«Методическая разработка темы «супералгебры»» - Дипломная работа

Содержание

Введение….4

Глава I. Матричные единицы….12

§1.1. Комплексные числа. Матрицы над комплексными числами. Простые свойства сопряженных чисел….12

§1.2. Матрицы над полем комплексных чисел…14

§1.3. Свойства матричных единиц….…15

Глава II. Ассоциативная, Лиева, Йорданова алгебры….20

§2.1. Инволюции в кольце матриц….20

§2.2. Свойства транспонирования матриц….….20

§2.3. Определение конечномерной алгебры….21

§2.4. Ассоциативные, Лиевы, Иордановы алгебры….22

§2.5. Лиевы и Йордановы алгебры,связанные с инволюцией…24

§2.6.Единичный базис в пространствах симметрических и кососимметрических матриц….25

§2.7.Алгебры симметрических и кососимметрических матриц относительно инволюции….….25

§2.8. Описание алгебры S ….…28

§2.9. Свойства следа матриц….28

§2.10. Алгебра Ли типа ….29

§2.11. Свойства отображения ….31

§2.12. Ортогональные системы из Идемпотентов….31

Глава III. Супералгебры….32

§3.1. Супералгебра….32

§3.2. Алгебра унитреугольных матриц, алгебра Грассмана, алгебра Клиффорда…37

Заключение…42

Литература…43

Введение

Математическое образование студента-математика начинается с изучения трех основных дисциплин, а именно математического анализа, аналитической геометрии и алгебры и теории чисел. Эти дисциплины вместе составляют фундамент, на котором строится всё здание современной математической науки.

В основу моей дипломной работы положен спецкурс по алгебре и теории чисел, который называется «ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ».

Дадим определение основного понятия курса алгебры.Алгеброй называется упорядоченная пара А = (А, Ω), где А—непустое множество и Ω — множество операций на А.

Таким образом, алгебра А определяется двумя множествами:

1. непустым множеством А, обозначаемым также через |А| - это множество называется основным множеством алгебры А, а его элементы — элементами алгебры А.

2. множеством операций Ω, определенных на А и называемых главными операциями алгебры А.[9]

Если < >— алгебра, то говорят также, что множество A есть алгебра относительно операций Ω.

Алгебры А = < А, > и < В, > называются однотипными, если существует инъективное отображение множества на , при котором любая операция из Ω и соответствующая ей при отображении операция fВ из Ω' имеют один и тот же ранг. [1]

Алгебра A = < A , * ,e > типа (2,0), где А — произвольное непустое множество, *—ассоциативная бинарная операция на А, е — нейтральный элемент относительно *, называется моноидом.

Пусть А и В— однотипные алгебры, fA —произвольная главная операция алгебры A и — соответствующая ей главная операция алгебры B.

Говорят, что отображение h множества |A| в множество |B| сохраняет операцию fA алгебры A, если (1) h(fA (a1,…,am))= fB (h(a1),…,h(am )) для любых a1,., аm из |A|, где m —ранг операции fA .

Отметим случай, когда fA — нульместная операция, т. е. она выделяет какой-то элемент а алгебры A. Тогда соответствующая ей операция fB тоже будет нульместной и, значит, выделит какой-то элемент b алгебры B. В этом случае условие (1) примет вид h(a) = b, т. е. выделенный элемент а алгебры A переходит при отображении h в соответствующий ему выделенный элемент b алгебры B. [5]

Гомоморфизмом алгебры A в (на) однотипную алгебру B называется такое отображение h множества |A| в (на) |B|, которое сохраняет все главные операции алгебры A т. е. удовлетворяет условию (1) для любой главной операции fA алгебры A . Гомоморфизм алгебры A на B называется эпиморфизмом.

Гомоморфизм h алгебры A на алгебру B называется изоморфизмом, если h есть инъективное отображение множества |A| на |B|. Алгебры A и B называются изоморфными, если существует изоморфизм алгебры A на B.

Гомоморфизм h алгебры A в алгебру B называется мономорфизмом или вложением, если h является инъективным отображением множества |A| в |B|.

Подалгебры. Пусть f— n-местная операция на множестве А и В —непустое подмножество множества А. В соответствии с понятием ограничения функции множеством говорят, что n-местная операция g на В является ограничением операции f множеством В, если g(b1, ., bn) = f(b1,., bn) для любых b1, ., bn из В. В частности, нульместная операция g на В является ограничением нульместной операции f на А множеством В, если g = f, т. е. если g и f выделяют в В и A соответственно один и тот же элемент. Ограничение операции f множеством В будем обозначать символом f|B.

