«Система подготовки выпускников к решению нестандартных задач по математике в профильных классах»

Всем более или менее подготовленным учащимся знакомы обычные приемы решения обычных задач — различного вида уравнений и неравенств, текстовых задач, геометрических задач и т.п. Эти знания часто ограничены различного рода правилами, не выходящими за пределы чисто технических умений и навыков, что мешает решению нестандартных задач.

Нестандартные задачи — это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. В зависимости от того, знают ли учащиеся алгоритм необходимый для решения задачи, одну и ту же задачу можно считать как стандартной, так и нестандартной.

Нестандартная задача обычно понимается либо как задача, методика решения которой учащемуся неизвестна, либо как задача, для решения которой в курсе математики не содержатся правила, определяющие алгоритм его решения. К нестандартным задачам отнесем также такие задачи, которые создают для учащегося непростую ситуацию, требующую для своего разрешения нестандартного мышления, изобретательности, смекалки, внимательности, выработки новых алгоритмов и способов решений.

Нестандартные задачи бывают разных типов. Многие из них внешне выглядят необычно, и поэтому учащимся совершенно не понятно, как к ним подступиться и как начать решение задачи. Другие замаскированные с виду, например, это обычное уравнение, но стандартными приемами оно не решается. Для решения третьих необходимо очень тонкое и четкое логическое мышление. В общем, можно долго перечислять всевозможные особенности нестандартных задач и вряд ли можно перечислить все возможные особенности [6].

Нестандартные задачи требуют определенной сообразительности, и свободного владения различными разделами математики, и высокой логической культуры. И помимо этого — психологической подготовленности.

Невозможно указать все методы решения нестандартных задач. Здесь приходится применять и графики, и самые различные свойства функций, и неравенства, и — последнее по счету, но первое по важности — логику.

В данной выпускной квалификационной работе разбираются подробно решения некоторых нестандартных задач. Сами по себе эти решения несложны, их вовсе нетрудно понять, гораздо сложнее найти эти решения самостоятельно для учащихся.

Учащиеся, столкнувшись с нестандартными задачами, часто теряются, что в большинстве случаев приводит к отказу от попыток решать задачу. Многие учащиеся не в полной мере владеют умениями, навыками, определяющими порядок и стратегию действий при решении различных задач, в частности, умением самостоятельно разрабатывать некоторый алгоритм действий, соотносить его с полученными результатами, осуществлять контроль и оценку выполнения исходного алгоритма действий, обобщать полученные результаты[2].

Универсального метода, с помощью которого можно было бы решать нестандартные задачи разных типов, нет. Чтобы помочь учащимся найти ключ к решению нестандартной задачи, необходимо понять источник его всевозможных затруднений и непониманий.

Хорошим средством обучения решению нестандартных задач, а также средством для нахождения алгоритмов решения являются вспомогательные задачи[3]. Вспомогательные задачи помогут учащимся понять идею решения и составить алгоритм решения.

Умение решать нестандартные задачи овладевается только лишь практикой. Самостоятельная работа и умелая помощь учителя – залог плодотворного обучения решению нестандартных задач.

Образовательные функции нестандартных задач.

Нестандартные задачи:

- учат школьников использовать не только готовые известные алгоритмы, но и самостоятельно составлять новые алгоритмы решения задач, т. е. способствуют умению находить уникальные способы и алгоритмы решения задач;

- развивают смекалку, сообразительность у учащихся;

- препятствуют выработке вредных штампов при решении задач, разрушают неправильные ассоциации в знаниях и умениях учащихся, предполагают не столько усвоение алгоритмических приемов, а сколько нахождение новых взаимосвязей в знаниях, к применению знаний в новых условиях, к овладению различными приемами умственной деятельности;

- создают необходимые благоприятные условия для углубления и повышения прочности знаний учащихся, обеспечивают сознательное усвоение новых математических терминов.

Решение нестандартных задач активизирует деятельность учащихся. Учащиеся учатся сравнивать, классифицировать, обобщать, анализировать, а это способствует более прочному и сознательному усвоению знаний.

Нестандартные задачи весьма полезны не только для обычных уроков математики, но и для внеклассных, факультативных занятий, для подготовки к математическим олимпиадам, т. к. при этом приобретается отличная возможность дифференцировать результаты каждого учащегося. нестандартные задачи могут также с успехом использоваться и в качестве индивидуальных заданий для тех учеников, которые легко и быстро справляются с основной частью заданий на уроке, или для желающих в качестве дополнительных заданий.

Систематическое использование нестандартных задач способствует формированию и развитию умений и навыков:

а) в проведении анализирования, сравнений, сопоставлений;

б) в выявлении причинно – следственных связей;

в) в выполнении простейших доказательств и опровержений;

г) в открытии закономерностей и построении обобщений, выводов;

д) в отыскании наиболее рациональных решений;

В результате решения нестандартных задач учащиеся получают интеллектуальное развитие и подготовку к активной практической деятельности.

В данной выпускной квалификационной работе рассматриваются решения различных показательных, логарифмических уравнений и неравенств. Используются различные методы решений, такие как: метод мини-максов, дискриминантый метод, функциональный метод решения.

1.2 Основные типы показательных уравнений и неравенств

1.2.1. Рассмотрим неравенство вида

Решение.

Обозначив , получим

Пусть решение последнего неравенства имеет вид:

где и

Тогда простейшее неравенство не имеет решений, а неравенство решения имеет.

Сразу выпишем в этом случае ответ:

Ответ: 1. ; 2. ; 3. и т.п.

1.2.2. Рассмотрим неравенство (уравнение) вида:

Обозначив получим так как Решив последнее неравенство относительно y, получаем простейшие показательные неравенства.

1.2.3. Уравнения и неравенства вида

Решение.

Поделив обе части неравенства (уравнения), например, на , получим равносильное неравенство(уравнение).

Обозначив получим

Замечание. Можно было бы поделить обе части неравенства(уравнения) не на выражение , а на выражение , вновь бы получилось неравенство типа 1.2.1., если поделить обе части исходного неравенства(уравнения) на , то получается неравенство (уравнение) типа 1.2.2 [2].

1.2.4. Неравенства (уравнения) вида

Решение.

Обозначив , получим

или =y

мы приходим к неравенству (уравнению)

Решив последнее неравенство, мы приходим к необходимости решить затем неравенство и т.п., то есть неравенство

и т.п. неравенства 1.2.2.

1.2.5. Метод разложения на множители.

Некоторые уравнения и неравенства, содержащие показательную функцию, удается после группирования членов привести к одному из следующих видов:

и т.п.

После этого решение задачи сводится к рассмотрению совокупности систем неравенств стандартным образом [2].