«Методическое обеспечение курса "теория функций действительной переменной"»

ГЛАВА 1 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ

§1. Операции над множествами

Пусть A и B - произвольные множества; их суммой или объедине- нием C = A ∪ B называется множество, состоящее из всех элементов,

принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B.

Рис.1

Аналогично определяется сумма любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если Aα -произвольные множества, то из сумма ∪ Aα

α

есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя

бы одному из множеств Aα.

Назовем пересечением C = A ∩ B множеств A и B множество, состо-

ящее из всех элементов, принадлежащих как A, так и B.

Рис.2

Например, пересечение множества всех четных чисел и множества всех чисел, делящихся на три, состоит из всех целых чисел, делящихся

без остатка на шесть. Пересечением любого (конечного или бесконечно- го) числа множеств Aα называется совокупность ∩ Aα элементов, при-

α

надлежащих каждому из множеств Aα.

Операции сложения и пересечения множеств по самому своему опре- делению коммутативны и ассоциативны, т.е.

A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪(B ∪ C),

A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩ C = A ∩(B ∩ C).

Кроме того, они взаимно дистрибутивны:

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪(B ∩ C),

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩(B ∪ C).

Операция вычитания для множеств называется разностью C = A\B

множеств A и B совокупность тех элементов из A, которые не содержатся в B. При этом,не предполагается,что A ⊃ B. Вместо A\B иногда пишут A − B.

Рис.3

Рассмотрим симметрическую разность двух множеств A и B, кото- рая определяется как сумма разностей A\B и B\A. Симметрическую разность C множеств A и B обозначим символом A△B.

Таким образом, по определению,

A△B = (A\B) ∪(B\A).

Рис.4

§2. Кольцо множеств

Системой множеств называется всякое множество, элементы кото- рого сами представляют собой какие-либо множества. Если не оговорено противное, рассматриваются системы множеств, каждое из которых яв- ляется подмножеством некоторого фиксированного множества X.

Определение 1. Не пустая система множеств R-называется кольцом, если она обладает тем свойством,что ∀A, B ∈ R следует A△B ∈ R и A ∩ B ∈ R.

Так как для любых A и B

A ∪ B = (A△B)△(A ∩ B)

и

A\B = B△(A△B),

то из A ∈ R и B ∈ R вытекает также принадлежность к R множеств

A ∪ B и A\B. Таким образом,кольцо множеств есть система множеств,

замкнутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности. Очевидно, что кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений

вида

n

C = ∪ Ak, D =

k=1

n

∩ Ak.

k=1

Любое кольцо содержит пустое множество ∅, так как всегда A\A = ∅.

Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

Множество E называется единицей системы множеств S, если оно принадлежит S и если для любого A ∈ S имеет место равенство

A ∩ E = A

Таким образом, единица системы множеств S есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в S множества.

Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств.

Пример 1. Для любого множества A система R(A) всех его подмно- жеств представляет собой алгебру множеств с единицей E = A.

Пример 2. Для любого непустого множества A система {∅; A}, состоя- щее из множества A и пустого множества ∅, образуют алгебру множеств

с единицей E = A.

Пример 3. Система всех конечных подмножеств произвольного множе- ства A представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том случае, когда множество A само конечно.

Пример 4. Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является кольцом множеств, не содержащих единицы.

Теорема 1.1. Пересечение R = ∩ Rα -любого множества колец есть

α

кольцо.

Наборы множеств пересечений:

ЕслиA, B ∈ R ⇒ A, B ∈ Rα, для∀α Если Rα кольцо, то:

⇒ A△B ∈ Rα, A ∩ B ∈ Rα, для∀α

⇒ A△B ∈ ∩ Rα, A ∩ B ∈ ∩ Rα.

α α

Теорема 1.2. Для любой непустой системы множеств Q существу- ет одно и только одно R(Q), содержащее Q и содержащееся в любом кольце R, содержащем Q.