«Методика изучения колеблющихся решений нелинейного разностного уравнения»

Объектом данного исследования являются уравнения в конечных разностях ∆ и колеблемость решений этого уравнения.

Предметом изучения данной работы являются условия колеблемости, асимптотические поведения уравнения ∆ и методика их изучения.

Целью данной работы являются исследования колеблемости решения данного уравнения с помощью различных теорем и их доказательств, а так же построение методики изучения уравнения .

Новизной исследования поставленной задачи является само ознакомление с разностными уравнениями, их видами и решениями, а также условиями колеблемости решения разностных уравнений.

Структура работы. В соответствии с поставленными целями и задачами исследования работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе даётся понятие разностного уравнения и их решения, некоторые свойства однородных и неоднородных разностных уравнений. Вторая глава посвящена методике изучения колеблющихся решений уравнения . Формулируются вспомогательные предложения, ставится сама задача и рассматриваются основные результаты исследования.

=(0,+ ) – множество положительных действительных чисел.

=(- ,0] – множество неположительных действительных чисел.

=[0,+ ) – множество неотрицательных действительных чисел.

, , ,

Под понимается обобщённая степень:

…(x-k+1), где k Z.

Под понимается конечная разность:

где i N,

Под «разностным уравнением» будем понимать «уравнение в конечных разностях» (или то же самое «конечно разностное уравнение»).

Под решением разностного уравнения (или разностного уравнения высшего порядка) будем понимать решение, продолжаемое вправо. Исключаются из рассмотрения тривиальное решение и решения, слипающиеся с тривиальным.

Решение рассматриваемого уравнения (или разностного уравнения высшего порядка) назовём колеблющимся (осциллирующим), если оно меняет знак на [k, + ) В противном случае решение назовём неколеблющимся (неосциллирующим).

1.2 Понятие разностного уравнения и его порядок

Многие задачи современного естествознания решаются составлением дифференциальных уравнений. Тогда решение задачи может считаться законченным только после того, как эти дифференциальные уравнения решены.

Но не всегда удается решать составленные дифференциальные уравнения аналитически (т.е. решение представить в виде формулы). Поэтому, во многих случаях, такие дифференциальные уравнения решают приближенно некоторым численным методом. Одним из этих методов является метод конечных разностей. Этот метод состоит в том, что за искомый набор чисел принимается таблица значений решения в точках некоторого множества, называемой сеткой. Для вычисления искомой таблицы используется алгебраические уравнения, приближенно заменяющее дифференциальное.

Пусть дано однородное дифференциальное уравнение первого порядка

u'(x)+Au(x)=0, (0.1)

удовлетворяющее начальному условию u(0)=1 (где A – постоянное число).

(Общее решение уравнения (0.1) имеет вид u(x)=Ce ).

Рассмотрим приближенное решение этого уравнения составлением сетки.

Зададим h>0 и вместо функции u(x) будем искать таблицу ее значений

u(0), u(h), u(2h), …,u(nh), …

Заменим производную u'(x)= отношением

, (0.2)

ее приближающим. Шаг h должен быть выбран достаточно малым.

Тогда, вместо дифференциального уравнения (0.1) мы получаем приближающее его разностное уравнение

+Au(x), (0.3)

позволяющее приближенно вычислить решение уравнения (0.1).

(0.2) u(x+h)=(1-Ah)u(x). (0.4)

((0.4) – рекуррентная формула уравнения (0.3))

Тогда, для x=0, h, 2h, …),

Формулу (0.3) можно расписать в виде

u(h)=(1-Ah),

u(2h)=(1-Ah) ,

…. (0.5)

u(Nh)=(1-Ah) ,

….

Выбрав h= , получим

u(1)=(1- ) (0.6)

Вместо точного решения u(1)=e уравнения (0.1).

Знаем, что при достаточно малом h (или, по-другому, при достаточно большом N) величина (1- ) мало отличается от e . Итак, мы показали, что приближенное решение, полученное по этой разностной схеме и зависящее от шага h, при достаточно малом h, сводится к точному решению дифференциального уравнения (0.1).

Итак, вместо решения уравнения (0.1), мы составили разностное уравнение (0.3), позволяющее представить решение (0.1) приближенно.

Иногда, приближенное решение уравнения (0.1) можно получить, заменяя u'(x) разностным отношением

. (0.7)

Тогда, уравнение (0.1) имеет вид

+Au(x) =0. (0.8)

Для дифференциального уравнения

u''(x)+Au(x)+Bu(x)=f(x),где A и B – постоянные, (0.9)

можно построить схему, заменяя u''(x), например, так:

. (0.10)

u'(x) можно представить в виде (0.7).

