«Методическое обеспечение курса "теория функций действительной переменной"» - Дипломная работа

Содержание

Введение. 4

Предисловие 5

Глава 1. Системы множеств 6

§1. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

§2. Кольцо множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

§3. Полукольцо множеств 10

§4. σ-алгебры 12

Глава 2. Общее понятие меры 13

§1. Мера 13

§2. Сигма-аддитивность 16

§3. Лебегово продолжение меры 20

§4. Мера Лебега на Rn 22

Глава 3. Измеримые функции 26

§1. Определения, основные свойства, действия над измеримыми функциями. 26

§2. Сходимость измеримых функций. 29

§3. Эквивалентность. 30

§4. Сходимость почти всюду 31

§5. Теорема Егорова. 32

§6. Сходимость по мере. 34

§7. Теорема Лузина. С- свойство. 35

Глава 4. Интеграл Лебега 36

§1. Простые функций. 36

§2. Интеграл Лебега для простых функций. 37

§3. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры. 39

§4. σ - аддитивность и абсолютная непрерывность интеграла Лебега. 43

§5. Предельный переход под знаком интеграла Лебега. 49

§6. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры. 53

§7. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. 54

Глава 5. Прямые произведения мер. Теорема Фубини 57

§1. Произведение мер. 57

§2. Теорема Фубини. 58

Глава 6. Пространства суммируемых функций 60

§1. Пространство L1 60

§2. Пространство L2 63

Заключение. 67

Литература 68

---

Введение

Данная выпускная квалификационная работа представляет собой курс лекций по дисциплине “Теория функции действительных переменных” и может быть использована при подготовке к занятиям. В ее основу по- ложены лекции, прочитанные студентам специальностей “Прикладная математика и физика”.

В работе изложены основные понятия, определения, свойства и тео- ремы, доказательства перечисленных выше разделов.

Для создания дипломной работы используется текстовый редактор LaTeX, который имеет ряд преимуществ таких, как включение в текст сколь угодно сложных математических формул, которые прекрасно смот- рятся на печати; при печати получается текст типографического каче- ства и т.д.

---

Выдержка из текста работы

Предисловие

В предлагаемом читателю издании изложены основы теории функ- ций действительных переменных. Оно написано на основе курса лекций, который автор читал на физико-математическом факультете Башкир- ского государственного педагогического университета. Книга рассчита- на на студентов математических специальностей педагогических вузов, где этот предмет читается в течение одного семестра. Количеством от- пущенных на этот курс часов объясняется как содержание, так и объем излагаемого материала.

Книга состоит из шести глав. В первой главе даются общие описание элементов теории множеств. Во второй главе изучается общее понятие меры. Третья глава посвящена изучению измеримых функций, сходимо- сти измеримых функций. В четвертой главе дается изучение интеграла Лебега, так же изучается сравнение интеграла Лебега с интегралом Ри- мана. Пятая глава посвящена произведению мер, а так же рассмотрению и изучению теоремы Фубини. В шестой главе изучается пространства суммируемых функций.

ГЛАВА 1 СИСТЕМЫ МНОЖЕСТВ

§1. Операции над множествами

Пусть A и B - произвольные множества; их суммой или объедине- нием C = A ∪ B называется множество, состоящее из всех элементов,

принадлежащих хотя бы одному из множеств A и B.

Рис.1

Аналогично определяется сумма любого (конечного или бесконечного) числа множеств: если Aα -произвольные множества, то из сумма ∪ Aα

α

есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя

бы одному из множеств Aα.

Назовем пересечением C = A ∩ B множеств A и B множество, состо-

ящее из всех элементов, принадлежащих как A, так и B.

Рис.2

Например, пересечение множества всех четных чисел и множества всех чисел, делящихся на три, состоит из всех целых чисел, делящихся

без остатка на шесть. Пересечением любого (конечного или бесконечно- го) числа множеств Aα называется совокупность ∩ Aα элементов, при-

α

надлежащих каждому из множеств Aα.

Операции сложения и пересечения множеств по самому своему опре- делению коммутативны и ассоциативны, т.е.

A ∪ B = B ∪ A, (A ∪ B) ∪ C = A ∪(B ∪ C),

A ∩ B = B ∩ A, (A ∩ B) ∩ C = A ∩(B ∩ C).

Кроме того, они взаимно дистрибутивны:

(A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪(B ∩ C),

(A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩(B ∪ C).

Операция вычитания для множеств называется разностью C = A\B

множеств A и B совокупность тех элементов из A, которые не содержатся в B. При этом,не предполагается,что A ⊃ B. Вместо A\B иногда пишут A − B.

