«О росте целой функции в полосе»

Данная работа состоит из трех глав. Первая и вторая главы имеют вспомогательный характер. Они содержат основные понятия и теоремы, используемые в ходе исследования.

В третьей главе рассмотрены две задачи сравнения порядка целой функции, записанной в виде ряда Дирихле, на всей плоскости и в полосе в зависимости от задаваемых для данной функции условий.

Так берется ряд Дирихле и рассматривается функция, представленная в виде этого ряда .

В первом случае мы рассматриваем данную функцию в полосе S(a,t0): при условии . При этих условиях рассматривается соотношение роста функции на всей комплексной плоскости, который определяется понятием порядка функции, и рост функции в полосе S при условии (где D* - усредненная верхняя плотность последовательности ). Далее рассматривается случай с добавлением условий

Глава I. Необходимые сведения из теории целых функций.

1. Порядок и тип целой функции.

Целая функция называется целой функцией порядка ρ, если при любом неравенство выполняется при всех z, для которых , а неравенство выполняется, по крайней мере, для одной последовательности значений z такой, что .

Целая функция называется целой функцией порядка ρ и типа σ если при любом неравенство выполняется при всех z, для которых , а неравенство выполняется, по крайней мере, для одной последовательности значений z такой, что .

2. Целые функции первого порядка и конечного типа. В качестве характеристики роста целой функции порядка ρ конечного типа σ по лучам, выходящим из начала координат, вводится функция , которая называется индикатрисой роста функции . Из самого определения следует, что - периодическая функция с периодом и . Отметим свойства:

В данной работе устанавливается соотношение между порядком функции, представленной в виде всюду сходящегося ряда Дирихле, на всей плоскости и порядком в полосе . Рассматриваются 2 случая: в первом рассматривается функция , показатели которой имеют конечную верхнюю плотность D, и в плоскости комплексного переменного z берется полоса S(a,t0): . В этом случае порядки и связаны соотношениями:

1) если при (D* - усредненная верхняя плотность последовательности ), тогда в этом случае .

2) при (D* - усредненная верхняя плотность последовательности ) и

1. Ряды экспонент / Сост. А.Ф.Леонтьев. – М.: Наука, 1976. – 536 с.

2. Целые функции. Ряды экспонент / Сост. А.Ф.Леонтьев. – М.: 1983.

3. К вопросу о росте функций, определенных рядами Дирихле и некоторыми другими более общими рядами / Сост. А.Ф.Леонтьев. – матем.сб. 65(105), №2 (1964), 227-237.