«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «математика» для студентов направления «биология»»

Хорошо известно, что математические дисциплины закладывают естественнонаучные обоснования специальных физических, химических, биологических и других проблем, однако, в разное время роль математики в различных областях естествознания была неодинаковой.

В настоящее время роль математики и математических методов в биологии возрастает, поскольку:

• любое биологическое утверждение нуждается в сопоставлении с законами физики и химии, а для этого необходимо использовать математический аппарат;

• количество новой экспериментальной информации таково, что систе-матизировать её без математического аппарата невозможно.

• применение современной математики к положениям и законам биологии, которые были сформулированы без применения математики, позволяет придать им более четкую и содержательную форму, а также выявить новые, ранее неизвестные аспекты.

Курс высшей математики входит в блок фундаментальных дисциплин в системе подготовки студентов биологических специальностей во всех классических университетах России.

Цель обучения высшей математике – дать представление о методах математических исследований в биологии, сформировать умения исследования биологических явлений и объектов в будущей профессиональной деятельности.

В традиционной системе обучения студентов биологических специаль-ностей содержание и цели изучения высшей математики определяются государственными образовательными стандартами, согласно которым высшая математика изучается на первом курсе.

Целью моей дипломной работы является:

Разработка и создание учебного пособия по теме «Методическое обес-печение лекционных занятий по курсу «Математика» для студентов направления «Биология».

Основные задачи:

1. Выбрать нужную литературу, содержащую необходимую информацию по моей дипломной работе.

2. Изучить и проанализировать методическую литературу из различных источников.

3. Определить структуру и содержание методического пособия.

4. Оформить теоретический материал согласно структуре.

Объект исследования – профессиональная подготовка по курсу «Математика» в педагогических вузах.

Предмет исследования – методическое обеспечение лекционных заня-тий по курсу «Математика».

Данная работа посвящена изложению вопросов, относящихся к курсу основы аналитической геометрии, векторной и линейной алгебры и математического анализа. В пособии имеется множество различных примеров, которые позволяют лучше усвоить изложенный материал, по существу разобраться в его содержании.

Возьмем на координатной плоскости Оху произвольную точку М. Опустим из нее перпендикуляры на оси координат. На осях получим точки М1 и М2 – проекции точки М соответственно на ось Ох и Оу (см. рис. 1).

у

М2 М

• •

М1

• х

О

Рис. 1

Координата х точки М1 на оси Ох называется абсциссой точки М, координата у точки М2 на оси Оу называется ординатой точки М.

Упорядоченная пара чисел (х; у), где х – абсцисса точки М, у – ордината точки М, называются прямоугольными (или декартовыми прямоугольными) координатами точки М. Записывается так: М (х; у).

Оси координат Ох и Оу делят координатную плоскость на четыре прямых угла, называемыми квадрантами. (См. рис. 2)

у

II I

(-, +) (+, +)

О х

III IV

(-, -) (+, -)

Рис. 2

Ясно, что каждой точке на плоскости соответствует единственная упорядоченная пара чисел х и у – ее прямоугольные координаты. Обратно, каждая упорядоченная пара чисел х и у определяет единственную точку на плоскости.

Способ определения положения точки с помощью чисел называется методом координат.

Рассмотрим две важные задачи аналитической геометрии на плоскости, которые решаются методом координат.

ЗАДАЧА 1. Расстояние между двумя точками на плоскости.

На плоскости даны две точки М1 (х1; у1) и М2 (х2; у2) . Найдем расстояние между ними d. Выполним чертеж, расположив для простоты точки в первой четверти.

у

•

у2 - у1

•

х2 - х1

х

Рис. 3

Через точки М1 и М2 проведем отрезки М1k  Ох; М2k  Оy.

Рассмотрим прямоугольный треугольник  М1М2 k. Его катеты М1k = х2 – х1; М2k = у2 – у1.

