«Методика изучения числовых систем в общеобразовательной школе»

Многогранное исследование числовых множеств, их свойств с 1 по 11 класс изучения математики в теории и методике обучения математике оформлено в виде отдельной содержательно-методической линии – линии развития числа.

Понятие числа на разных этапах обучения в математике расширяется, поглощая предыдущие представления учащихся:

- в 5 классе число – это и натуральное число и обыкновенная дробь, и десятичная дробь;

- в 6 классе число – это и натуральное, и целое, и рациональное число;

- в 7 классе число – это натуральное, целое, рациональное число, которые играют ключевые роли в уравнениях, неравенствах, функциях;

- в 8 классе число – это и рациональные, и иррациональные числа, это действительное число с его геометрической моделью;

- в 9 классе число – это действительное число на числовой прямой, на котором исследуются функции, уравнения, неравенства;

- в 10 – 11 классе число – сформированное представление о действительном числе, множестве R со свойством непрерывности, но котором развиваются элементы математического анализа.

Числовая линия как одна из самых значительных линий школьного курса математики имеет тесные связи с другими содержательно-методическими линиями:

- операции над числами, их свойства преобразуются, обобщаются до операций над буквами – алгебраических преобразований, тем самым из числовой линии выделяется линия тождественных преобразований;

- числа из разных числовых множеств (N, Z, Q, R), операции над ними выступают основой для составления, исследования уравнений, неравенств, что обосновывает связь числовой линии и линии уравнений, неравенств, систем;

- в школьном курсе алгебры и начал анализа изучаются числовые функции – их исследование фиксирует конкретные числа (точки максимума, минимума), числовые промежутки (период, промежутки монотонности), тем самым свойства функций имеют числовую основу, связывая числовую линию и функциональную линию.

Объемный характер числовой линии как по содержанию, так и по времени изучения, высокая значимость понятия числа в формировании математической культуры учащихся объясняют сопоставимость целей изучения числовой линии с целями обучения математике учащихся общеобразовательной школы.

Именно в числовой линии в значительной степени реализуются главные задачи школьного курса математики:

- овладение системой математических знаний и умений;

- формирование представлений об идеях и методах математики;

- формирование и развитие средствами математики интеллектуальных качеств личности.

На каждой из ступеней обучения программа общеобразовательного курса математики указанные задачи детализирует в виде системы последовательных целей:

- на первой ступени 5 – 6 классов в содержании «математики» основные цели – систематическое развитие понятия числа, выработка умений выполнять устные и письменные арифметические действия над числами, развитие навыков вычислений с натуральными числами, обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами;

- на второй ступени в 7 – 9 классах цель курса «Алгебра» – развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики;

- на третьей ступени в 10 – 11 классах курса алгебры и начал анализа множество R является основным множеством, на котором исследуются функции и их важнейшие свойства (монотонность, периодичность, непрерывность), имеющие числовые обоснования.

При написании данной темы были поставлены следующие цели - изучить исходные понятия и важнейшие теоремы и признаки курса «Числовые системы», а также на основании данного материала, решить ряд нестандартных задач по выявлению структуры некоторых числовых множеств.

Объект исследования: процесс изучения основных понятий, арифметических действий над числовыми системами в школьном курсе математики.

Предмет исследования: выявление эффективности использования элементов числовых систем в обучении школьного курса математики.

Гипотеза: предполагается, что использование основных понятий, теорем и признаков курса «Числовые системы» является как необходимое средство обучения, которое повышает качество знаний у учащихся, помогает быстрому усвоению тем других разделов курса математики.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1) Проанализировать учебники по математике, алгебре, алгебре и начала анализа под редакцией различных авторов.

2) Проанализировать и синтезировать различные методики введения отдельных понятий курса «Числовые системы».

3) Проанализировать и решить задания С6 ЕГЭ за 2010-2011г.г.

4) Подобрать примеры повышенной трудности.

При решении поставленных задач применялись метод анализа и синтеза.

Данная работа состоит из трех глав: «Методика изучения числовых систем в основной школе», «Методика изучения числовых систем в старшей школе», «Задачи повышенной трудности».