Тогда, для уравнения (0.9) можно написать схему

(0.11)

Для уравнения

u'(x)+A(x)u(x)=0 (0.12)

написать схему

+ A(x)u(x)=0. (0.13)

Нелинейное уравнение

u'(x)+cos[x•u(x)]=0 (0.14)

может быть решено по схеме

(0.15)

Итак, для дифференциального уравнения

u'(x)+Au(x)=f(x) (0.16)

можно построить разностные схемы

+ Au(x)=f(x) (0.17)

или

+ Au(x)=f(x), (0.18)

которые можно записать соответственно в виде

- + (0.19)

- + (0.20)

По-другому уравнения (0.19) и (0.20) можно соответственно записать в виде

au(x)+bu(x+h)=f(x), (0.21)

au(x-h)+bu(x)+cu(x+h)=f(x) (0.22)

Пусть последовательность точек (n=…, -2, -1, 0, 1, 2, …) делит ось Ox на отрезки (т.е. ) и обозначим u( ) через , f( ) через , то разностные схемы (0.21) и (0.22) можно соответственно написать в виде

6. Гайнуллин М.Н. Осцилляция решений некоторых разностных уравнений высшего порядка.- Уфа: Башгоспединститут, 1999.- 94 с.

7. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. К теории осцилляции решений уравнений : Тез. докладов ХХV научной конференции факультета физ.-мат. и естественных наук Университета дружбы народов. – М.: Изд-во УДН, 1989.

8. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. Об осцилляционных свойствах уравнений высшего порядка в конечных разностях: Тез. докладов ХХVII научной конференции факультета физ.-мат. и естественных наук Университета дружбы народов. – М.: Изд-во УДН, 1991.

9. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. Некоторые условия существования финально-знакопостоянных решений разностного уравнения высшего порядка: Тез. докладов ХХIХ научной конференции факультета физ.-мат. и естественных наук РУДН. Ч.2. – М.: Изд-во РУДН, 1993.

10. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. О решениях некоторых разностных уравнений: Тез. докладов ХХХI научной конференции факультета физ.-мат. и естественных наук РУДН. Ч.1. – М.: Изд-во РУДН, 1995.

11. Гайнуллин М.Н. Осцилляционные и асимптотические свойства решений разных уравнений третьего и четвёртого порядков. –Современные физико-математические проблемы в педагогических вузах. Материалы IV Уральской региональной научно-практической конференции. –Уфа: Издательство БГПУ, 2003.

12. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. Об осцилляционных свойствах уравнений высшего порядка в конечных разностях . Башгоспединститут. Уфа. 1986- 17 с. Библиогр. 9 назв.-Рус.-Деп. В ВИНИТИ 05.02.86.№864-В86.

13. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. О поведении решений разностного уравнения высшего порядка. //Проблемы математического образования в педагогических вузах на современном этапе: Материалы научно-практической конференции. –Екатеринбург: УрГПУ, 2000.

14. Громова Т.С., Шарифова Т.О. О колеблемости решений разностных уравнений //Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом при Университете дружбы народов им. П. Лумумбы. – М.: 1975. Т.9.

15. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. -Издательство «Наука». –Главная редакция физико-математической литературы. –Москва. -1967.

16. Кудинов А. Ф. Некоторые методы решений разностных уравнений 2-го порядка.//ПММ. Воронеж. 2009, №7, с. 63-68.

17. Леонтьев А.Ф. О некоторых решениях линейного разностного уравнения с линейными коэффициентами// Матем. сб. 1958. – Т.45. №3.

18. Матакаев А.И. Осциллируемость решений разностных уравнений//Докл.Адыг.(Черкес.)Междунар. акад. Наук.2001,5,№2 с.34-35.

19. Матакаев А.И. Осцилляция решений разностного уравнения первого порядка//Докл.Адыг.(Черкес.)Междунар. акад. Наук.2000,5,№1 с.13-14.

20. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. – Издательство «Наука». –Главная редакция физико-математической литературы. –Москва. -1986.

21. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Государственное издательство технико-теоретической литературы. –Москва.-Ленинград.-1951.

22. Скалкина М.А. О колебаниях решений уравнений в конечных разностях // Изв. вузов: Математика. 1959. №6

23. Тептин А.Л. О колебаниях решений линейного разностного уравнения второго порядка // Изв. вузов: Математика. 1963. №2.

24. Худжина И. В. Классификация знакопостоянных решений системы разностных уравнений и условия их отсутствия.// Актуальные проблемы современной науки. 2006. №3, с. 197-204.

25. Шарифова Т.О., Громова П.С. О колеблемости решений разностных уравнений //Тр. семинара по теории дифференц. уравнений с отклоняющимся аргументом Университета дружбы народов им. Патриса Лумумбы. – М.: 1975, - Т. 9.

