«Поведение аналитической функции, заданной рядом экспонет, вблизи границы»

(1.5)

Доказательство.

Пусть R- порядок функции f (z) конечен, докажем, что

(1.6)

Воспользуемся определением предела. Из (1.5) для больших (-х)

Обозначим правую часть неравенства через

Найдём ,

при .

Правая часть неравенства имеет минимум при

, причём величина при .

Заменяем в выше указанном неравенстве на (при больших n это можно сделать), получим, что при больших n

Откуда при

Так как - любое, то значит верно (1.6)

Убедимся теперь в том, что . Из определения величины следует:

в силу чего

Так как , ,

То

Поскольку в силу условия (1.2) , где то

Поэтому где

Далее,

Обозначим правую часть неравенства через

при .

Указанный максимум достигается в точке и равен

Таким образом

Откуда .

Из двух установленных утверждений вытекает .

Глава 2. Поведение аналитической функции вблизи мнимой оси.

Пусть (1.7)

Тогда абсцисса простой и абсолютной сходимости совпадают для ряда

f(z)=

Пусть они равны нулю, т.е. (1.8)

Величину

(1.9)

Назовём порядком f(z) в Rez>0.

Теорема 2. Если f(z) имеет порядок , то

(1.10)

где - конечное число.

Доказательство.

Положим

(1.11)

Докажем, что

Имеем из выражения (1.8) для

Согласно оценке (1.1) при x > 0 и , получим

обозначим через

Положим , тогда

при

обозначим .

, то есть

.

Отсюда .

Убедимся теперь, что .

Из (1.1) следует

Рассмотрим разность

Получим для любого

Следовательно,

.

При малых можно воспользоваться левой частью неравенства.

, где .

В силу чего

Так как

, то

Из условия

Поэтому

Обозначим через

Максимум достигается в точке и он равен

Таким образом,

при ,

Получим

Подставим вместо s значение , получим

Следовательно, .

В итоге и формула (1.10) установлена для конечного.

Докажем, что формула (1.10) верна и для .

Доказательство.

Из выражения (1.9) для больших (-x) при любом

Согласно формуле

([1])

Обозначим через

при

то есть

Следовательно, .

Так как - произвольное число, то

Покажем, что условие (1.7) существенно, т.е. если не выполняется это условие, то формула определения порядка (1.10) может быть неверной.

Рассмотрим функцию f(z)= ? Ult

.

Функция f(z) аналитична в Rez > 0.

Для этой функции абсциссы простой и абсолютной сходимости равны нулю. Условие (1.7) для функции f(z) не выполняется, так как

По формуле вычисления порядка

Следовательно, .

В действительности, покажем, что .

Имеем

Обозначим через

Точка максимума для функции число .

Пусть .

Тогда .

Следовательно .