«Аффинные преобразования плоскости и их применение к решению задач»

3) Решение задач.

При раскрытии темы применяются методы исследования: теоретический и практический.

Структура работы обусловлена предметом, целью и задачами исследования. Работа состоит из введения, основной теоретической части и заключения.

Введение раскрывает актуальность, объект, предмет, цель, задачи и методы исследования, раскрывает теоретическую и практическую значимость работы.

В теоретической части рассматриваются теория аффинного преобразования, изучаются свойства (групповые свойства). В практической части представлены задачи на аффинные преобразования и их свойства.

т.е. . Подставляя в уравнение (2) вместо x, y выражения из (3),

получим:

где ,

,

.

Итак, мы доказали что при аффинном преобразовании прямая переходит в прямую( ).

Докажем вторую часть теоремы. Пусть и - параллельные прямые, а и - их образы. Т.е. и .

Пусть прямые и имеют общую точку . Так как аффинное преобразование взаимно однозначно, - образ только одной точки M, причем М должна принадлежать и и , что невозможно, поскольку и параллельны. Следовательно, и не имеют общих точек, т. е. параллельны.

Свойство 2.

При аффинном преобразовании репер (т.е. аффинный репер переходит в аффинный репер) и точка (точка с координатами в репере переходит в точку с такими же координатами в репере ).

Доказательство:

Сначала докажем первую часть: т.к. , это означает, что , ,

При аффинном преобразовании .

Возьмем вектор . При аффинном преобразовании точки .

{ },

.

Подставляя в формулу

f:

вместо значения и находим:

отсюда следует:

Аналогично подставляем вместо значения :

Тогда путем вычитания из соотношений (*) получаем:

Получили:

Координаты вектора преобразуются линейно и однородно:

При аффинном преобразовании .

векторы линейно не зависимы.

Пусть точка имеет координаты относительно репера , тогда , тогда относительно репера и вектор и точка

Вторая глава полностью посвящена задачам на аффинные преобразования и их свойства.

При написании данной работы во многом использовался учебник Л. С. Атанасяна «Геометрия». В ней дается систематическое и углубленное изложение теории аффинных преобразований плоскости, рассматриваются многочисленные примеры, иллюстрирующие применение теоретических положений. Анализируются задачи на вычисление и доказательство, рационально решаемые с помощью метода геометрических преобразований, также предлагаются задачи для самостоятельного решения.

Также большую помощь при написании данной работы оказала книга Понарина Я.П. «Аффинная и проективная геометрия». Здесь содержится теоретический и практический материал по теме аффинных преобразований, рассмотрены свойства, группы и подгруппы аффинных преобразований плоскости. Изложение сопровождается образцами решения задач.

В итоге цель работы была достигнута, и поставленные задачи были решены в полном объеме.

7. Понарин Я.П. Аффинная и проективная геометрия. М.:МЦНМО, 2009. – 288 с.

8. Атанасян Л.С., Базылев. В.Т. Сборник задач по геометрии. М.: Просвещение, 1973. – 336 с.