. дом «Дрофа», 1999.

9. Выгодский М.Я., Марк Я. Справочник по элементарной математике. М.: Астрель: ACT, 2001.

10. Власова Е.В. Еще раз об изучении функции в средней школе // Математика в школе. 2002, №7.

11. Математика: лекции, задачи, решения. / Болтянский А.Г., Сидоров В.Е. библиотека школьника и абитуриента. М.: Попурри, 1994.

12. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: Справочное пособие. –Мн.: Асар, 1996

13. Башмаков М.И. Уравнения и неравенства. - М.: Наука, 1971

14. Васильева В., Забелина С. Тригонометрия и параметры // МППС – 2002г. - №25-26

15. Голубев В., Гольдман А. О задачах с параметрами. Первоначальные сведения // Математика в школе. – 2002г. - №23

16. Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. - М.: Илекса, 1998

17. Дегтяренко В.А. Три решения одной задачи с параметром // Математика в школе. – 2001г. - №5

18. Епифанова Т.К. Графические методы решения задач с параметрами // Математика в школе. – 2000г. - №7

19. Ивлев Б.М., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П., Шварцбурд С.И. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа. Учебное пособие для 10 -11 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1990

20. Косякова Т. Решение линейных уравнений и систем линейных уравнений, содержащих параметры // МППС – 2001г. - №38

21. Кочарова К.С. Об уравнениях с параметром и модулем // Математика в школе. – 1995г. - №2

22. Косякова Т. Решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметры // МППС – 2004г. - №25-26

23. Косякова Т. Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры // МППС – 2002г. – №22

24. Карасев В., Левшина Г., Данченков И. Решение задач с параметрами // МППС – 2005г. -№4

25. Малинин В. Показательные уравнения // МППС – 2002г. -№35

26. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: Учебное пособие для студентов пед. Институтов по физ. – мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин - М.: Просвещение, 1987

27. Мещерякова Г.П. Функционально-графический метод решения задач с параметрами // Математика в школе. – 1999г. - №6

28. Хабибуллин Н.Я. Обучение методам решения нестандартных задач. - Уфа: БГПУ, Вагант, 2007

29. Цыганов Ш. Энциклопедия ЕГЭ по математике. Параметры. - Уфа: Эдвис, 2003

30. Егоров А., Работ Ж. Иррациональные неравенства // Математика в школе. – 2002г. - №15

31. Шестаков. С. Уравнения и системы уравнений // Математика в школе. – 2003г. - №37