По теореме Пифагора:

d = M1M2 = √(〖M_1 k〗^2+〖M_2 k〗^2 ) = √((x_2— 〖x_1)〗^2 + (y_2—〖y_1)〗^2 ) .

Получим формулу d = M1M2 = √((x_2— 〖x_1)〗^2 + (y_2—〖y_1)〗^2 ) .

ЗАДАЧА 2. Координаты середины отрезка.

Известны координаты концов отрезка М1М2 - М1 ( х1; у1) и М2 ( х2; у2) . Найдем координаты точки М, являющейся серединой отрезка.

Выполним чертеж, расположив точки в первой четверти.

у

•

•

•

• • • х

О

Рис. 4

Обозначим искомые координаты точки М (х; у). М – середина отрезка М1М2, т.е. М1М = ММ2. Спроектируем точки М1, М2 и М на ось Ох, получим там точки р1, р2, р. Из геометрии известно, что р1р = рр2 . Выразим эти отрезки через координаты:

р1р = х – х1; рр2 = х2 – х

Получим: х – х1 = х2 – х

Выразим х: 2х = х2 + х1  x = (x_(1 +) x_2)/2 .

Проектируя точки на ось Оу аналогично получим: y = (y_(1 +) y_2)/2 .

Формулы x = (x_(1 +) x_2)/2 ; y = (y_(1 +) y_2)/2 . (1)

позволяют находить координаты середины отрезка.

2. Полярная система координат.

Кроме прямоугольных декартовых координат на плоскости существуют другие системы координат, позволяющие определить положение каждой точки плоскости с помощью двух действительных чисел. Наиболее употребительной после декартовой системы координат является полярная система координат.

Зафиксируем на плоскости точку О и выходящую из нее полупрямую Оp, а также выберем единицу масштаба. Точка О называется полюсом, полупрямая Ор - полярной осью.

Полюс и полярная ось образуют полярную систему координат на плоскости. (См. рис. 5)

Пусть М – произвольная точка плоскости, не совпадающая с полюсом. Соединим эту точку М с полюсом О отрезком ОМ.

•

O • P

Рис. 5

Расстояние r от точки М до полюса называют полярным радиусом точки М. Угол  между полярной осью и отрезком ОМ называют полярным углом точки М.

Полярный угол  измеряется в радианах, отсчет положительных (отрицательных) значений  ведется от Ор против движения (по движению) часовой стрелки.

Полярный радиус и полярный угол называют полярными координатами точки М.

Будем записывать М (r; ).

Полярный радиус принимает значения r  0 (r = 0 для полюса!).

3. Связь между прямоугольными и полярными координатами.

Иногда приходится одновременно пользоваться прямоугольными и полярными координатами на плоскости. Рассмотрим переход от полярных координат к прямоугольным и обратно.

Формулы (2) выражают полярные координаты точки через ее прямоугольные.

Заметим, что значению тангенса, найденному по формуле tg φ = y/x в промежутке 0    2 соответствуют два значения угла . Выбирается то значение , которое соответствует положению точки М на координатной плоскости.

Пример 1. Зная декартовы координаты точки М (x = √3; у = 1), найти ее полярные координаты.

Решение. По формулам (2) получим: r = √(〖(√3)〗^2+1^2 )= 2; tg φ = 1/√3 = √3/3. Этому значению тангенса соответствуют два значения угла φ_1 = π/6; φ_2 = 7/6 π .

Т.к. точка лежит в I четверти берем φ = π/6 .

Значит полярные координаты точки M (2; π/6 ).

Пример 2. Записать в полярных координатах уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.

Решение. Уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а в декартовых координатах имеет вид: х2 + у2 = а2.

Подставим вместо х, у их выражение через полярные координаты по формулам (1). Получим (r cos  )2 + (r sin  )2 = a2.

r2 (cos2  + sin2  ) = a2  r2 = a2  r = a.

