«Методическое обеспечение курса "кратные и поверхностные интегралы"»

но смотрятся на печати; при печати получается текст типографического

качества и т.д.

4

если существует предел lim

λ→0

σ, не зависящий ни от способа разбиения Ω

на Ωi, ни от выбора точек Mi.

В таком случае предел lim

λ→0

σ называется тройным интегралом от функ-

ции f по области Ω.

Тройной интеграл обозначается следующим образом

∫ ∫

Ω

∫

f(x, y, z)dxdydz = lim

λ→0

Σn

i=1

f(Mi)|Ωi|

Необходимое условие интегрируемости Если функция f – инте-

грируема в области Ω, то она ограничена.

В самом деле, если бы функция f была неограничена в некотором

промежутке, то при любом разбиении промежутка на части она сохра-

нила бы подобное свойство хоть в одном из частей. Тогда за счет выбора

5

в этой части точки ξ можно было бы сделать значение функции в этой

точке f(ξ), а с ней и интегральную сумму σ, сколь угодно большой. При

этих условиях конечного предела для суммы существовать не может. [1]

§2. Сумма Дарбу

Пусть нам дана функция f ограниченная в области Ωi.

Обозначим через Mi = sup f точную верхнюю границу, а через mi =

inf f точную нижнюю границу функции f(x) в i – м промежутке [xi, xi+1]

и составим суммы

s =

Σn−1

i=0

mi|Ωi|

нижняя (интегральная) сумма Дарбу

S =

Σn−1

i=0

Mi|Ωi|

верхняя (интегральная) сумма Дарбу.

Когда функция f(x) непрерывна, верхняя и нижняя суммы Дарбу

являются наименьшей и наибольшей из интегральных сумм, отвечаю-

щих взятому разбиению, так как в этом случае функция f(x) в каждом

промежутке достигает своих точных границ, и точки ξi можно выбирать

так, чтобы было f(ξi) = mi или f(ξi) = Mi.

В общем случае, из определения нижней и верхней границ имеем

mi ≤ f(ξi) ≤ Mi.

Умножив обе части неравенства на |Ωi| и просуммировав по i получим

s ≤ σ ≤ S.

При фиксированном разбиении суммы s и S будут постоянными числа-

ми, а сумма Ω еще остается переменной, так как числа ξi – произвольные.

За счет выбора ξi можно значения функции f(ξi) сделать сколь угод-

но близкими к mi или к Mi, а значит – сумму σ сделать сколь угодно

6

боты заключается в том, что она может быть использована в качестве

методического пособия по курсу математический анализ для студентов

специальностей Прикладная математика и физика.

56

ука. 2002

[6] Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа том 2. – СПб.:

Издательство Лань, 2001

[7] Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу том 3.

– М.: Издательство Наука. 2001

57