«Методика обучения теории вероятностей и математической статистике в школьном курсе математики»

Подросток не отдален от этого мира глухой стенкой, да и в своей жизни он сталкивается с вероятными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребёнка. Круг вопросов, связанных с соотношениями понятий «вероятность» и «достоверность», проблема выбора наилучшего из нескольких вариантов решения, оценка степени риска и шансов на успех, представление о справедливости и несправедливости в играх и в реальных жизненных коллизиях – интересов подростка. Подготовку к решению таких проблем и должен взять на себя курс школьной математики, в частности курс элементов теории вероятности и математической статистики.

Элементы теории вероятности непосредственно выходят на те понятия и проблемы, с которыми ребята встречаются на каждом шагу.

Актуальность проблемы, её теоретическая и практическая значимость обусловили тему данного исследования: «Методика преподавания элементов теории вероятностей и математической статистики в общеобразовательной школе».

Цель исследования. Помочь учителю в преподавании элементов теории вероятностей и математической статистики в школе; дать методические рекомендации для проведения уроков и факультативных занятий.

Содержание деятельности.

Полноценное существование гражданина в сложном, вариативном и многоукладном обществе непосредственно связано с правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом на осознанный выбор, который невозможно осуществить без умения делать выводы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивой информации.

Все это с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения. Мы должны научить наших детей жить в вероятностной ситуации. А это значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.

Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием вероятностного мышления.

В методическом плане все занятия структурированы на углубление знаний программного материала.

Большая часть тем предполагает изучение вне школьной программы, на факультативных занятиях. Конечно, предлагаемые темы не являются обязательными, учитель может добавлять новые фрагменты или развивать предложенную тематику, учитывая интересы и склонности учащихся.

Объект исследования

Деятельность учащихся на уроке и факультативных занятиях по теории вероятностей и математической статистики.

Предмет исследования.

Деятельность учителя, способствующая развитию у учащихся интереса к теории вероятностей и математической статистики.

Задачи исследования:

1) Уточнить основы вероятностно-статистической линии в школьном курсе математики.

2) Определить способы анализа данных.

3) Предложить методические рекомендации для проведения уроков по теории вероятностей и математической статистики.

4) Предложить методические рекомендации по проведению факультативных занятий на тему «Теория вероятностей и математическая статистика»

Методы исследования. При выполнении работы использовались общенаучные методы исследования: анализ, синтез, наблюдение, обобщение; педагогические методы – изучение опыта учителей, работа с научно- педагогической и научно-методической литературой.

Исследование проводилось в три этапа:

I этап. Постановка целей и задач исследования. Сбор материалов по проблеме исследования.

II этап. Уточнение основных понятий, обобщение, систематизация и дополнение собранного материала по теме данного исследования.

III этап. Формулировка общих выводов. Рекомендации по проведению уроков и факультативных занятий по элементам теории вероятностей и математической статистики в общеобразовательной школе. Оформление выпускной квалификационной работы

Позднее, с опытом, человек все чаще стал взвешивать случайные события, классифицировать их исходы как невозможные, возможные и достоверные. Он заметил, что случайностями не так уж редко управляют объективные закономерности [18].

Теория вероятностей как наука зародилась в середине XVII в. в работах Б.Паскаля (1623-1662), П.Ферма (1601-1665), Х.Гюйгенса (1629-1695) и была связана с попыткой создания теории азартных игр. Слово азарт происходит от французского le hasard, которое в переводе на русский означает - случай. Азартные игры являются достаточно простыми моделями, на которых удобно изучать закономерности случайных явлений. Дело в том, что азартные игры специально устроены так, чтобы все события, происходящие при игре, были случайными, а элементарные исходы - равновозможными. Поэтому и в настоящее время на примерах из области азартных игр иллюстрируют основные предложения теории вероятностей.

Вероятностные методы, установленные в работах вышеназванных математиков, нашли практические применения, прежде всего в задачах страхования, а затем и в других областях.

Следующий этап в развитии теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654-1705). Им была установлена одна из основных теорем теории вероятностей - так называемый закон больших чисел.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана А.Муавру (1667-1754), П.Лапласу (1749-1827), К.Гауссу (1777-1855), С.Пуассону (1781-1840), результаты исследований, которых нашли широкое применение к анализу ошибок наблюдений и измерений.