Пусть A = < А, Ω > и B= < В, Ω' >— однотипные алгебры.

Алгебра B называется подалгеброй однотипной ей алгебры A, если В А и тождественное отображение множества В в A является мономорфизмом алгебры B в алгебру A, т. е. для каждой главной операции fB алгебры B.

fB(b1,…,bm) = fA(b1,., bm) для любых b1,., bm из В, где m —ранг операции fA, а fB — главная операция алгебры B, соответствующая fA. Напомним, что под тождественным отображением множества В в А понимается такое отображение h, что h(b) = b для любого элемента b из В.

Подмножество В множества |A| называется замкнутым в алгебре A, если В замкнуто относительно каждой главной операции fA алгебры A, т. е.

(1) fA(b1, ., bm) В для любых b1, ., bm из В, где m — ранг операции fA. Если fA — нульместная операция, то условие (1) принимает вид fA B. Очевидно, если алгебра В есть подалгебра алгебры А, то множество |B| замкнуто в алгебре А. [8]

Одним из частных случаев алгебр являются группы, которые играют большую роль в математике и ее приложениях.

Алгебра J= типа (2, 1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям (аксиомам):

(1) бинарная операция * ассоциативна, т. е. для любых элементов а, Ь, с из G а*(b*с) = (а*b)*с;

(2) в G имеется правый нейтральный элемент относительно операции *, т. е. такой элемент е, что а*е = а для всякого элемента а из G;

(3) для любого элемента а из G а*а'=е.

Таким образом, группа — это непустое множество с двумя операциями на нем —бинарной операцией * и унарной операцией ', причем бинарная операция ассоциативна и обладает правым нейтральным элементом, а унарная операция есть операция перехода к правому симметричному элементу относительно бинарной операции и, значит, каждый элемент группы имеет правый симметричный ему элемент относительно, бинарной операции группы *. [7]

Группа J = называется абелевой или коммутативной, если бинарная операция группы * коммутативна, т. е. для любых а, b из G a*b = b*а. [5]

Порядком группы J = < G, *, '> называется число элементов основного множества G группы, если G конечно. Если G — бесконечное множество, то группу J называют группой бесконечного порядка.

При изучении групп обычно используется мультипликативная или аддитивная форма записи главных операций группы. При мультипликативной записи бинарную операцию группы называют умножением и пишут а*b (или аb) вместо а * b, называя элемент а • b произведением элементов а и Ь. Элемент, симметричный а, обозначают а-1 и называют обратным элементу а. Нейтральный элемент относительно умножения обозначают через е, 1 или 1J и называют единичным элементом или единицей группы. При мультипликативной записи приведенное выше определение группы формулируется следующим образом.

Алгебра J = < G, +, —) типа (2,1) называется группой, если ее главные операции удовлетворяют условиям:

(1) бинарная операция + ассоциативна, т. е. для любых элементов а,b, с из G имеем a + (b+c) = (a + b)+c;

(2) в G имеется правый нуль, т. е. такой элемент 0, что а+0 = а для всякого элемента а из G;

(3) для любого элемента а из G a + (—а) = 0.

Гомоморфизмы групп. Пусть J = и K = < H, °, -1 > — мультипликативные группы. Говорят, что отображение h множества G в Н сохраняет главные операции группы J, если выполняются условия:

(1) h(ab) = h(a)°h(b) для любых а, b из G;

(2) h (а-1) = (h (а))-1 для любого а из G.

Гомоморфизмом группы J в (на) группу K называется отображение множества G в (на) H, сохраняющее главные операции группы J. Гомоморфизм группы J на K называется эпиморфизмом. [9]

Гомоморфизм h группы J на группу K называется изоморфизмом, если h является инъективным отображением множества G на Н. Группы J и Kназываются изоморфными, если существует изоморфизм группы J на K.

Гомоморфизм h группы J в группу K называется мономорфизмом или вложением, если h является инъективным отображением множества G в Н.

Гомоморфизм группы J в себя называется эндоморфизмом группы J. Изоморфизм группы Jна себя называется автоморфизмом группы J

Подгруппы. Пусть J= — группа. Подгруппой группы J называется любая подалгебра этой группы.

Алгебра K= < Н, •, -1> типа (2, 1) называется подгруппой группы J = если H G и тождественное отображение множества Н в G является мономорфизмом алгебры K в J, т. е. выполняются условия:

(1) a • b=a•b для любых а, b из H;

(2) а-1 = а-1 для любого а из H.

Запись K J означает, что алгебра K является подгруппой группы J. [10].

Прoисхoждение самого слова "aлгебра" не вполне выяснено. По мнению большинствa исследователей этого вопроса, слово "алгебра" произошло от названия труда арaбского математика Ал-Хорезми (от самого имени которого согласно большинству исследователей происходит популярное слово "алгоритм") "Аль-джабр-аль-мукабалла", то есть "учение о перестановках, отношениях и решениях", но некоторые авторы производят слово "алгебра" от имени математика Гебера, однако само существование такого математика подвержено сомнению.

Лине́йная а́лгебра — часть алгебры, изучающая векторы, векторные, или линейные пространства, линейные отображения и системы линейных уравнений. Векторные пространства встречаются в математике и её приложениях повсеместно. Линейная алгебра широко используется в общей алгебре и функциональном анализе и находит многочисленные приложения в естественных науках. К линейной алгебре относят: теорию линейных уравнений, теорию определителей, теорию матриц, теорию векторных пространств и линейных преобразований в них, теорию форм (например, квадратичных), теорию инвариантов (частично), тензорное исчисление (частично).Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Линейные уравнения, как уравнения прямых и плоскостей, стали естественным предметом изучения после изобретения Декартом и Фермаметода координат (около 1636). Построение теории систем таких уравнений потребовало таких инструментов, как матрицы, её определители и ранги. В 1750 году для решения систем линейных уравнений было предложено правило Крамера (число уравнений равно числу неизвестных и определитель от коэффициентов не равен нулю), а в 1849 году — метод Гаусса. В 1877 году Фробениус предложил понятие ранга матрицы, что позволило сформулировать теорему Кронекера — Капелли.

В XX веке основным объектом изучения линейной алгебры становится векторное пространство.

Гамильтон в своей работе 1833 представлял комплексные числа в виде, как мы бы сейчас сказали, двумерного вещественного векторного пространства, ему принадлежит открытие кватернионов, а также авторство термина «вектор». Теория матриц была разработана в трудах Кэли (1850-е). Системы линейных уравнений в матрично-векторном виде впервые появились, по-видимому, в работах Лагерра (1867). Грассман в работах 1844 и 1862 года изучает то, что мы теперь назвали бы алгебрами, и его формальное изложение по существу является первой аксиоматической теорией алгебраических систем. В явном виде аксиомы линейного пространства сформулированы в работе Пеано (1888).[13]

Объект выпускной квалификационной работы – Линейная алгебра.

Предмет –алгебра.

Целью моей работы является углубить знания студентов в области линейной алгебры, которая в свою очередь необходима будущему учителю для глубокого понимания целей и задач как основного школьного курса математики, так и школьных факультативных курсов.

Актуальность данной выпускной квалификационной работы связано применением данной темы в обучении студентов.

Задачи выпускной квалификационной работы: усвоение студентами знания в области линейной алгебры и теоретическая разработка темы: «Супералгебры».

Дипломная работа состоит из трех глав. Первая и вторая глава содержит методически разработанный спецкурс. Третья глава посвящена решению Третья глава посвящена методической разработке темы: Супералгебры.

В спецкурсе изложены вопросы связанные с ассоциативной, Лиевой и Иордановой алгебрами.

Теоретический материал данного спецкурса был предложен доцентом кафедры алгебры и геометрии БГПУ им.М.Акмуллы Голубчиком И.З.

Мною проведены доказательства ряда теорем и предложений, содержащихся в нём, и методически разработана глава III «СУПЕРАЛГЕБРЫ».

Для облегчения восприятия материала, который опирается на курс алгебры и теории чисел, каждый параграф начинается с формулировок ранее известных студенту определений. Далее, новые понятия вводятся в абзацах начинающихся словом "Определение". После введения понятия, оно конкретизируется на примерах, которые следуют ниже.

Теоретический материал спецкурса разбит на три главы. В первой главе рассматриваются матричные единицы и основные их свойства. Вторая глава знакомит с алгеброй Ли и Иордановой алгеброй, подробно рассматриваются примеры этих классических алгебр, связанных с инволюцией. Третья глава знакомит Супералгеброй, предлагается ряд серьёзных задач, которые могут послужить основой студенческих научных работ: курсовых и дипломных.

