«Рост целых функций и их приложение к школьному курсу математики»

Многочисленные применения теория целых функции нашла в различных областях функционального анализа. Многообразно применение целых функции многих переменных и в ряде разделов физики. В теории целых функции основными являются вопросами роста целых функции и распределения корней. В настоящее время интерес к целым функциям все возрастает как со стороны специалистов по дифференциальным уравнениям, так и со стороны специалистов в области функционального анализа. Мы же в нашей работе хотим выяснить, существует ли взаимосвязь между двумя различными характеристиками роста целой функции. [2,7]

Гипотеза нашего исследования состоит в том, что две различные характеристики роста целой функции могут быть при некоторых условиях равны или иметь какую-либо взаимосвязь.

Объектом исследования являются целые функции.

Предметом исследования являются свойства целой функции, влияющие на ее рост.

Цель нашей работы состоит в изучении целых функции и исследования зависимостей их роста.

Мы ставим перед собой следующие задачи:

-Проработать литературу по изучаемой теме;

-Изучить понятие «целая функция» и ее основные свойства;

-Узнать в каких сферах применяется теория целых функции;

-Выяснить некоторые зависимости роста целых функций;

-Изучить приложения целых функций к школьному курсу математики.

Данная работа состоит из двух глав. В первой главе рассматриваются теоретические основы понятия «целые функции», которые необходимы нам для решения поставленных задач. Во второй мы непосредственно рассмотрели некоторые зависимости возрастания целых функции, для достижения цели работы, сформулированной автором.

Итак, сумма всюду сходящегося степенного ряда называют целой функцией. Отсюда следует, что каждый многочлен является целой функцией. Существуют и другие примеры целых функций всем известные: показательная, . С помощью формулы Тейлора доказывается, что каждая из них представляется в виде суммы всюду сходящегося степенного ряда.

Условие (1) наложенное на коэффиценты ряда выполняется и для коплексного числа Любую целую функцию можно рассмотреть, как функцию комплексного переменного , определенную во всей комплексной плоскости. Данное условие формулируется в теореме Коши-Адамара,которая будет рассмотрена ниже.

Степенной ряд

где …, - фиксированные комплексные числа, а z-комплексное переменное, является простейшим примером функционального ряда, то есть ряда, члены которого суть некоторые функции от z. Такой ряд, вообще говоря, сходится при одних значениях z и расходится при других.Сведения о том,где это происходит и дает теорема Коши-Адамара: