«Ряды с вещественными и комплексными показателями»

В отличие от ряда Тейлора, где круг сходимости совпадает с кругом абсолютной сходимости, у ряда Дирихле полуплоскость сходимости, вообще говоря, не совпадает с полуплоскостью абсолютной сходимости.

Если ряд

абсолютно сходится в точке z0, то из неравенств

следует, что ряд абсолютно и равномерно сходится в полуплоскости Re z ≥ Re z0. Следовательно, ряд Дирихле или сходится во всей плоскости, или нигде не сходится абсолютно, или существует такая конечная величина а, что ряд абсолютно сходится в полуплоскости Re z > а и не сходится абсолютно в полуплоскости Re z < а. Полуплоскость Re z > а называется полуплоскостью абсолютной сходимости, прямая Re z = а — прямой абсолютной сходимости, а величина а — абсциссой абсолютной сходимости. Если ряд всюду сходится абсолютно, полагают а = - ∞, если он нигде не сходится абсолютно, полагают а = - ∞.

Ряд сходится как знакочередующийся ряд при z = х > 0 и расходится в точке z = 0, поэтому его абсцисса сходимости с = 0. Поскольку при любом х > 0 и достаточно больших п

абсцисса абсолютной сходимости а = + ∞.

Между абсциссами а и с, очевидно, выполняется соотношение с ≤ а. Если а < + ∞, то при любом ε > 0 в полуплоскости Re z> а + ε ряд сходится равномерно. Нижнюю грань r множества чисел α таких, что в полуплоскости Re z > α ряд сходится равномерно, назовем абсциссой равномерной сходимости ряда Дирихле. Имеем r ≤ а. Вместе с тем, очевидно, с ≤ r. Поэтому с ≤ r ≤ а.

Теорема. Пусть

. (1)

Тогда a – c ≤ L.

Доказательство. Теорему достаточно доказать для случая . Пусть ряд Дирихле сходится в точке , покажем, что он абсолютно сходится в полуплоскости . Положим . Выберем положительное . В силу (1),

и поэтому при

Отсюда вытекает требуемое.

Граница L для разности a – c является точной в том смысле, что существуют ряды, для которых эта разность в точности равна L. Например, для ряда

L = 1, c = 0, a = 1.

в силу чего

.

Теорема доказана.

Пусть D – открытая область, состоящая из внутренних точек множества М точек абсолютной сходимости ряда (1).

Теорема 2. Внутри области D ряд (1) сходится равномерно.

Доказательство. Область D – выпуклая. Чтобы доказать равномерную сходимость ряда внутри D, достаточно доказать, что ряд (1) равномерно сходится в достаточно малой окрестности каждой точки из области D.

Итак, пусть D. Возьмем треугольник Δ в области D, который накрывает точку . Пусть – его вершины. На сторонах треугольника в силу неравенства (3) имеем

.

Это неравенство на основании принципа максимума модуля аналитической функции справедливо также внутри треугольника Δ. Следовательно,

и потому ряд (1) в треугольнике сходится равномерно.

Следствие. Сумма f( ) ряда (1) в области D – аналитическая.

Это следует из равномерной сходимости ряда внутри области D.

2.2. Множество точек простой сходимости ряда

До сих пор показатели были совершенно произвольными. Сейчас мы предположим, что и

(4)

Теорема 3. Пусть ряд (1) сходится в области Е. Если точка E такова, что она удалена от границы Е на расстояние, больше Н, то в ней ряд (1) сходится абсолютно.

Доказательство. Возьмем в области Е круг

и опишем около него многоугольник так, чтобы этот многоугольник еще целиком лежал в области Е. Пусть – вершины многоугольника. На основании (3), на сторонах многоугольника имеем

Из сходимости ряда (1) в точках следует, что

Где М – некоторая постоянная. Следовательно, на границе многоугольника

(5)

Это неравенство (на основании принципа максимума модуля аналитической функции) выполняется внутри многоугольника, в частности, на окружности . Запишем

Пусть . Возьмем на окружности точку , удовлетворяющую условию . Имеем

В силу (5), получаем

откуда

(6)

Воспользуемся условием (4). Из него находим

На этом основании, согласно (6), получаем

При малом величина . Поэтому

Утверждение доказано.