Во второй половине XIX в. теория вероятностей развивается в работах русских математиков В.Я.Буняковского (1804-1889), П.Л.Чебышева (1821-1894), А.А.Маркова (1856-1922), А.М.Ляпунова (1857-1918), исследовавших наиболее общие закономерности случайных явлений и установивших законы больших чисел в наиболее общей форме.

Дальнейшее развитие теории вероятностей связано с именами советских математиков С.Н.Бернштейна, А.Н.Колмогорова, А.Л.Хинчина, Б.В.Гнеденко, а также с именами крупных зарубежных математиков Н.Винера, В.Феллера, Д.Дуба, Г.Крамера, результаты, которых нашли широкое применение в производственной практике.

Теория вероятностей как точная математическая теория была построена академиком А.Н.Колмогоровым в 20-х годах текущего столетия.

Математическая статистика возникла (XVII в.) и развивалась параллельно с теорией вероятности. Развитие математической статистики (вторая половина XIX - начало XX в.) обязано, в первую очередь, П.Л.Чебышеву, А.А.Макарову, А.М.Ляпунову, а также К.Гауссу, А.Кетле, Ф.Гальтону, К.Пирсону и др.

В XX в. наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками (В.И.Романовский, Е.Е.Слуцкий, А.Н.Колмагоров, Н.В.Смирнов), а также английскими (Стьюдент, Р.Фишер, Э.Пирсон) и американскими (Ю.Нейман, А.Вальд) учеными [11].

§ 2. ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

2.1. ПРЕДПОСЫЛКИ ВКЛЮЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ В ШКОЛЬНЫЙ КУРС МАТЕМАТИКИ

В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремится сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности. Даже сводки погоды в газетах сообщают о том, что «завтра ожидается дождь с вероятностью 40%», оставляя обывателя в полной растерянности: брать ли зонтик?

Полноценное существование гражданина в сложном, вариативном и многоукладном обществе непосредственно связано с правом на получение информации, с ее доступностью и достоверностью, с правом на осознанный выбор, который невозможно осуществить без умения делать выводы и прогнозы на основе анализа и обработки зачастую неполной и противоречивой информации.

Мы должны научить детей жить в вероятностной ситуации. А это значит, извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.

Однако не только социально-экономическая ситуация диктует необходимость формирования у нового поколения вероятностного мышления. Вероятностные законы универсальны. Они стали основой описания научной картины мира. Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, философия, весь комплекс социально-экономических наук построены и развиваются на вероятностно-статистической базе.

Подросток не отделен от этого мира глухой стеной, да и в своей жизни он ежедневно сталкивается с вероятностными ситуациями. Игра и азарт составляют существенную часть жизни ребенка. Подготовку к решению таких проблем и должен взять на себя курс школьной математики.

В то же время классическая система российского образования основана, прежде всего, на отчетливо детерминистских принципах и подходах и в математике, и в других предметах. Если не снять, то хотя бы ослабить противоречие между формируемой в стенах школы детерминистской картиной мира и современными научными представлениями, базирующимися на вероятностно-статистических законах, невозможно без введения основ статистики и теории вероятностей в обязательное школьное образование.

Россия, имея одну из самых мощных и признанных в мире традиций школьного математического образования, одновременно остается едва ли не единственной развитой страной, где в основном школьном курсе математики нет основ статистики и теории вероятностей. Анализ данных, основы теории вероятностей, описательной и математической статистики в той или иной форме присутствуют как самостоятельные темы и содержательные линии в курсах школьной математики Франции, Великобритании, Японии, США, да практически во всех развитых странах мира. И в нашей стране сегодня происходит неизбежный процесс вхождения стохастики как равноправной составляющей в обязательное школьное математическое образование.

Все государственные образовательные документы последних лет содержат вероятностно-статистическую линию в курсе математики основной школы наравне с такими привычными линиями, как «Числа», «Функции», «Уравнения и неравенства», «Геометрические фигуры» и т.д.

2.2. МЕСТО И ЗНАЧЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКОЙ ЛИНИИ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

Ориентация на демократические принципы мышления, на многовариантность возможного развития реальных ситуаций и событий, на формирование личности, способной жить и работать в сложном, постоянно меняющемся мире, с неизбежностью требует развития вероятностно-статистического мышления у подрастающего поколения. Эта задача может быть решена в школьном курсе математики на базе комплекса вопросов, связанных с описательной статистикой и элементами математической статистики, с формированием вероятностного мышления.