Получим r = а – полярное уравнение окружности с центром в начале координат радиуса а.

Предположим, что полюс полярной системы координат совпадает с началом прямоугольной системы координат Оху, а полярная ось совпадает с положительной полуосью Ох.

2. Число е.

Рассмотрим числовую последовательность

{〖(1+ 1/n )〗^n }. (1)

Для доказательства существования предела этой последовательности воспользуемся свойством 2 из предыдущего пункта. Для этого покажем сначала, что наша последовательность возрастающая. Разложим общий член последовательности an = 〖(1+ 1/n )〗^n по формуле бинома Ньютона:

an = 〖(1+ 1/n )〗^n = 1 + n • 1/n + (n(n-1))/(1•2) • 1/n^2 + (n(n-1)(n-2))/(1•2•3)• 1/n^3 + … … + (n(n-1)…[n-(n-1)])/(1•2•3…n)• 1/n^n

или

an = 2 + 1/2 (1 - 1/n) + 1/(2•3) •(1 - 1/n) (1 - 2/n) + …

… + 1/(2•3…n) •(1 - 1/n) (1 - 2/n)…(1 - (n-1)/n). (2)

Из равенства (2) видно, что с увеличением номера n каждое слагаемое, кроме первого, увеличивается и возрастает число таких слагаемых. Следовательно, an < аn + 1 для всех n, и поэтому последовательность возрастающая.

Теперь покажем, что последовательность (1) ограничена сверху. Заменим во всех членах разложения (2) выражения в круглых скобках единицами. Тогда

an < 2 + 1/(1•2) + 1/(1•2•3) + … + 1/(1•2•3…n) .

Подставляя вместо множителей 3, 4, … n в знаменателях число 2, мы ещё больше увеличим правую часть:

an < 2 + 1/2 + … + 1/2^(n-1) .

Но по формуле суммы членов геометрической прогрессии

1/2 + 1/2^2 + … + 1/2^(n-1) = (1/2-1/2^n )/(1- 1/2) = 1- 1/2^(n-1) < 1.

Поэтому an < 3 при любом n.

Из свойства 2 предыдущего пункта следует, что последовательность (1) как возрастающая и ограниченная сверху имеет предел. Этот предел принято обозначать буквой е.

е = lim┬(n→∞) 〖(1+ 1/n )〗^n. (3)

Предел функции.

Пусть функция f (x) определена в некоторой окрестности точки х = а.

Число А называется пределом функции f (x) при стремлении х к а (или в точке а), если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х ≠ а, удовлетворяющих условию

| х - а |< δ,

имеет место неравенство

| f (x) - А | < ε.

Обозначение:

lim┬(х→а) f (x) = А или f (x) → А при x → a.

Отсюда, если число A есть предел функции f (x) в точке х = а, то для всех х, близких к числу а и отличных от него, соответствующие им значения функции f (x) оказываются сколь угодно близкими к числу А.

Число А называется пределом функции f (x) при стремлении х к бесконечности, если для любого числа ε > 0 существует такое положительное число N, что для всех х, удовлетворяющих условию |х| > N, имеет место неравенство | f (x) - А | < ε. В этом случае пишут lim┬(n→∞) f (x) = А.

Также рассматривают lim┬(х→+∞) f (x) и lim┬(х→-∞) f (x).

Предел функции f (x) при х → +∞ (х → - ∞) определяется аналогично

lim┬(х→∞) f (x), только в самой формулировке определения lim┬(х→∞) f (x) условие |х| > N следует заменить на х > N (х < - N).

Пример. Показать, что lim┬(х→1) х2 = 1. Пусть ε – произвольное положительное число. Найдем такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х - 1| < δ, выполняется неравенство |х2 - 1| < ε.

