«Предмет и метод математики_Уравнения_Классификация функций.»

Остановимся коротко на том, чем высшая математика отличается от элементарной, изучаемой в средней школе. Провести между ними совершенно отчетливую границу невозможно, но можно выделить наиболее характерные черты каждой из них.

Основной особенностью всех математических наук является их отвлеченный или абстрактный характер. Но действительность всегда конкретна, и потому математические предложения, как и всякая теория, отражает ее лишь с некоторым приближением.

Те величины, с которыми мы имеем дело при изучении природы, являются величинами, изменяющимися или переменными. В элементарной математике мы обычно отвлекаемся от того, что рассматриваемые величины являются переменными, и принимаем их за постоянные. Это возможно далеко не всегда, а только тогда, когда мы занимаемся величинами, изменения которых невелики, и ими можно пренебречь. Это объясняет, почему область приложения методов элементарной математики, математики постоянных величин, весьма ограничена.

Правда, в случае, например, геометрии Евклида, в единственности и абсолютной универсальности которой у Канта в общем нет сомнений, ее аксиомы и постулаты в совокупности представляют собой гносеологически еще более сложное образование, будучи совокупным результатом идеализируещего абстрагирования и идеального, т.е. чисто абстрактного, конструирования. В последнем случае отражение объективной реальности в теории происходит \"окольным\" путем приблизительной интерпретации. Только физическая интерпретация, проверяемая затем в практике научных экспериментов, в состоянии решить, какая из известных ныне геометрических систем истинна, т.е. соответствует свойствам реального физического пространства. Заметим так же, что изображенная Кантом структура математики, которая включает в себя не только чувственную интуицию и синтезирующую конструкцию, но и аналитичность, как бы по частям возродилась в интуиционистском, конструктивистском и чисто аналитическом направлениях философии математики ХХ в.

Но каждое из этих направлений односторонне.

Важный вопрос заключается в том, можно ли считать, что открытие Лобачевским неевклидовых геометрий в принципе подорвало учение об априорности пространства, поскольку оно показало, что тезис об априорной общеобязательности геометрии Евклида как единственного будто бы возможного для всякого субъекта способа восприятия чувственных феноменов не имеет силы.

Лобачевский не отрицал эмпирической предпочтительности геометрии Евклида как геометрии обычного восприятия и привычного для нас макромира, и эту-то \"привилегированность\" и закрепленную в филогенезе \"очевидность\" евклидовского видения пространства Кант как раз и пытался объяснить посредством априоризма, так что неокантианец Э.Кассирер увидел в открытии Лобачевского даже подтверждение кантианской позиции. Конечно зависимость выбора между неевклидовыми геометриями от физических и предметных интерпретаций наносит по априоризму \"критического\" Канта сильный удар. Однако сам факт создания подобных геометрий не столько побуждает к его модификациям: ведь метод идеальных конструктов в современной математике и освобождение абстрактных геометрических построений наших дней от остатков былой \"воззрительности\" в первом приближении с априористской иллюзией совместимы. Кант был знаком через Ламберта с допущениями математиков насчет возможности неевклидовых постулатов и писал: \".возможно, что некоторые существа способны созерцать те же предметы под другой формой, чем люди\". Уже это его допущение свидетельствует о том, что, кроме однозначного априоризма и конвенцианолизма, идеализм в математике способен апеллировать и к иным гносеологическим построениям. Однако тезис общей теории, относительности, что выбор той или иной геометрии есть физическая проблема, а также вывод из этой теории, что при определенных условиях распределения масс во Вселенной ее пространство имеет именно неевклидовую структуру, подрывают априоризм в самой его основе [1, c. 97].

2 Уравнения: понятия, классификация

Функция вида

P(x) = a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an – 1x + an,

где n — натуральное, a0, a1,…, an — некоторые действительные числа, называется целой рациональной функцией.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция, называется целым рациональным уравнением.

Уравнение вида

P1(x) / Q1(x) + P2(x) / Q2(x) + … + Pm(x) / Qm(x) = 0,

где P1(x), P2(x), … ,Pm(x), Q1(x), Q2(x), …, Qm(x) — целые рациональные функции, называется рациональным уравнением.

Решение рационального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) — многочлены (Q (x)  0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корни удовлетворяют условию Q (x)  0.

2.1 Линейные уравнения

Уравнения вида ax+b=0, где a и b — некоторые постоянные, называется линейным уравнением.

Если a0, то линейное уравнение имеет единственный корень: x = -b /a.

Если a=0; b0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав исходное уравнение в виде ax = -b, легко видеть, что любое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если прямая проходит через точку с координатами X0 и Y0, то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y0 = aX0 + b.

Пример 1.1. Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Последовательно раскроем скобки, приведём подобные члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

6x = 12, x = 2.

