«Абсолютная непрерывность семейства неаддитивных функций множества»

Теорема 1. Пересечение K = любого множества E колец L также является кольцом.

Доказательство.

Действительно, класс K непуст (он заведомо содержит множество O, поскольку его содержат все кольца L).Пусть , . Тогда , для каждого . Следовательно, , для каждого , поскольку Lкольцо. Следовательно, , . Таким образом, Kкольцо.

Теорема 2. Для любой непустой системы множеств M существует одно и только одно кольцо K(M), содержащее M и содержащееся в любом кольце R, содержащим M.

Доказательство.

Легко видеть, что кольцо K(M) определяется системой M однозначно. Для доказательства его существования рассмотрим объединение X= всех множеств A, входящих в M, и кольцо T(X) всех подмножеств множества X. Пусть — совокупность всех колец множеств, содержащихся в T(X) и содержащих M. Пересечение P= всех этих колец и будет, очевидно, искомым кольцом K(M).

Действительно, каково бы ни было кольцо K*, содержащее M, пересечение будет кольцом из и, следовательно, , т. е. P действительно удовлетворяет требованию минимальности. Это кольцо называется минимальным кольцом над M или кольцом, порожденным M, и обозначается K(M).

Всякое кольцо множеств K является полукольцом, так как если A и входят в К, то имеет место разложение

, где .

Теорема 1. Пусть множества , А принадлежат полукольцу М, причем множества попарно не пересекаются и все содержатся в А. Тогда набор множеств можно дополнить множествами до конечного разложения

, ,

множества А.

Доказательство.

Доказательство проведем по индукции. При справедливость утверждения теоремы вытекает из определения полукольца. Предположим, что это утверждение справедливо для и рассмотрим множеств удовлетворяющих условиям теоремы. По сделанному предположению,

,

где все множества принадлежат М. Положим . По определению полукольца, имеется разложение , где все принадлежат М. Легко видеть, что

.

Таким образом, утверждение теоремы доказано для , а следова-тельно, и вообще для всех п.

Для каждой системы множеств М существует единственное мини-мальное кольцо, содержащее М. Построение кольца K(М) по М обозримо в том случае, когда М представляет собой полукольцо. Это построение дается следующей теоремой.

Теорема 2. Если М — полукольцо, то К(М) совпадает с системой H множеств A, допускающих конечные разложения

на множества АkМ.

Доказательство.

Покажем, что система Н образует кольцо. Если А и В — два произвольных множества из Н, то имеют место разложения

, , Аi, .

Так как M — полукольцо, то множества

тоже входят в M. В силу теоремы 1 имеют место разложения

A = ; , (1)

где , Из равенств (1) вытекает, что множества и допускают разложения

,

и, следовательно, входят в H. Таким образом, H действительно представляет собой кольцо; его минимальность среди всех колец, содержащих M, очевидна.

§ 3. Аддитивные функции множества.

Определение 1. Функцию называют аддитивной (конечно-аддитивной), если

- всякий раз, как и имеет место конечное разложение

, (1)

Примеры:

1.Пусть Kкласс всевозможных конечных промежутков Е числовой прямой. Функция задается на K условием длина промежутка Е с концами в точках (левый конец) и (правый конец). Случай не исключается.

2. Пусть — какая-нибудь действительная функция (непрерывная или разрывная) действительной переменной, заданная в некотором промежутке числовой прямой (или на всей числовой прямой). Положим для , где ,

— функция множества, заданная на классе K всевозможных конечных полуинтервалов с концами на . (Здесь можно было бы рас-сматривать и промежутки других типов).

3.Пусть K — класс всевозможных прямоугольников Е, лежащих в плоскости Оху. Функция  задается на K условием = пл. Е (пло-щадь Е).

Простейшие свойства аддитивных функций, заданных на классе К:

I. Если (т. е. пустое множество входит в класс, на котором задана функция), то ; в частности, это будет так, если К — кольцо или полукольцо.

Доказательство.

Так как О=ОО —разложение (слагаемые в правой части не имеют общих элементов!), то , откуда .

II. Если – см. рис.1, то

;

в частности, это будет так, если К – кольцо, .

Рис.1.

Доказательство.

Имеет место разложение и поэтому

, откуда и следует требуемое.

Следствие.

Если K — кольцо, то

,

.

Действительно, , причем справа — разложение; , причем ; все фигурирующие здесь множества принадлежат кольцу К. Поэтому . С другой стороны, и, следовательно, .