Рис.3

Рассмотрим симметрическую разность двух множеств A и B, кото- рая определяется как сумма разностей A\B и B\A. Симметрическую разность C множеств A и B обозначим символом A△B.

Таким образом, по определению,

A△B = (A\B) ∪(B\A).

Рис.4

§2. Кольцо множеств

Системой множеств называется всякое множество, элементы кото- рого сами представляют собой какие-либо множества. Если не оговорено противное, рассматриваются системы множеств, каждое из которых яв- ляется подмножеством некоторого фиксированного множества X.

Определение 1. Не пустая система множеств R-называется кольцом, если она обладает тем свойством,что ∀A, B ∈ R следует A△B ∈ R и A ∩ B ∈ R.

Так как для любых A и B

A ∪ B = (A△B)△(A ∩ B)

и

A\B = B△(A△B),

то из A ∈ R и B ∈ R вытекает также принадлежность к R множеств

A ∪ B и A\B. Таким образом,кольцо множеств есть система множеств,

замкнутая по отношению к взятию суммы и пересечения, вычитанию и образованию симметрической разности. Очевидно, что кольцо замкнуто и по отношению к образованию любых конечных сумм и пересечений

вида

n

C = ∪ Ak, D =

k=1

n

∩ Ak.

k=1

Любое кольцо содержит пустое множество ∅, так как всегда A\A = ∅.

Система, состоящая только из пустого множества, представляет собой наименьшее возможное кольцо множеств.

Множество E называется единицей системы множеств S, если оно принадлежит S и если для любого A ∈ S имеет место равенство

A ∩ E = A

Таким образом, единица системы множеств S есть не что иное, как максимальное множество этой системы, содержащее все другие входящие в S множества.

Кольцо множеств с единицей называется алгеброй множеств.

Пример 1. Для любого множества A система R(A) всех его подмно- жеств представляет собой алгебру множеств с единицей E = A.

Пример 2. Для любого непустого множества A система {∅; A}, состоя- щее из множества A и пустого множества ∅, образуют алгебру множеств

с единицей E = A.

Пример 3. Система всех конечных подмножеств произвольного множе- ства A представляет собой кольцо множеств. Это кольцо будет алгеброй в том случае, когда множество A само конечно.

Пример 4. Система всех ограниченных подмножеств числовой прямой является кольцом множеств, не содержащих единицы.

Теорема 1.1. Пересечение R = ∩ Rα -любого множества колец есть

α

кольцо.

Наборы множеств пересечений:

ЕслиA, B ∈ R ⇒ A, B ∈ Rα, для∀α Если Rα кольцо, то:

⇒ A△B ∈ Rα, A ∩ B ∈ Rα, для∀α

⇒ A△B ∈ ∩ Rα, A ∩ B ∈ ∩ Rα.

α α

Теорема 1.2. Для любой непустой системы множеств Q существу- ет одно и только одно R(Q), содержащее Q и содержащееся в любом кольце R, содержащем Q.

---

Заключение

Основными источниками при написании выпускной квалификацион- ной работы послужили конспекты лекций и монографии по курсу теория функции действительных переменных, приведенные в списке литерату- ры.

Данная работа была набрана и отредактирована в среде LaTeX. Для изучения данной программы использовалась следующие монографии: К.В. Воронцов “LATEX в примерах” и С.М. Львовский “Набор и верстка в системе LaTeX”.

Работа содержит необходимый теоретический и практический мате- риал в виде основных понятий, теорем и решенных примеров.

Практическая значимость данной выпускной квалификационной ра- боты заключается в том, что она может быть использована в качестве методического пособия по курсу теория функции действительных пере- менных для студентов специальностей Прикладная математика и физи- ка.

---

Список литературы

[1] Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ- ционального анализа – М.: Издательство Наука, 1976

[2] Фролов Н.А. Теория функций действительного переменного (изда- ние 2-ое)– М.: Издательство Учпедгиз, 1961

[3] Шаталова Н. П. Теория функций действительного переменного– Красноярск: Издательство ООО "Научно-инновационный центр 2010

[4] Напалков В.В [и др.] Актуальные проблемы математики. Матема- тические модели современного естествознания – Уфа: Издательство УГАТУ, 2004

[5] Булгакова, Г. Т. Элементы теории функции комплексного перемен- ного и операционного исчисления – Уфа: Издательство УГАТУ ,2004

[6] Геворкян, П. С. Высшая математика. Интегралы, ряды, ТФКП, дифференциальные уравнения – М.: Издательство Физматлит, 2007

[7] П. Е. Данко [и др.] Высшая математика в упражнениях и задачах –

М.: Издательство ОНИКС, 2008

[8] Гайсин А. М. Аппроксимация в нормированных пространствах – Уфа: Издательство БГУ, 1998

---