«Методика изучения необходимых и достаточных условий в математике»

Исходя из цели, были поставлены следующие задачи.

1. Упорядочить материал, касающийся понятия «необходимое и достаточное условие».

2. Разработать методику формирования понятия и изучения необходимых и достаточных условий.

3. Показать практическое применение разработанной методики.

4. Разработать элективные курсы для старшей школы в процессе изучения ряда тем, касающихся понятия «необходимое и достаточное условие».

В работе представлены конспекты уроков по изучению ряда теорем, являющихся методическими рекомендациями.

Объектом исследования является исследовательская деятельность учащихся на уроках и факультативных занятиях по математике.

Предметом исследования являются педагогические условия использования в исследовательской деятельности систем организационных форм, способствующих развитию у учащихся логики мышления.

Методы исследования

При выполнении работы использовались общенаучные методы исследова-ния, анализ, синтез, наблюдение, обобщение.

Педагогические методы - изучение опыта работы учителей, работа с научно-педагогической и научно-методической литературой.

Актуальность выбранной темы.

Логика – наука о законах и формах правильного мышления и поэтому современное преподавание, и обучение математике немыслимы без знания основ логики. Необходимо научить учащихся видеть логическую структуру математического утверждения, будь то определение или теорема. Очень важная педагогическая проблема состоит в том, чтобы решить, какие элементы логики освоить по ходу изучения школьного курса математики; в каком месте этого курса и в связи с каким материалом необходимо их изучать.

Современные тенденции по модернизации среднего образования направлены на создание в старшем звене школы классов различных профилей. Ряд вопросов учащиеся могут изучить с помощью курсов по выбору. Целью углубления является подготовка к дальнейшему обучению в естественно научной области, для чего необходимо решить задачу интеллектуального развития учащихся, в частности развитие логического мышления.

В новых школьных учебниках математики некоторые важные логические понятия выделены в отдельный пункт. Таким образом, «логическая составляющая» нового школьного курса математики в известной степени выявлена для учащихся, тогда как раньше логические понятия «растворялись» в собственно математическом содержании, что очень затрудняло их понимание и усвоение. [30]

Центральное понятие логики — логическое следование, составляющее основу математики как дедуктивной науки, пронизывает весь курс школьной математики, но специально рассматривается только в курсе алгебры VIII класса. Из многих аспектов этого понятия здесь рассматривается только один: следование между высказывательными формами с предметными переменными. Конкретно же речь идет, в основном, о предложениях с одной переменной, главным образом с числовой. Именно таков пример, подводящий к понятию «логическое следование»: «сумма цифр а делится на 9» и «число а кратно трем»; определение логического следования не формулируется. Опыт показал, что полезно дать учащимся следующее определение: «Если при всяком значении переменной х, обращающем предложение Р(х) в истинное вы-сказывание, предложение Q(x) также становится истинным высказыванием, то говорят, что из предложения Р(х) следует предложение Q(x)»

Целесообразность введения этого определения подсказана следующими соображениями: 1) знание учеником данного в учебнике определения равносильности через следование обесценивается, если он не .может объяснить, что значит «из первого предложения следует второе», т. е. дать соответствующее определение; 2) определение легко обобщить на предложения с более чем одной переменной; 3) следование для предложений с одной переменной допускает естественную и вполне корректную теоретико-множественную интерпретацию.

Теоретико-множественная трактовка (даваемая в учебнике только для равносильности) оказалась чрезвычайно полезной при изучении логического следования. Логическое следование является понятием отнюдь не легким для усвоения, во всяком случае, намного более трудным, чем равносильность. Непосредственное следствие из определения равносильно-сти предложений — их одновременная истинность, либо одновременная ложность — легко усматривается и уясняется учащимися; столь же непосредственные (логически) следствия из определения следования оказываются психологически далеко не очевидными. В этом легко убедиться, предложив учащимся такое, например упражнение: «Задайте множество значений переменной x так, чтобы на этом множестве из предложения «x четно» следовало предложение «x делится на 3».