III. Если и аддитивны, то аддитивны и функции , (заданные на том же классе К).

В самом деле, если – конечное разложение, , , то

,

,

что, собственно, и требовалось доказать.

IV. Если К — кольцо, то в определении конечной аддитивности достаточно ограничиться случаем двух слагаемых, так как в данном случае это влечет за собой выполнение условия (1) для любого конечного числа слагаемых.

Действительно, если — разложение и , то

§4. Равностепенная абсолютная непрерывность возрастающих полумер.

Пусть - некоторое множество; и - некоторые кольца подмножеств множества , причем ; - нормированное пространство с нормой .

Если не оговоренно противное, предполагается, что рассматриваемые функции множества определенны на кольце и принимают значения из пространства или из .

Если - -значная функция множества, то положим

Очевидно, что если - значная функция - монотонна, то

, .

Определение 1. Говорят, что функции множества семейства обладают свойствами РОУН (равномерного отсутствия ускользающей нагрузки) на классе множеств , если для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

равномерно относительно .

Определение 2. Функцию множества назовём полуаддитивной, если для любых двух дизъюнктивных множеств и выполняется соотношение

Определение 3. -значную функцию множества называют полумерой, если - полуаддитивная, монотонная и (Ø)=0.

Определение 4. Пусть и - две последовательности - значных функций множества. Говорят, что функции множества последовательности равностепенно абсолютно непрерывны на классе множеств относительно функций множества последовательности (пишем на ), если для любого существует такое, что для любого номера и для любого множества , для которых

В случае, если и , будем говорить, что функция абсолютно непрерывна относительно функции (и писать на ).

Из определения 4. непосредственно следует, что если на , то для любого номера на .

Следующий пример показывает, что, вообще говоря, из условия на для любого номера не вытекает условие на .

Пример:

Пусть ; S – алгебра, порожденная полуинтервалами , где ; - мера Лебега на отрезке . Положим

,

Очевидно, что и - меры, определенные на алгебре S, причем на S для любого номера

Так как , то условие на S не выпол-няется.

В следующей теореме доказано достаточное условие, которому должны удовлетворять функции множества последовательностей и , чтобы из условия: для любого номера n следовало .

Теорема 1. Пусть и - две последовательности R+ - знач-ных функций множества, заданных на кольце S, причём функции являются полумерами. Если

1) , на кольце ;

2) полумеры последовательностей обладают свойством РОУН на S;

3) последовательность является возрастающей на кольце S, то на S.

Доказательство.

Предположим противное. Тогда существует такое число , что для любого числа и для любого номера N0 найдутся номер и множество , для которых

и (1)

Положим . Для числа найдем число в силу усло-вия . В силу (1) существует номер и множество , для которого и

Очевидно, что

и

Для числа найдем такое число , что как только

, так . (2)

По предположению существует номер и множество , для ко-торых

и (3)

Из (2), (3) и условия 3) теоремы следует

и

Продолжив процесс неограниченно, построим последовательность и последовательность полумер , такие, что

, (4)

(5)

Положим

(6)

В силу условия 2) теоремы, функция не имеет на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер t1, что множество

удовлетворяет условию

(7)

Из (5) – (7) и определения полумеры следует

(8)

(9)

Из (8) и (9) следует:

(10)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(11)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(12)

Из (5), (11), (12) и определения полумеры следует

(13)

(14)

Из (13) и (14) следует

(15)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(16)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(17)

Из (5), (16), (17) и определения полумеры следует

(18)

(19)

Из (17) и (18) следует

(20)

Продолжив процесс неограниченно, построим убывающую последовательность множеств , что

(21)

(22)

Так как не имеет ускользающей нагрузки на S, а последовательность множеств - убывающая, то существует такой номер N, что

.

Пусть . Тогда

,

что противоречит (22).

Полученное противоречие и доказывает теорему.

Следствие 1. Пусть - некоторое семейство аддитивных функций множества, заданных на кольце S и обладающих на S свойством РОУН. Пусть - такая - значная функция множества, что на S для любой . Тогда на S.

Следствие 2. Пусть - некоторое семейство X- значных адди-тивных функций множества, заданных на кольце S и обладающих на S свойством РОУН. Пусть - неотрицательная конечно аддитивная функция множества такая, что на S. Тогда на S.

§5. Равностепенная абсолютная непрерывность полумер, обладающих свойством (С).