В первой главе приводится краткое историческое описание расширения понятия числа, определяются основные понятия, развивается теория делимости целых чисел (НОК, НОД, простые, составные числа), арифметические преобразования целых чисел, теория алгебраических преобразований рациональных выражений (обыкновенных и десятичных дробей), теория приближений действительных чисел, формируется свойство непрерывности R, исследуются непрерывные элементарные функции и их графики.

Во второй главе рассматривается только методика введения комплексных чисел. Исследуются различные представления комплексных чисел, операции над ними, все алгебраические уравнения разрешимы, появляются многозначность извлечения корня.

Третья глава посвящена детальному и подробному решению уравнений и неравенств в целых числах и ряда интересных задач.

Историческая схема N0Q+QRC уступает логической стройности, но заслуживает предпочтения из дидактических соображений. Школьная схема обычно обосновывается тем, что понятие дроби (положительной) доступнее пониманию учащихся, чем понятие отрицательного числа.

Процесс интеллектуального роста человека с момента рождения и в течение всей жизни во многом повторяет тенденции исторического интеллектуального роста человечества, длящегося тысячелетиями (своего рода соответствие онтогенез – антропогенез). Возможно, поэтому учащимся легче усвоить расширение числовых систем согласно исторической схеме, т. е. так, как это происходило в ходе истории человечества.[5]

В проекте программы по математике 1968 г. предусматривалась реализация в школьном обучении логической схемы развития понятия числа. Были проведены эксперименты по расширению множества натуральных чисел до множества целых чисел уже в IV классе. Однако в дальнейшем принятая программа 1970 г. возвратилась к исторической схеме, предусматривая лишь изучение арифметики десятичных дробей раньше арифметики обыкновенных дробей.

Программа 1996 г. устанавливала следующую последовательность расширения понятия числа в V-VI классах: натуральные числа и нуль, обыкновенные дроби, десятичные дроби, положительные и отрицательные числа и в заключение в виде обобщения целые и рациональные числа. В VII-IX классах подразумевалось изучение иррациональных чисел, общих положений о действительных числах.

Комплексные числа то включались в школьный курс математики, то исключались из него. Программой 1970 г. комплексные числа были исключены из школьного курса, а программа 1981 г. возвратила их, спустя несколько лет комплексные числа снова были исключены из курса. [7]

В настоящее время обязательный минимум содержания основных образовательных программ и требования к уровню подготовки выпускников школы регламентируются государственными образовательными стандартами (начального, основного и полного) общего образования. Государство отвечает на вопросы «Что?» и «Зачем?» изучать. Решение процессуального вопроса «Как?» остается за общеобразовательным учреждением. Однако большинство из существующих ныне разнообразных программ по математики придерживаются традиционной (исторической) схемы введения и расширения числовых систем.[6]

1.2. Методика изучения натуральных чисел и нуля

Понятие натурального числа формируется у учащихся, начиная с 1 класса. Много внимания уделяется этому и в 5 классе. Изучая это понятие, учащиеся должны ясно осознать, что натуральные числа используются для счета предметов, что множество натуральных чисел Ν бесконечное, упорядочное, дискретное, имеет начальный элемент, но не имеет конечного, замкнутое относительно сложения и умножения и незамкнутое относительно вычитания и деления. Все это делается на понятном для учащихся языке, на доступном материале и в разумных пределах.

Без понимания структуры множества N нельзя достичь понимания структуры множеств Z, Q, R. Уже в начальных классах учащиеся понимают, что отношение «меньше» устанавливает определенный порядок в множестве N. Это объясняется с помощью упражнения: «b следует за a или a предшествует b, если ». Далее на базе отношения «меньше» разъясняются более сложные отношения: «лежит между» и «непосредственно следует за» - это определяет свойство дискретности (то есть между ними нет ничего).