26. Шевело В.Н. Осцилляция решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев, Наук. Думка, 1978.

27. Agarwal Ravi P., Wong Patricia J. On the oscillation of nonlinear difference equations second order //Math.Inegual.and Appl.-1998.-1, №3.-C.349-365.

28. Budincevic M. Oscillation of nonlinear neutral difference equations //Acad. Serbe scl. Et auts.-1997. - № 22.- C. 1-8.-Англ.

29. Cheng Sui, Lin Yi-Zhong Complete characteristic oscillation of neutral difference equations// J.Math.Anal.and Appl.-1998.-221, №1.-C.73-91.

30. Dai Binxiang, Tu Xiaojie Oscilliation for a class of nonlinear neutral difference equations//Hunan daxue xuebao. Zuran kexue ban=J.Hunan Univ.Natur.Sci.-1997.-24, №1.C/1-6.-Кит.

31. Graef J.R., Jaros J., Miciano A. Oscillation and not oscillation results of nonlinear difference equations // Proc.Pyn.Syst.and Appl.Vol.2.Proc.Second Int. Conf. Dyn. Syst. and Appl., Atlanta, Ga, May 24-27, 1995.-Atlanta (Ga),1996.-C.-199-206.

32. Jiang Jianchu, Li Xiaoping, Tang Xianhua. Новые критерии осцилляторности разностных уравнений первого порядка с запаздыванием. New oscillation criteria for first-order delay difference equations//Comput. and Math.Appl.2004,47,№12, с.1875-1884.

33. Liu Jindo, Liu Zhiguang, Li Xuechen. Oscillation first order with variable coefficient difference equations// Sluixue lilin yu yingyong-Math.-Theor. and Appl.-1999.-19,№1.-C.98-102.

34. Miroya Yoshiaki, Ishiwata Emiko.Stability for a class of difference equations.// J. Comput. and Appl. Math. 2009. №2, с. 561-570.

35. Parhi N. Осцилляция решения разностных уравнений первого порядка. Oscillations of first order difference equations.//Proc.Indian Acad. Sci. Math.Sci.2000,110,№2, c.147-155.

36. Popendia Jerzy On the oscillation of solutions of difference equations//Demonstr. Math.-1995.-28, №3.-C.575-586.-Англ.

37. Rath R. N., Padhy L.N. Необходимые и достаточные условия колеблемости решений нелинейного разностного уравнения первого порядка с несколькими запаздываниями. Necessary and sufficient conditions for oscilliation of solutions of a first order forced nonlinear difference equation with several delays//Facs.math.2005,№35, с.99-113.

38. Samir H. Cheng Sui Sun. Критерии осцилляции типа Каменева для нелинейных разностных уравнений. Kamenev type oscillation criteria for nonlinear difference equations.//Chehosl.Math.J.2004.54,№4,с.955-967.

39. Selvaraj B., Jafffer I., Mohammed Ali. Oscillation behavior of certain third order non-linear difference equations. Осциляционное поведение некоторых нелинейных разностных уравнений 3-го порядка. 2007.с. 142-147.

40. Shamanda Blazei .Oscillatory and asymptotic behaviour of higher order difference equations//Matematiche.-1997.-52, №1.-C.171-178.-Англ.

41. Shen Jianhua, Luo Zhiguo. О некотором критерии осцилляции для разностных уравнений. Some oscillation criteria for difference equations.//Comput.and Math.Appl.2000.40, №6-7, с.713-719.

42. Szafranski Zdzislaw, Szmanda Blazej. Theorem on the oscillation for some nonlinear difference equations// Appl.Math.and Comput.-1997.-83, №1.-C.43-52.

43. Yang Jun, Guan Xinping, Li Ronglu. Oscillatory and asymptotic behaviour of nonlinear difference equations of neutral type//J.Harbin Inst. Techn.-1999.-6, №1.-C.19-23.

44. Yang Jiashan. Колеблемость решений разностных уравнений с запаздыванием и с переменными коэффициентами. Oscillation of delay difference equations with variable coefficients.//Zhongnan minzu daxue xuebao. Ziran kexue ban.-J.South-Cent.Univ.Nat.Natur.Sci.2004.23,№4, с.91-93 библ.7;рез. англ.

45. Zhang B.G., Lian Fu Yun. Критерии осцилляции некоторых разностных уравнений с непрерывными коэффициентами. Oscillation criteria for certain difference equations with continuous variables.//Indian J.Pure and Application Math.2006.37,№6, с.325-341.Англ.

46. Zhang Yuzhu, Wang Guang. Oscillation and asymptotic behavior on nonlinear difference equation. – Shanxi daxue xuebao. Zizan Kexue ban // J.Shaxy Univ.Natur.Sci.Ed. 1993. 16. №2.