Если 0 < |х - 1| < δ, то |х + 1| = |(х – 1) + 2| ≤ |х - 1| + 2 < δ + 2. Следовательно, |х2 - 1| = |х - 1||х + 1| < δ (δ + 2). Чтобы выполнялось неравенство |х2 - 1| < ε достаточно потребовать, чтобы δ (δ + 2) = ε, т. е. чтобы δ2 + 2δ – ε = 0. Отсюда δ = -1 + √(1+ ε).

§3.3. Бесконечно малые и бесконечно большие величины

Бесконечно малые.

Числовая последовательность {an}называется бесконечно малой, если ее предел равен нулю: lim┬(n→∞)an = 0.

Функция 𝛼(х) называется бесконечно малой при х → а, если lim┬(х→а) 𝛼(х) = 0, т. е. если для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х - а| < δ, выполняется неравенство |𝛼(х)| < ε.

Бесконечно малую функцию также называют бесконечно малой величиной или просто бесконечно малой.

Рассмотрим свойства бесконечно малых функций (верны также и для бесконечно малых последовательностей)

Если функция 𝛼1(х) и 𝛼2(х) являются бесконечно малыми, то функция 𝛼1(х) + 𝛼2(х) также есть бесконечно малая.

Доказательство. Пусть ε - произвольное положительное число. Так как функции 𝛼1(х) и 𝛼2(х) бесконечно малые, то найдутся такие числа δ1, δ2 > 0, что при 0 < |х - а| < δ1 и 0 < |х - а| < δ2 имеют место соответственно неравенства

|𝛼1(х)| < ε/2 и |𝛼2(х)| < ε/2 . (1)

Обозначим через δ наименьшее из чисел δ1 и δ2. Тогда при 0 < |х - а| < δ будут верны неравенства (1) и, следовательно,

|𝛼1(х) + 𝛼2(х)| ≤ |𝛼1(х)| + |𝛼2(х)| < ε/2 + ε/2 = ε.

Следовательно, для любого ε > 0 существует такое число δ > 0, что при 0 < |х - а| < δ выполняется неравенство |𝛼1(х) + 𝛼2(х)| < ε, а это означает, что 𝛼1(х) + 𝛼2(х) есть функция бесконечно малая.

Функция f (x) называется ограниченной при х → а, если существует положительные числа М и δ, такие, что при условии 0 < |х - а| < δ выполняется неравенство |f (x)| ≤ М.

Произведение ограниченной при х → а функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

Доказательство. Пусть f (x) – ограниченная функция при х → а и 𝛼(х) – бесконечно малая. Тогда существует такое число М > 0, что |f (x)| ≤ М для всех х, достаточно близких к а. Возьмем любое ε > 0. Для ε существует такое δ > 0, что при условии 0 < |х - а| < δ выполняются одновременно неравенства |f (x)| ≤ М и |𝛼(х)| < ε/М . Поэтому

|f (x) 𝛼(х)| = |f (x) 𝛼(х)| ≤ М • ε/М = ε.

Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.

Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая.

Бесконечно большие.

Числовая последовательность {an}называется бесконечно большой, если для любого положительного числа М найдется такое натуральное число N, что для любого n > N выполняется неравенство |аn| > M. Обозначается это так: lim┬(n→∞)an = ∞.

Функция f (x) называется бесконечно большой при х → а, если для любого числа М > 0 существует такое число δ > 0, что |f (x)| > М для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < |х - а| < δ. Обозначают это так: lim┬(х→а) f (x) = ∞.

Если при этом f (x) положительна (отрицательна) в окрестности точки а, то пишут lim┬(х→а) f (x) = + ∞ ( lim┬(х→а) f (x) = - ∞).

Бесконечно большие и бесконечно малые функции тесно связаны между собой. Рассмотрим свойства бесконечно больших функций (верны и для бесконечно больших последовательностей).

Если функция f (x) бесконечно большая, то 1/(f (x)) бесконечно малая.