Согласно данным ученых-физиологов, в среднем звене школы заметно падение интереса, к процессу обучения в целом и к математике в частности. На уроке математики в основной школе, в пятых - девятых классах, проводимых по привычной схеме и на традиционном материале, у ученика зачастую создается ощущение непроницаемой стены между изучаемыми абстрактно-формальными объектами и окружающим миром. Именно вероятностно-статистическая линия, или, как ее стали называть в последнее время, — стохастическая линия, изучение которой невозможно без опоры на процессы, наблюдаемые в окружающем мире, на реальный жизненный опыт ребенка, способна содействовать возвращению интереса к самому предмету «математика», пропаганде его значимости и универсальности.

Бунимович Е.А. в экспериментальной гимназии № 710 РАО провел экспериментальную работу по преподаванию начальных основ вероятности в разных возрастных группах: во II—VI классах на занятиях развития творческих способностей, в V—VI, VIII-IX и Х-ХI — на уроках математики [5].

Опыт показал, что в возрасте начальных, классов еще многое в представлениях ученика о мире недостаточно сформировано, не хватает и математического аппарата (прежде всего - простых дробей) для объяснения представлений о вероятности. В то же время основы описательной статистики, - таблицы и столбчатые диаграммы, возможно и даже необходимо вводить в курс начальной школы.

Одновременно было обнаружено, что начинать изложение основ теории вероятностей в старших классах - малоэффективно. Наработанное к этому возрасту стремление к быстрой формализации знаний, сформированное традиционным курсом математики, желание усвоить на уроке, прежде всего некоторый набор правил, алгоритмов и методов вычисления фактически заменяет формирование вероятностных представлений формальным выучиванием формул комбинаторики и вычисления вероятности по классической модели.

Наиболее благоприятен для формирования вероятностных представлений возраст 10-13 лет, что примерно соответствует V — VII классу российской школы. При этом очевидно, что в связи со сложностью уже исходных понятий классической теории вероятностей, в V — VII классе абсолютно невозможны аксиоматический подход к понятию вероятности, а часто и локальная дедукция при изложении основ теории вероятностей.

Экспериментальная работа в V и VI классах по пропедевтике вероятностных представлений, проведению экспериментов со случайными исходами и обсуждению на качественном уровне их результатов показала, что этот не закрепленный формальными «обязательными результатами» период дает хорошее развитие вероятностной интуиции и статистических представлений ребят [5].

Отметим при этом, что равно неэффективны и даже опасны как ранняя формализация, так и другая крайность, получившая сейчас отражение в некоторых экспериментальных программах - бесконечные рассуждения о вероятности вне курса математики, вне построения вероятностных моделей.

2.3. ВЕРОЯТНОСТНО - СТАТИСТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ В УЧЕБНИКАХ "МАТЕМАТИКА 5 - 6" ПОД РЕД. Г.В.ДОРОФЕЕВА И И.Ф.ШАРЫГИНА И "МАТЕМАТИКА 7 - 9" ПОД РЕД. Г.В.ДОРОФЕЕВА

Попытка построения полноправной вероятностно-статистической линии в базовом курсе математики основной школы предпринята в рамках учебных комплектов:

«Математика 5» и «Математика 6» под редакцией Г.В.Дорофеева и И.Ф.Шарыгина, а также

«Математика 7», «Математика 8», «Математика 9» под редакцией Г.В.Дорофеева.

Упомянутые книги написаны живым языком с постоянной опорой на здравый смысл и на жизненный опыт учащихся. В них предусмотрена разнообразная практическая деятельность читателя. Школьники учатся оценивать вероятность наступления несложных случайных событий сначала на качественном уровне, а количественный подсчет вероятностей происходит позднее [5].

В этих учебниках вводится ряд базовых понятий теории вероятностей. Рассматриваются случайные, достоверные, невозможные, более вероятные, менее вероятные, маловероятные, равновероятные события. Новые термины связываются с известными из жизни словами - часто, редко, всегда, никогда, «это очень возможно», «это обязательно произойдет», «это маловероятно», «это никогда не случится» и другими, определяющими частоту наступления случайных событий.

Все поставленные задачи выполнены. Были исследованы вопросы включения вероятностно-статистической линии в школьный курс математики, предложены методические рекомендации по проведению уроков и факультативных занятий по теории вероятностей и математической статистике.

В 1 главе рассмотрены основы вероятностно-статистической линии и предпосылки включения вероятностно-статистической линии в школьный курс математики.