Ответ: 2.

Пример 1.2. Решить уравнение

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Ответ: .

Пример 1.3. Решить уравнение.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

-4x + 4x = 9 – 9,

0x = 0.

Ответ: Любое число.

2.2 Системы линейных уравнений

Уравнение вида

a1x1 + a2x2 + … + anxn = b,

где a1, b1, … ,an, b —некоторые постоянные, называется линейным уравнением с n неизвестными x1, x2, …, xn.

Система уравнений называется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неизвестных, то возможны следующие три случая[3, c. 86]:

1) система не имеет решений;

2) система имеет ровно одно решение;

3) система имеет бесконечно много решений.

Пример 2.4. решить систему уравнений

2x + 3y = 8,

3x + 2y = 7.

Решение. Решить систему линейных уравнений можно способом подстановки, который состоит в том, что какого-либо уравнения системы выражают одно неизвестное через другие неизвестные, а затем подставляют значение этого неизвестного в остальные уравнения.

Из первого уравнения выражаем: x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во второе уравнение и получаем систему уравнений

x = (8 – 3y) / 2,

3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.

Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.

Ответ: (1; 2).

Пример 2.5. Решить систему уравнений

x + y = 3,

2x + 2y = 7.

Решение. Система не имеет решений, так как два уравнения системы не могут удовлетворяться одновременно (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).

Ответ: Решений нет.

Пример 2.6. решить систему уравнений

x + y = 5,

2x + 2y = 10.

Решение. Система имеет бесконечно много решений, так как второе уравнение получается из первого путём умножения на 2 (т.е. фактически есть всего одно уравнение с двумя неизвестными).

Ответ: Бесконечно много решений.

Пример 2.7. решить систему уравнений

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

– x + 6y + z = 5.

Решение. При решении систем линейных уравнений удобно пользоваться методом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.

Умножаем первое уравнение системы на – 2 и, складывая полученный результат со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая первое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, или y = 1.

Таким образом, система приобрела треугольный вид

x + y – z = 2,

y – 2z = 1,

y = 1.

Подставляя y = 1 во второе уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в первое уравнение, находим x = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

Пример 2.8. при каких значениях параметра a система уравнений

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

имеет бесконечно много решений?

Решение. Из первого уравнения выражаем x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем

(a + 1)( – (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

Далее умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:

(a + 1)(a + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1 ) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при любых значениях y [2, c. 108].

Ответ: 3.

3 Функция и её свойства, виды функций

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.

Переменная х- независимая переменная или аргумент.

Переменная у- зависимая переменная

Значение функции- значение у, соответствующее заданному значению х.

Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.

Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.

Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)

Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)

Возрастающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)Убывающая функция- если для любых х1 и х2, таких, что х1< х2, выполняется неравенство f(х1)>f(х2)

Способы задания функции

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у=f(x), где f(x)-некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов[4, c. 126].

Виды функций и их свойства:

1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у=b, где b-некоторое число. Графиком постоянной функции у=b является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку (0;b) на оси ординат

2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у=kx, где к0. Число k называется коэффициентом пропорциональности.

Cвойства функции y=kx:

— Область определения функции- множество всех действительных чисел

— y=kx - нечетная функция

— При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y=kx+b, где k и b-действительные числа. Если в частности, k=0, то получаем постоянную функцию y=b; если b=0, то получаем прямую пропорциональность y=kx.

Свойства функции y=kx+b:

— Область определения- множество всех действительных чисел

— Функция y=kx+b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.

— При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой

Графиком функции является прямая.

4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y=k/х, где k0 Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Свойства функции y=k/x:

— Область определения- множество всех действительных чисел кроме нуля

— y=k/x- нечетная функция

— Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+) и на промежутке (-;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-;0) и на промежутке (0;+).

Графиком функции является гипербола.

5)Функция y=x2

Свойства функции y=x2:

— Область определения- вся числовая прямая

— y=x2 - четная функция

— На промежутке [0;+) функция возрастает

— На промежутке (-;0] функция убывает

Графиком функции является парабола.

6)Функция y=x3

Свойства функции y=x3:

— Область определения- вся числовая прямая

— y=x3 -нечетная функция

— Функция возрастает на всей числовой прямой

Графиком функции является кубическая парабола

7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2; y=x3. Их свойства рассмотрены выше.

В заключение отметим, что при изучении математики очень существенно решение задач. Еще Ньютон высказывал мнение, что эта сторона дела важнее, чем усвоение теории. Конечно, полностью с этим согласиться нельзя, но нет сомнения, что для инженера одно лишь теоретическое знакомство с материалом было бы бесполезно. Поэтому студенты должны сочетать изучение лекций с решением задач из задачников по высшей математике.