Доказательство. Возьмем любое ε > 0 и обозначим 1/ε = М. Так как f (x) бесконечно большая, то числу М соответствует δ > 0, что при 0 < |х - а| < δ выполняется неравенство |f (x)| > М = 1/ε , откуда 1/(f (x)) < ε.

Если функция 𝛼(х) бесконечно малая и не обращается в нуль, то 1/(α(х)) - бесконечно большая.

Доказательство. Возьмем любое М > 0 и обозначим 1/М = ε. Так как 𝛼(х) бесконечно малая, то числу ε > 0 соответствует δ > 0, такое, что при 0 < |х - а| < δ выполняется неравенство |𝛼(х)| < ε = 1/М , откуда 1/(|α(х)|) > М.

В данном параграфе были рассмотрены функции аргумента х для случая, когда х → а. Однако все предложения остаются в силе и для случая, когда х → ∞. Здесь все доказательства аналогичны [10], [13].

Упражнения

1. Дано f (x) = х2 – 5х + 6. Покажите, что f (2) = f (3) = 0.

2. Дано f (x) = (2х^(2 )- 1)/(х+3) . Найдите f (1).

[ f (1) = 1/4 ]

3. Найдите области определения функций

а) у = 2х ; [(- ∞; + ∞).]

б) у = √(3+х) + ∜(7-х); [[- 3; 7].]

в) у = х arcsin x; [[- 1; 1.]]

г) у = (1+х)/(1-х) ; [х ≠ 1.]

д) у = 3√(4- х^2 ); [[- 2; 2.]]

4. Постройте графики функций

а) у = 4 – 4х2;

б) у = х^3+ 1;

в) у = 5 cos⁡х;

г) у = 4 sin⁡х;

д) у = 2 tg x;

e) y = 5/x ;

ж) у = cos⁡3х;

з) у = sin⁡〖х/2〗 ;

Вычислите указанные пределы

5. lim┬(х→1) (х^2- 5х+6)/(х^2-7х+10) ; [1/3]

6. lim┬(х→-2)(х2 + 6х + 8); [0.]

7. lim┬(х→1) (х^2+ 2х+3)/(х^2+1) ; [3.]

8. lim┬(х→0) (〖2х〗^3+ 3х^2-х)/7х ; [-1/7]

9. lim┬(х→1) (х^3-1)/(х-1) ; [3.]

10. lim┬(х→0) (х^4+ 3х^2)/(х^(5 )+х^3+2х^2 ) ; [3/2]

11. lim┬(х→1) (х^4-1)/(х^2-1) ; [2.]

12. lim┬(х→0) (√(1+х)-1)/х ; [1/2]

13. lim┬(х→0) (∛(1+х)-1)/х ; [1/3]

14. lim┬(х→-1) (1+∛х)/(1+х) ; [1/3]

15. lim┬(х→0) (∛(1+3х^2 )-1)/(х^2+х^3 ) ; [1.]

16. lim┬(х→2) (√(2+х)-√(3х-2))/(√(4х+1)-√(5х-1)) ; [3.]

17. lim┬(х→0) (∛(1+2х)+1)/(∛(2+х)+х) ; [1/2]

18. lim┬(n→∞) (х^2- 2х+3)/(х^3+7х-1) ; [0.]

19. lim┬(х→0) sin⁡х/sin⁡2х ; [1/2]

20. lim┬(х→0) х ctg x; [1.]

21. lim┬(n→∞) (〖2х〗^4- х+3)/(х^3-8х+5) ; [∞.]

22. Какие нижеследующие бесконечно малые при х → 0 будут бесконечно малыми одного порядка, высшего порядка, низшего порядка по отношению к функции β(х) = х?

а) 𝛼(х) = 3, б) 𝛼(х) = 2 sin⁡х, в) 𝛼(х) = х2, г) 𝛼(х) = sin2x, д) 𝛼(х) = ∛(tg x).

[Одного порядка: а), б); высшего порядка: в), г); низшего порядка: д).]

[14].