Выдержка из текста работы

ГЛАВА I. МАТРИЧНЫЕ ЕДИНИЦЫ.

§1.1. Комплексные числа. Матрицы над комплексными числами. Простые свойства сопряженных чисел

Решение многих задач математики, физики сводится к решению алгебраических уравнений. Поэтому исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Стремление сделать уравнения разрешимыми – одна из главных причин расширения понятия числа. Так для решимости уравнений вида x+a=b положительных чисел недостаточно. Например, уравнение x+5=2 не имеет положительных корней. Поэтому приходится вводить отрицательные числа и нуль.

На множестве рациональных чисел разрешимы алгебраические уравнения первой степени, т.е. уравнения вида a•x+b=0 (a 0). Однако алгебраические уравнения степени выше первой могут не иметь рациональных корней. Например, такими являются уравнения x2=2, x3=5. Необходимость решения таких уравнений явилось одной из причин введения иррациональных чисел. Рациональные и иррациональные числа образуют множество действительных чисел. [4]

Однако и действительных чисел недостаточно для того, чтобы решить любое алгебраическое уравнение. Например, квадратное уравнение с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет действительных корней. Простейшее из них – уравнение x2+1=0. Поэтому приходится расширять множество действительных чисел, добавляя к нему новые числа. Эти новые числа вместе с действительными числами образуют множество, которое называют множеством комплексных чисел.

Будем считать, что на множестве комплексных чисел уравнение x2+1=0 имеет корень. Обозначим этот корень буквой i . Таким образом, i – это комплексное число, такое, что i 2= –1.

Как и для действительных чисел, нужно ввести операции сложения и умножения комплексных чисел так, чтобы сумма и произведение их были бы комплексными числами. Тогда, в частности, для любых действительных чисел A и B выражение A+B•i можно считать записью комплексного числа в общем виде. Название «комплексное» происходит от слова «составное»: по виду выражения A+B•i.[14]

Определение 1.1.

Комплексным числом называется число вида z=x+iy, где х и у вещественные числа , а i-мнимая единица, удовлетворяющей равенству .При этом х называется вещественной частью а у—мнимой частью числа z, что записывается так: x=Re z, y=Im z.

Арифметические операции над комплексными числами.

Заключение

В процессе выполнения выпускной квалификационной работы была изучена теория по темам: алгебра, комплексные числа, матричные единицы, ассоциативная, Лиева, Йорданова алгебры, Супералгебры.

Приведены примеры по каждой теме.

Данная выпускная квалификационная работа состоит из трех глав. Первая и вторая глава содержит методически разработанный спецкурс. Третья глава посвящена методической разработке темы: Супералгебры.

В спецкурсе изложены вопросы связанные с ассоциативной, Лиевой и Иордановой алгебрами.

Теоретический материал данного спецкурса был предложен доцентом кафедры алгебры и геометрии БГПУ им. М.Акмуллы Голубчиком И.З.

Мною проведены доказательства ряда теорем и предложений, содержащихся в нём, и методически разработана глава III «СУПЕРАЛГЕБРЫ».

Для облегчения восприятия материала, который опирается на курс алгебры и теории чисел, каждый параграф начинается с формулировок ранее известных студенту определений. Далее, новые понятия вводятся в абзацах начинающихся словом "Определение". После введения понятия, оно конкретизируется на примерах, которые следуют ниже.

Перечень используемой литературы содержит 14 наименований.

Список литературы

1. Виноградов И.М. Основы теории чисел. М., 1976.

2. Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике: -

Государственное издательство физико–математической литературы; Москва; 1960.

3. Голубчик И.З. Полные решетки с умножением; Уфа, 1992.

4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М., 1977.

5. Кострикин А.И. ,Манин Ю.И. Линейная алгебра и геометрия. М.,Наука, 1986.

6. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Основы алгебры. М.: Физико-математическая литература, 2000.

7. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Линейная алгебра. М.: Физико-математическая литература, 2000.

8. Кудрявцев В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. - М.: Наука, 1978.

9. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел.М.,Высшая школа,1979.

10. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.,Наука, 1975.

11. Ленг С. Алгебра. М.: Мир, 1968.

12. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.1973.

13. Хассе Г. Лекции по теории чисел. М, 1953.

14. Халмош П. Конечномерные векторные пространства. М.,1963.