Во 2 и 3 главах даны методические рекомендации к проведению уроков и факультативных занятий. Учителю необходим и дидактический материал для проведения занятий. Поэтому в данной работе к каждой теме приведены системы упражнений, которые учитель может предложить учащимся при закреплении пройденного материала.

В конце выпускной квалификационной работы указан список литературы, на который читатель мог бы опереться.

Появление в школьной программе вероятностной линии будет способствовать усилению общекультурного потенциала, возникновению новых межпредметных связей, гуманизации школьного образования.

6. Бунимович Е.А., Суворова С.Б. Статистические исследования // Математика в школе

7. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1973.

8. Виленкин Н.Я., Потапов В.Г. Задачник-практикум по теории вероятностей с элементами комбинаторики и математической статистики. - М.: Просвещение, 1979.

9. Глотов Н.В., Глотова О.В. Вероятность и статистика в школе: Взгляд биолога // Математика в школе. – 2002. - №4.

10. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1970.

11. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Высшая школа, 1999.

12. Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. -М.: Наука, 1982.

13. Гольдфаин И.И. Элементы теории вероятностей в современном школьном курсе биологии // Математика в школе. – 2003. - №3.

14. Дополнительные главы по курсу математики 10 класс. Учебное пособие по факультативному курсу. Сост. Скопец З.А. - М.: Просвещение, 1974.

15. Дьяченко Г. Развитие логико-вероятностного мышления в школе // Математика (Приложение к газ. «ПС»). – 1994. - №18; №19.

16. Избранные вопросы математики: Факультативный курс 9 класс. - М.: Просвещение, 1979.

17. Крымова Л. Диалоги о статистике // Математика(Приложение к газ. «ПС»). – 2002. - №11.

18. Лютикас B.C. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учебное пособие для 9-11 кл. - М.: Просвещение, 1990.

19. Математика. 5 класс: Учебник для общеобразовательных заведений / Под ред. Г.В.Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. – 4-е изд. - М: Просвещение, 2001.

20. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных заведений / Под ред. Г.В.Дорофеев, И.Ф. Шарыгин. – 3-е изд. - М: Дрофа, 1998.

21. Математика. 7 класс: Учебник для общеобразовательных заведений / Г.В.Дорофеев М: Дрофа, 2002.

22. Математика. 8 класс: Учебник для общеобразовательных заведений / Г.В.Дорофеев. – 5-е изд., стереотип. - М: Дрофа, 2002.

23. Математика: 9 класс: Учебник для общеобразовательных заведений / Г.В.Дорофеев. – 4-е изд., стереотип. - М: Дрофа, 2003.

24. Методика факультативных занятий в 10-11 классах: Избранные вопросы математики. - М.: Просвещение, 1983.

25. Медведева О.С. Развитие комбинаторного стиля мышления // Математика в школе. – 1999. - №1.

26. Мордкович А., Семенов П. События, вероятности, статистическая обработка данных // Математика (Приложение к газ. «ПС»). – 2002. - №34; №35; №41; №43; №44; №48. - 2003, - №11; №17; №27/28; №31; №32.

27. Мостеллер Ф., Рурк Р., Томас Дж. Вероятность. - М.: Мир, 1969.

28. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. - М.: Наука, 1985.

29. Панов Э. Введение в статистику // Математика (Приложение к газ. «ПС»). – 2004. - №25-26.

30. Плоцки А. Вероятность события в стохастической линии школьного математического образования // Математика в школе. – 1997. - № 2; №3.

31. Савельев Л.Я. Комбинаторика и вероятность. – Новосибирск.: Наука, 1975.

32. Селютин В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике // Математика в школе. – 2003. - №4.

33. Селютин В.Д. О формировании первоначальных стохастических представлений // Математика в школе. – 2003. - №3.

34. Ткачев М.В. и др. О готовности учащихся к изучению стохастике // Математика в школе. – 2003. - №9.

35. Ткачев М.В., Федорова Н.Е. Элементы стохастики в курсе математики VII-IX Классов основной школы // Математика в школе 2003.

36. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для VII – VIII классов средней школы // Математика в школе. – 2002. - №4.

37. Федосеев В.Н. Элементы теории вероятностей для IX классов средней школы // Математика в школе. – 2002. - №5.

38. Халамайзер А.Я. Математика гарантирует выигрыш. - М.: Московский рабочий, 1981.