Правильная ориентация в методике изучения натуральных чисел в 5 классе предполагает знание, с одной стороны, связи данной темы с курсом 1-4 классов, с другой стороны – знание нового в содержании учебного материала и методике его изложения в 5 классе. Необходимо также учитывать общие особенности учебника математики 5 класса. В учебниках соответствующий теоретический материал излагается в виде небольших фрагментов, после чего приводятся упражнения и задачи. [3]

В 5 классе даются определения (или описания) понятий: натурального числа, десятичной записи числа, миллиарда, координатного луча, координаты точки, суммы двух чисел, слагаемых, числового выражения, значения выражения, разложения числа по разрядам, разрядных слагаемых, разности двух чисел, уменьшаемого, вычитаемого, произведения двух чисел, множителей, частного двух чисел, делителя числа, кратного числа и др. При этом учителю необходимо различать, в каком случае в учебнике приводится полноценное в логическом отношении определение, а в каком – описание понятия, не претендующее на строгость.

Перед изучением действий над натуральными числами необходимо основательно повторить нумерацию многозначных чисел. Учащиеся должны хорошо понимать различие между числом и цифрой, знать разряды и классы, иметь навыки беглого чтения и записи многозначных чисел. При обучении чтению и записи необходимо использовать устные работы и математические диктанты.

Большое внимание уделяется в 5 классе изучению арифметических действий. Надо помнить, понятие сложения не определяется, а другим действиям даются логические определения.

При изучении сложения от учащихся следует требовать хорошего знания названия компонентов, алгоритма выполнения сложения многозначных чисел. Следует обращать внимание учащихся на тот случай, когда одно из слагаемых равно нулю, т.е. показывать, что равенства а+0=а, 0+а=а верны при любом значении а. Переместительный и сочетательный законы сложения изучаются индуктивным методом: к обобщениям a+b=b+a, (a+b)+c=a+(b+c) учащиеся должны приходить путем рассмотрения конкретных примеров. Важно довести до сознания учащихся, что эти законы обычно применяются вместе и служат для упрощения вычислений.

Вычитание также рассматривается, исходя из решения конкретных задач. Затем дается определение: вычесть из числа a число b - значит найти такое число c, которое в сумме с числом b дает a, т.е. b+c=a .

Учащиеся должны знать компоненты, усвоить алгоритм вычитания, понимать смысл равенств: а-0=а, а-а=0.

Выработке прочных навыков сложения и вычитания натуральных чисел, глубокому осознанию учащимися связи между сложением и вычитанием будет способствовать решение уравнений и задач с помощью составления уравнений.

Умножение определяется следующим образом: умножить число a на число b – значит найти сумму b слагаемых, каждое из которых равно a. Но к такому обобщение приходим путем рассмотрения конкретных примеров: 3*5=5+5+5=15; 4*5=20 и т.д.

1. Понятие числа является одним из важнейших понятий математики, изучение его в школе составляет базу для рассмотрения других разделов курса математики.

2. Понятие числа в школьном курсе постепенно развивается путем расширения множества натуральных чисел.

3. Каждое расширение понятия числа для учащихся должно быть естественным, вызвано потребностями дальнейшего продвижения вперед в изучении математики.

4. Основными при рассмотрении любой числовой системы являются вопросы сравнения чисел, изучения действий и законов арифметических действий.

5. Выработка прочных вычислительных навыков при изучении каждой числовой системы является первостепенной задачей учителя математики.

Перспективность результатов исследования определяется возможностями использования полученных выводов и рекомендаций для практического использования студентами-практикантами математического факультета и учителями математики.

6. Программы для общеобразовательных учреждений. Математика: Учебное издание / Под ред. Л.М. Котова. [Текст]– М.: Просвещение, 1996. – 193 с.

7. Государственный образовательный стандарт основного общего образования по математике [Текст] // Математика в школе. - 2004. – Вып. 4 – С. 2-16.

8. Феферман С. Числовые системы. [Текст] – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1971.

9. А. Шень. Простые и составные числа. [Текст] – М.: МЦНМО, 2005.

10. Алфутова Н. Б., Устинов А. В. Алгебра и теория чисел. Сборник задач для математических школ. 2-е издание. [Текст] – М: МЦНМО, 2005.

11. Дынкин Е.Б., Молчанов С.А., Розенталь А.Л., Толпыго А.К. Математические задачи. [Текст] - М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1965.

