«Методика изучения равномерной ограниченности регулярных функций множества» - Дипломная работа

Содержание

Введение .3

1. Топологические пространства, компактные пространства 4

2. Свойства слабо регулярных треугольных функций множества ….6

3. Равномерная ограниченность регулярных треугольных функций множества .11

Литература 21

---

Введение

Впервые вопрос равномерной ограниченности для семейства регулярных счетно-аддитивных функций множества и компактного хаусдорфова пространства был рассмотрен Ж.Дьедоне в работе [1]. Дьедоне показал, что в случае компактного хаусдорфова пространства Т, из ограниченности семейства регулярных скалярных счетно - аддитивных функций множества на каждом открытом множестве следует равномерная ограниченность семейства мер на σ-кольце множеств.

В 1972 году Штейном этот результат был обобщен на случай, когда Т - регулярное хаусдорфово пространство, а семейство функций состоит из слабо регулярных счетно - аддитивных функций множества.

В настоящей работе результаты Дьедоне и Штейна обобщаются и усиливаются. У нас Т - хаусдорфово пространство, а М - семейство слабо регулярных неаддитивных функций множества, частным случаем которых являются аддитивные и счетно-аддитивные функции.

Основным результатом является следующая теорема.

Теорема : Пусть (Т, Н) - хаусдорфово пространство; М={µ} - семейство слабо регулярных треугольных функций множества, заданных на кольце S, H S .

Для того, чтобы

Sup{|| µ (E)||, µ M, E S}<+∞

необходимо и достаточно, чтобы функции множества семейства М были равномерно ограничены на системе открытых множеств Н, то есть

Sup{|| µ (U)||, µ M, U H}<+∞.

---

Выдержка из текста работы

§1. Топологические пространства, компактные пространства.

Определение1: Множество Т называется топологическим пространством [2], если в нем выделена система ₢ подмножеств, называемых открытыми, которая удовлетворяет следующим трем условиям:

1) Пустое множество Ø и все множество Т входят в ₢;

2) Если Uξ ₢, то

то есть объединение любого числа открытых множеств открыто.

3)Если U1, U2 ₢, то U1 ∩ U2 ₢, то есть пересечение конечного числа открытых множеств открыто.

Множество G в топологическом пространстве (Т,Н) называется замкнутым, если множество U = T\\G открыто.

Подмножество U топологического пространства (Т,Н) называется окрестностью точки х тогда и только тогда, когда в U лежит открытое множество, содержащее х.

Пример 1: Обычная топология на множестве вещественных чисел – это семейство всех тех множеств, которые вместе с каждой своей точкой содержат некоторый интервал около нее . Иными словами , подмножество А множества вещественных чисел открыто в том и только том случае, когда для каждой точки х из А существуют такие числа а и b , что а х b и что множество {y: a y b} является подмножеством множества А.

Семейство Ɵ множества называется базой топологии Н в том и лишь в том случаее, когда Ɵ содержится в Н, и для каждой точки х пространства и любой ее окрестности U существует такой элемент Ɵ, что х Є V U. Таким образом, семейство открытых интервалов образует базу обычной топологии на множестве вещественных чисел в силу определения обычной топологии и того факта, что открытые интервалы открыты в этой топологии.

Определение2: Топологическое пространство (Т,Н) называется хаусдорфовым [3] тогда и только тогда, когда у любых двух различных точек х и у этого пространства есть непересекающиеся окрестности.

Топологическое пространство [3] называется регулярным тогда и только тогда, когда для каждой его точки х и любой окрестности U этой точки существует замкнутая окрестность V точки х , содержащаяся в U.

---

Заключение

Достаточное условие теоремы доказано. Ввиду того, что необходимость сформулированного в теореме условия очевидна, теорема полностью доказана.

Cледствие 1 : Пусть (Т, Н) - хаусдорфово пространство; М={µ} - семейство слабо регулярных аддитивных (счетно-аддитивных) функций множества, заданных на кольце S, H S.

Для того, чтобы

Sup{|| µ (E)||, µ M, E S}<+∞

необходимо и достаточно, чтобы функции множества семейства М были равномерно ограничены на системе открытых множеств Н, то есть

Sup{|| µ (U)||, µ M, U H}<+∞.

Cледствие 2 : Пусть (Т, Н ) – компактное, хаусдорфово пространство; М={µ} - семейство регулярных треугольных функций множества, заданных на кольце S, H S.

Для того, чтобы

Sup{|| µ (E)||, µ M, E S}<+∞

необходимо и достаточно, чтобы функции множества семейства М были равномерно ограничены на системе открытых множеств Н, то есть

Sup{|| µ (U)||, µ M, U H}<+∞.

Cледствие 3. (Теорема Дьедоне) Пусть (Т, Н) – регулярное хаусдорфово пространство; М={µ} – семейство скалярных счетно- аддитивных функций множества, заданных на кольце S, H S

Для того, чтобы

Sup{|| µ (E)||, µ M, E S}<+∞

необходимо и достаточно, чтобы функции множества семейства М были равномерно ограничены на системе открытых множеств Н, то есть

Sup{|| µ (U)||, µ M, U H}<+∞.

Cледствие 4. (Теорема Штейна) Пусть (Т, Н) – регулярное хаусдорфово пространство; М={µ} - семейство слабо регулярных счетно- аддитивных функций множества, заданных на кольце S, H S

Для того, чтобы

Sup{|| µ (E)||, µ M, E S}<+∞

необходимо и достаточно, чтобы функции множества семейства М были равномерно ограничены на системе открытых множеств Н, то есть

Sup{|| µ (U)||, µ M, U H}<+

---

Список литературы

1.Diedone J.: Sur la confergence des suites de measures de Radon. Analis Acad, Brasil. Ci.2323-38, 277-282 (1951).

2.Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

3.Келли Дж.Л., Общая топология. М.:Наука ,1986.

4.Вулих Б. З., Введение в функциональный анализ. М.:Наука ,1967.

5.Толстов Г. П., Мера и интеграл. М.:Наука ,1976.

6.Гусельников Н.С., Треугольные функции множества и теорема Никодима о равномерной ограниченности семейства мер, Математический сборник №3, 1978.

---