В качестве элементов искомого множества учащиеся предлагают 6, 12,18 и т. д., т. е. числа, кратные 6; предложение учителя включить числа 1 и 3, как правило, отвергается. Убедить учащихся в правомерности такого включения, непосредственно следующего из определения, удается не сразу; им трудно примириться с допустимостью кажущихся парадок-сальными возможностей «ложь—ложь» и особенно «ложь — истина». Дело, по-видимому, в том, что ученики не осознают до конца условности оборота «если первое предложение истинно, то второе истинно» и ошибочно полагают, что в нем утверждается истинность первого предложения. Часто после того как учащихся путем анализа определения удается убедить в правомерности, включения числа 3, дающего сочетание «ложь-истина», они начинают думать, что можно включить и 2 или 4 (вообще четное число), не делая различия между сочетаниями «ложь — истина» и «истина — ложь», т. е. ошибочно наделяя отношение следования свойством симметричности.

Все описанные трудности осмысления понятия «логическое следование» снимаются, если перейти к его теоретико-множественной трактовке. В учебнике сказано: «Нетрудно понять, что равносильны те и только те уравнения или неравенства, множества решений которых совпадают». Как показал опыт, учащимся нетрудно понять, что из уравнения (неравенства) Р(х) следует уравнение (неравенство) Q(x) тогда и только тогда, когда множество решений Р(х) есть подмножество решений Q(x). Целесообразно в порядке обобщения понятий «множество решений уравнения (нера-венства)» ввести понятие «множество истинности предложения с перемен-ной», которое было воспринято учащимися вполне естественно, без затруднений. Это позволило бы говорить на теоретико-множественном языке о следовании и равносильности не только между уравнениями или неравенствами, но и между любыми предложениями с переменной (одной, и притом одной и той же). [29]

Уточнение в скобках существенно, так как для таких и только таких предложений наша трактовка следования и трактовка равносильности, вполне корректны. В самом деле, уравнения х = 1 и х+у-у=1 равносильны, но множества их решений не совпадают; множества решений неравенств х > 0 и у > 0 совпадают, но они не равносильны. Вообще говорить о множестве истинности предложения с несколькими переменными имеет смысл, только приняв дополнительное соглашение о фиксации для переменных некоторого порядка: пара (1 ;2) является решением уравнения х+2у = 5, если считать х первой переменной, а у— второй, и не является тем, если поменять порядок переменных. Но фиксация порядка переменных является ненужной, лишней для понятий следования и равно-сильности и тем самым снижает ценность их теоретико-множественной трактовки методического приема.

В примере, рассмотренном выше, учащиеся, составив множества истинности предложений «х четно» и «х делится на 3» на множестве {1,3, 5, 6,12} и убедившись, что первое множество {6,12}есть подмножество второго {3, 6,12}, легко освобождались от сомнений в правомерности включения в искомое множество чисел 1 и З. Очевидно, благодаря своей наглядности, несимметричность отношения «быть подмножеством» помогает учащимся уяснить и несимметричность отношения следования.

В ряде случаев, используя теоретико-множественную трактовку следования, ответ к задаче можно получить непосредственно из рисунка. Так, решая задачу «Следует ли первое неравенство из второго а < —2,5; а < —3,5», учащиеся изображают множества решений данных неравенств на координатной прямой и делают вывод: множество решений второго неравенства— подмножество множества решений первого неравенства; следовательно,(а<-3,5)=>(а < -2,5).

Практика показывает, что локальное изучение логических понятий без по-следующего их применения не дает заметного развивающего эффекта. Нужно стремиться использовать знания учащихся о следовании и равносильности всюду, где это целесообразно; в частности, приучать их записывать решения уравнений, неравенств, их систем и совокупностей в виде «логических цепочек». Такие записи чрезвычайно полезны. Они заставляют ученика задуматься над каждым шагом решения, с тем, чтобы квалифицировать его как равносильное преобразование или переход к следствию либо, установить, что ни то, ни другое не имеет места и требуются дополнительные условия. Ход мысли учащегося при такой записи представлен во всей полноте, и если им допущена ошибка, то учителю легко ее обнаружить и разъяснить. Приведем пример записи решения неравенства.