Определение 1. Будем говорить, что последовательность функций множества обладает свойством (С) на классе множеств , если для любой последовательности множеств , для которой выполняется условие

Определение 2. Пусть и - -значные функции множества. Будем говорить, что пара сконденсирована на классе множеств , если для любого и для любого существует такое, что

и

Из определения 1 следует, что любая возрастающая последовательность -значных функций множества обладает свойством (С), но, как показывает пример 1 §5, обратное не верно.

Теорема 1. Пусть и - две последовательности полумер, заданных на кольце S. Если

1) на кольце S, ;

2) полумеры последовательности обладают свойством РОУН на S;

3) последовательность полумер обладает свойством (С) на кольце S, то на S.

Доказательство.

Предположим противное.

Тогда существует число и последовательность множеств та-кие, что

(1)

Из (1) в силу условия 3) теоремы следует

(2)

Поэтому существует такая последовательность множеств , что

.

Так как

,

то существует такая подпоследовательность множеств , что

.

Аналогично выделим подпоследовательность множеств такую, что

.

Процесс продолжим неограниченно. В результате этого процесса построим подпоследовательность множеств и подпоследователь-ность функций множества ,такие, что

(3)

Полагая соотношения (3) можно записать в виде

(4)

(5)

Положим

(6)

В силу условия 2) теоремы 1 §4, функция не имеет на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер t1, что множество

удовлетворяет условию

(7)

Из (5) – (7) и определения полумеры следует

(8)

(9)

Из (8) и (9) следует:

(10)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(11)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(12)

Из (5), (11), (12) и определения полумеры следует

(13)

(14)

Из (13) и (14) следует

(15)

Рассмотрим последовательность множеств .

Так как функции множеств

(16)

не имеют на S ускользающей нагрузки, т.е. для любой последовательности попарно непересекающихся множеств

.

Поэтому существует такой номер , что множество

удовлетворяет условию

(17)

Из (5), (16), (17) и определения полумеры следует

(18)

(19)

Из (17) и (18) следует

(20)

Продолжив процесс неограниченно, построим убывающую последова-тельность множеств , что

(21)

(22)

Так как полумеры, то из (21) и (14) следует

. (23)

Для числа найдем в силу условия . В силу (23) существует номер и номер ,такие, что

.

Тогда

,

но

.

Аналогично, исходя из условия 3) теоремы для числа найдем положительное число из соотношения (2),(3) (§4) следует, что существует номер и номер ,для которых

.

Тогда

,

но

.

Продолжив процесс неограниченно, построим подпоследователь-ность натуральных чисел , что

,

(24)

Положим

тогда

.

Так как - мера, то следует

(25)

Из (24) и (25) получим

.

Итак, получили

Получили противоречие, так как множества и попарно не пересекается.

Полученное противоречие и доказывает нашу теорему.

Пример 1. Пусть множество T, алгебра S и мера - те же, что и в примере 1 §4. Положим

Очевидно, что для любого номера . К последова-тельностям и теорема 1 §4 не применима, так как нарушено условие 3), но меры последовательности обладают свойством (С), а поэтому в силу теоремы 1 §5

на S.

Условие 3) в теореме 1 §5 является существенным. Ясно, что для любого номера . Меры последовательности не обла-дают свойством (С). Легко видеть, что условие не выполняется.

(28)

С другой стороны, в силу теоремы 1 §5 на кольце R, что противоречит (28).

Полученные противоречие и доказывает следствие.

Следствие 2. Пусть и - две последовательности аддитив-ных функций множества, заданных на кольце S. Если

1) на кольце ;

2) функции последовательности обладают свойством РОУН на ;

3) последовательность функций множества обладает свойством (С) на кольце R;

4) каждая пара полумер сконденсирована на кольце R, то на S.

Доказательство.

В силу следствия 1 §4 достаточно доказать, что функции множества последовательности обладают свойством РОУН на кольце , а последовательность функций множества обладает свойством (С) на кольце R.

Предположим, что последовательность функций не обладает свойством (С) на кольце R. Тогда существует последовательность мно-жеств , для которой

(1)

и существует число и номер k, для которых

.

Найдем такие множества , что

(2)

В силу условия сконденсированности существуют множества , для которых

(3)

Положим

Очевидно, что

,

, (4)

,

.

Из (2), (3), (4) в силу аддитивности функции получаем

(5)

С другой стороны, в силу неравенства и условия (1) имеем

.

По условию последовательность обладают свойством (С) на кольце R, поэтому

что противоречит (5).

Полученное противоречие доказывает, что последовательность не обладает свойством (С) на кольце R.