12. Математика в школе. [Текст] - 1992. – Вып. 4 – С. 36.

13. Математика в школе. [Текст] – 2001. – Вып. 18 – С. 25, 26.

14. И.А. Чубаров. Математика: задание №6 для 9-х классов (2009-2010 учебный год). [Текст] - М.: МФТИ, 2009, 28с.

15. Н.Н. Воробьев. Признаки делимости. 4-ое издание. [Текст] – М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1988.

16. Ю.В. Нестеренко. Теория чисел. [Текст] – М: Академия, 2008.

17. Г.В. Дорофеев, Л.Г. Петерсон. Математика. 6 класс. Часть 2. [Текст] - М.: Ювента, 2007.

18. Гладкий, А.В. Действительные числа как последовательности обыкновенных дробей [Текст] / А.В. Гладкий, Ю.Н. Козиоров // Математика в школе. – 1996. – №6. – С.39-48.

19. Жуков, А. Алгебраические и трансцендентные числа [Текст] / А. Жуков // Квант. – 1998. – №4. – С.32-33.

20. Гладкий, А.В. Действительные числа как последовательности обыкновенных дробей [Текст] / А.В. Гладкий, Ю.Н. Козиоров // Математика в школе. – 1996. – №6. – С.39-48.

21. Факультативный курс "Приложение комплексных чисел". [Текст] // Математика. - 2009. – Вып. 4 – С. 10-14.

22. В.Е. Епихин. Комплексные числа: методическая разработка для учащихся Заочной школы «Юный математик» при ВЗМШ и МЦНМО. [Текст] –– М: МЦНМО, 2009.

23. Андронов И.К. Математика действительных и комплексных чисел. [Текст] - М.: Просвещение, 1975.

24. Брадис В.М. Методика преподавания математики в средней школе. [Текст] - М.: 1951.

25. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. инст. по физ.-мат. спец. /Сост. В.И Мишин. - М.: Просвещение, 1987.

26. Виленкин Н.Я. Алгебра и математический анализ 11. [Текст] - М.: Просвещение, 1995.

27. Методика факультативных занятий в 9-10 классах. Избранные вопросы математики. [Текст] - М.: Просвещение, 1983.

28. А.Г. Корянов. Математика. ЕГЭ 2010. Задания типа С1-С6. Методы решения. [Текст] – Брянск: ГИМЦ, 2010.

29. ЕГЭ по математике. Демонстрационный вариант контрольных измерительных материалов ЕГЭ 2010 года.

30. Математика 5 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин и др. - 22-е изд., стереотип. - М.: Мнемозина, 2007.

31. Математика. 6 класс. Учебник. Виленкин Н.Я.- 25-е изд., стер. [Текст] - М.: Мнемозина, 2009.

32. Алгебра: Учебник для 7кл общеобразов. учреждений. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. -12е издание [Текст]-М.: Просвещение, 2003-223с.

33. Алгебра: Учебник для 7 кл общеобразов. учреждений. Алимов Ш.А. и др. – М.: Просвещение, 1995. - 191с.

34. Алгебра. 8 класс. Учебник для 7 кл общеобразов. учреждений. Алимов Ш.А. и др. - 17-е изд. [Текст] - М.: Просвещение, 2010.

35. Алгебра: Учебник для 8кл общеобразов. учреждений. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского. -9е издание [Текст]- М.: Просвещение, 2001-238с.

36. Алгебра: Учебник для 9кл общеобразов. учреждений. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.-10е издание [Текст]- М.: Просвещение, 2003-270с.

37. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. [Текст] – М.: Мнемозина, 2009.

38. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: В двух частях. Ч.1: учебник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. [Текст]– М.: Просвещение, 2003.

39. Алгебра и начала анализа 10-11 класс: В двух частях. Ч.2: задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г. Мордкович [и др.]; отв. ред. А.Г. Мордкович. [Текст]– М.: Просвещение, 2003.

40. Пратусевич М.Я. и др. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С6. Арифметика и алгебра / Под ред. А. Л. Семенова и И. В. Ященко. [Текст] – М.: МЦНМО, 2011.