«Ряды экспонент с комплексными показателями, построение по заданной области»

Достаточно полное изложение теории рядов экспонент имеется в монографии А.Ф. Леонтьева. Основной результат теории экспонент, также принадлежит А.Ф. Леонтьеву. Ему удалось доказать, что любую функцию, аналитическую в открытой области, можно разложить в ряд экспонент с фиксированными показателями при определенных условиях на эти показатели.

Ряды экспонент – это ряды Дирихле

Такие ряды – непосредственное обобщение степенных рядов. Отметим, например, что если , то область сходимости ряда (1) – левая полуплоскость при сумма ряда стремиться к нулю. Из этого следует, что сумма ряда (1) в полуплоскости не может быть произвольной аналитической функцией, так, она не может тождественно равняться единице.

Будем рассматривать ряды Дирихле, показатели которых, вообще говоря, комплексные и удовлетворяют условию

Отметим, что при условии

открытая область сходимости ряда (1) совпадает с открытой областью абсолютной сходимости этого ряда, а последняя всегда выпукла.

Таким образом, важное значение приобретают вопросы, связанные с поведением рядов вида (1) и их сумм. Исследованию таких вопросов и посвящена выпускная квалификационная работа.

Цель исследования – по данной выпуклой области построить ряд экспонент с комплексными показателями.

Функция

называется усредненной функцией плотности последовательности а величина

- верхней усредненной плотностью последовательности [7, стр. 9]

Рассмотрим ряды Дирихле с комплексными показателями

где и существует угловая плотность последовательности следовательно, в частности,

Так же предположим, что

Приведем некоторые известные теоремы, которые будут использоваться в дальнейшем.

Пусть целая функция экспоненциального типа и

Тогда, как известно,

где - контур, внутри которого находится область , содержащая сопряженную диаграмму функции причем расстояния точек на от не меньше чем ε (ε>0).

Пусть ряд

сходится равномерно в области функции голоморфны в этой области,

область, обладающая тем свойством, что если то

Тогда имеет место теорема Крамера – Полиа, в силу которой

причем сходимость этого ряда равномерна в области, лежащей, внутри области Если при этом можно аналитически продолжить в некоторую область то продолжается аналитически в область , связную с и обладающую тем свойством, что если

то

Теорема Крамера – Полиа остается справедливой, если функция экспоненциального типа в угле функции при имеет порядок и ряд

внутри области сходимости мажорируется числовым сходящимся рядом, а при достаточно большом абсолютно сходящимся рядом

При этом под следует понимать бесконечную область, содержащую сопряженную диаграмму функции, индикатриса которой в угле

совпадает с индикатрисой функции а вне этого угла равна контур, содержащий и отстоящий от границы на расстоянии, не меньшем ε.

Покажем, что теорема Крамера – Полиа справедлива для сходящегося в некоторой области ряда Дирихле

удовлетворяющего условиям (2), (3). Действительно, при этих условиях ряд (1.1)сходится равномерно в некотором угле содержащем бесконечный отрезок действительной полуоси, и мажорируется в числовым сходящимся рядом, а члены ряда (1.1) стремятся к нулю при . Пусть

Так как и рассматриваемый угол можно взять внутри угла то , где α>0, и, следовательно, Но и поэтому

где положительная постоянная, если достаточно велико. Таким образом, в рассматриваемом угле при достаточно большом и имеем

где ε>0 и

Поэтому ряд

мажорируется при достаточно большом рядом

и в силу условия (2), тем более некоторым числовым сходящимся рядом (например, рядом ).

Введем обозначение

и предположим, что функция голоморфна в некоторой области а функция экспоненциального типа в угле

и ее сопряженная диаграмма содержится в некоторой области Из теоремы Крамера – Полиа следует, что ряд

будет сходиться равномерно в области, лежащей внутри области точки которой таковы, что если и его сумма будет аналитической в области связной с и такой, что если

Но

Таким образом, можно утверждать, что функция

аналитична в области [5, стр. 89-92]

При исследовании вопроса о сходимости рядов Дирихле используют следующую формулу:

где и - любые величины,

Чтобы доказать данную формулу, отметим равенства

при

В силу этого

Раскрывая скобки и группируя иначе члены, получим искомую формулу

+ которая и называется преобразованием Абеля.

Рассмотрим ряд Дирихле

у которого показатели положительны, и, кроме того,

.

Покажем, что если ряд

сходится в точке , то он сходится (вообще говоря, не абсолютно) в полуплоскости

в каждом секторе

он сходится равномерно.

Для доказательства применим к выражению

преобразование Абеля с

Имеем

Откуда, полагая получим

По условию ряд

сходится в точке Следовательно, для каждого найдется такое что при любых удовлетворяющих условию

7. Мандельбройт С., Ряды Дирихле, принципы и методы. – Мир, 1973.

8. Напалков В.В., Об одном методе восстановления функции по ее коэффициентам Дирихле //Матем.заметки, 1975 – 17 - №4.