Особенно важно обратить внимание на последние звенья цепочки, в которых используется теоретико-множественный язык.

Перевод на теоретико-множественный язык, при всей его несомненной методологической и методической ценности, как всякий перевод, чреват неизбежными издержками. [29]

Издержки чисто методического порядка проявляются в получивших распространение ошибках, вызванных смешением логического и теоретико-множественного языков. Часто можно встретить такие записи:

х > 3 или х < 0  [-∞; 0 ] и [ 3, ∞ ].

Запись рассуждения в виде логической цепочки уменьшает возможность появления подобных ошибок. Приучая к таким записям, необходимо подчеркивать, что следование и равносильность— это отношения, определенные для предложений, т. е. знаки => и  имеют смысл только между двумя предложениями. [28]

Самое непосредственное отношение к логическому следованию и

равносильности имеет тема «Достаточные и необходимые условия», вклю-ченная в курс геометрии. Такой разрыв, на наш взгляд, неоправдан, поскольку в сущности это не различные понятия, а разные словесные выражения одних и те же понятий. В школьной, да и вузовской практике понятия «необходимое условие», «достаточное условие» приобрели прочную репутацию «злополучных». Трудности усвоения этих понятий вызваны, очевидно, тем, что в обыденной речи слова «необходимо», «достаточно» имеют оттенки, не присущие им, в математическом контексте, и это нужно учитывать в методике их введения и изучения.

Определение «Если из А следует В, то говорят, что А—достаточное условие В, а В — необходимое условие А» исключает двусмысленность в употреблении этих терминов, а систематические упражнения в переформулировках обеспечивают свободу обращения с ними.

Полезно дать учащимся или предложить им вывести самостоятельно развернутое правило для распознавания всевозможных попарных сочетаний необходимости, достаточности, не необходимости, недостаточности некоторого условия. Для того чтобы установить, является ли предложение А а) необходимым и достаточным; б) необходимым, но не достаточным; в) достаточным, но не необходимым; г) не достаточным и не необходимым условием В, нужно рассмотреть два утверждения: А=> В и В => А. Если верны оба утверждения, то А— необходимое и достаточное условие В. Если верно первое и неверно второе, то А— достаточное, но не необходимое условие В. Если неверно первое и верно второе, то А не-обходимое, но не достаточное условие В. Если неверны оба утверждения, то А — не достаточное и не необходимое условие В.

Это правило можно представить в виде легко обозримой таблицы:

A=>B A=>B

B=>A А – необходимое и дос-таточное условие В А – необходимое, но недостаточное условие В

B=>A А – достаточное, но не необходимое условие В А – не необходимое и не недостаточное усло-вие В

Полезно также составить и вывесить в кабинете математики «словарь» для перевода предложений вида «Из А следует В» и «А равносильно В» в соответственно равнозначные им предложения (и обратно), например:

Из А следует В А равносильно В

Если А, то В Если А, то В и если В, то А

А достаточное условие В А необходимое и достаточное

В необходимое условие А условие В

В тогда, когда А В достаточное и необходимое

А только тогда, когда В условие А

Если не В. то не А А тогда и только тогда, когда В

В тогда и только тогда, когда А

Если А, то В и если не А, то не В

Наряду с логическим следованием для выскаэывательных форм с предметными переменными учащиеся постоянно имеют дело с другим видом следования - так сказать, с «собственно логическим» следованием, т. е. с таким, которое обусловлено только логической формой (структурой) предложений. Об этом виде логического следования (будем называть его абсолютным) нигде в школьном курсе явно ничего не сказано; между тем сознательное применение учащимися абсолютного следования ввиду его общности и универсальности имело бы важное общеобразовательное значение и способствовало бы искоренению распространенных и устойчивых логических ошибок.