«Методика изучения асимптотики резольвенты лапласиана с частой сменой граничных условий» - Дипломная работа

Содержание

Введение 3

Постановка задачи и формулировка результатов 3

Формальное построение асимптотик. 5

Обоснование асимптотик. 17

Литература 22

---

Введение

Рассмотрена модельная краевая задача для лапласиана в единичном круге с

часто и периодически чередующимся типом граничных условий в случае, когда

предельной является задача Дирихле.

Постановка задачи и формулировка результатов. Краевые эллиптиче-

ские задачи с часто чередующимся типом граничных условий возникают в раз-

личных приложениях, например, при исследовании собственных значений часто

закрепленной мембраны, в задачах нефтехимии и в других областях. В настоящей

работе рассматривается краевая задача для оператора Лапласа в круге с часто и

периодически чередующимся типом граничных условий.

Пусть x = (x1, x2) - декартовы координаты, " = 2N−1 - малый параметр, N ≫ 1

целое число, D - единичный круг с центром в начале координат, (r, ) - полярные

координаты. Через

" обозначим объединение N открытых непересекающихся ле-

жащих на @D дуг, длиной 2" каждая (0 <  < /2), расположенных так, что

любая из этих дуг получается из соседней поворотом на " относительно начала

координат(см. рис.). Определим 􀀀" как дополнение

" до @D. Под часто и периоди-

чески чередующимся типом граничных условий мы будем понимать случай, когда

на

" задается граничное условие Дирихле, а на 􀀀" - граничное условие Неймана

[1].

Предполагаем, что (") является функцией от ", такой что (") → 0 при " → 0 и

lim

"→0

" ln  = 0.

Нашей целью является построение асимптотики решения при " → 0 следующей

задачи:

3

---

Выдержка из текста работы

Здесь  < 0 - некоторое фиксированное число, f ∈ C∞

0 (¯D) - заданная функция.

В этой работе на основе метода пограничного слоя будет построена асимптоти-

ка. Базовой идеей данного построения является использование пограничного слоя

в окрестности границы @D с целью удовлетворения граничных условий задачи

(1).

Теорема 1. Асимптотическое разложение решения задачи (1) имеет вид:

u" = uex

" (x, ) + (r)umid

" (, , ),

где (r)  бесконечно дифференцируемая срезающая функция, равная единице

при r > 2

3 и нулю при r < 1

3,

---

Заключение

Лемма 1. Пусть F ∈ 0, - решение задачи

Тогда  ∈ 1 если и только если

Z



Y Fd = (A + B ln sin ). (19)

Рассмотрим задачу (14). Так как F0 = 0 и B0 = 0, то подставляя эти значения в

формулу (19), получим 0 |2=0= 0. Следовательно задача (14) имеет единственное

решение 0 = 0 поэтому члена 0 не должно быть в разложении (17).

Равенство 0 |2=0= 0 в силу задачи (14) влечет краевое условие

u0 = 0, x ∈ @D. (20)

Выпишем задачу для j = 1 учитывая, что 0 = 0 :





1 = 0, 2 > 0,

1 |2=0= −u1 |r=1,

@1

@2

 

2

=

0 =

@u0

@r



r=1

.

(21)

Применим лемму для (21), получим:

r=1

ln sin . (22)

C учетом гармоничности функции X(, ) и граничных условий (17) заключаем,

что решение задачи (21) имеет вид

1 = −

@u0

@r



r=1

X(, ). (23)

---

Список литературы

1. Д.И. Борисов. Двупараметрические асимптотики собственных чисел Ла-

пласиана с частым чередованием граничных условий. Прикладная матема-

тика и механика, 2002. C. 36-52.

2. Р.Р. Гадыльшин. Об асимптотике собственных значений для периодически

закрепленной мембраны. Алгебра и анализ Том 10, (1998), вып. 1.

---

Примечания

Форматы: *.pdf, *.tex * 1.eps

К работе прилагается презентация