«Методика изучения колеблющихся решений разностных уравнений»

Об этом более подробно написано в работе [4], которая является основой для наших исследований. Кроме того, рассмотрены и другие работы.

Объект данного исследования. Объектом являются уравнения в конечных разностях и колеблемость решений этого уравнения.

Предмет изучения данной темы. Предметом являются условия колеблемости, асимптотические поведения уравнения и методика их изучения.

Цель данной работы. Целью является методика изучения понятия «Разностные уравнения», решения разностных уравнений и качественное исследование решения разностных уравнений.

Структура работы. В данной работе рассмотрена методика изучения колеблющихся свойств решений разностного уравнения

Настоящая работа состоит из введения по исследуемой теме, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе даётся понятие разностного уравнения, его решения, колеблемости его решений, рассматриваются однородные и неоднородные разностные уравнения.

Во второй главе проводится исследование колеблющихся свойств решений разностного уравнения пятого порядка.

=(0,+ ) – множество положительных действительных чисел.

=(- ,0] – множество неположительных действительных чисел.

=[0,+ ) – множество неотрицательных действительных чисел.

, , ,

Под понимается обобщённая степень:

…(x-k+1), где k Z.

Под понимается конечная разность:

где i N,

Под «разностным уравнением» будем понимать «уравнение в конечных разностях» (или то же самое «конечно разностное уравнение»).

Под решением разностного уравнения (или разностного уравнения высшего порядка) будем понимать решение, продолжаемое вправо. Исключаются из рассмотрения тривиальное решение и решения, слипающиеся с тривиальным.

Решение рассматриваемого уравнения (или разностного уравнения высшего порядка) назовём колеблющимся (осциллирующим), если оно меняет знак на [k, + ) В противном случае решение назовём неколеблющимся (неосциллирующим).

1.2 Уравнения в конечных разностях

Суммирование функций и уравнения в конечных разностях.

Задача суммирования заключается в следующем: функция задана для целых значений переменного некоторым аналитическим выражением, найти в конечном виде точно или приближенно сумму

Многие частные случаи этой задачи хорошо известны в анализе. Действительно, формулы

есть не что иное, как решение задачи суммирования для функций

Задача суммирования тесно связана с задачей решения уравнений в конечных разностях.

Сначала необходимо ввести понятие конечной разности.

Пусть функция определена для всех значений вида

Можно образовать некоторый аналог производной :

Это выражение равно тангенсу угла наклонна прямой, соединяющей точки .

Выражение мы будем обозначать и называть конечной разностью первого порядка функции в точке . Конечные разности первого порядка могут служить для образования конечных разностей второго порядка и т.д.:

Найти решение уравнения в конечных разностях можно следующим образом:

Дано соотношение

найти функцию , обращающую это уравнение в тождество.

Можно привести простейший пример уравнения в конечных разностях

где может принимать значение 0, 1, 2, …

Формально решением этого уравнения служит функция т.е. решение этого уравнения эквивалентно решению задачи о суммировании функции .

Соотношение

F [n; f(n), f(n),. , f(n)] = 0, (1.1)

где функция F задана, функция f — искомая, называется разностным уравнением с одной неизвестной функцией f притом порядка m, если соотношение (1.1) после замены приращений их выражениями через f явно содержит как f (n+ m), так и f (n).

Если уравнение (1.1) после упрощений не содержит f (n+ m),то его естественно считать порядка ниже m. Если же оно не содержит f (n), но содержит, скажем, f (n+ 1), то замена независимого переменного n + 1 на n приведет это уравнение к уравнению порядка m-1. Здесь лежит глубокая разница между уравнениями в конечных разностях и уравнениями дифференциальными, где замена независимого переменного порядка уравнения не понижает.

Приведем пример: рассмотрев разностное уравнение

2 f(n)+ 3 f(n)— f(n)= n,

при помощи формул

f(n) = f (n+ 1)- f(n)

f(n) = f (n+ 3)-3 f (n+ 2)+3 f (n+ 1)- f(n)

приведем его к следующему: 3 f (n+ 2)- f (n+ 3) = x и, заменяя x+2 на x, получим уравнение

3 f (n) - f (n+ 1) = n - 2

первого порядка. Соответственно этому и уравнение ( ) мы будем считать уравнением первого порядка.

Решением уравнения (1.1) называется такая функция f (n), которая обращает левую часть в нуль тождественно (т. е. для всех значений n).

Соотношение F [n; f(n), f(n),. , f(n)] = 0, если представить все f(n) через f(n),… f(n+k), может быть переписано в виде

Ф[n, f(n), …, f(n+k)] = 0. (1.1’)

Это соотношение связывает k + 1 значение нашей функции. Если это уравнение записать в форме

f (n+k)= [n, f(n), …, f(n+k-1)] , (1.1")

то задав начальные значения при n = n , f(n )= f , f(n +1)= f ,…, f(n +k-1)= f , получаем значение, f(n +k) и вообще f(n +n) = при любом целом n.

При этом достаточно считать Ф (n , y ,…,y ) функцией конечной и определенной при n=n +m, где m любое целое число, и y , пробегающих все значения.

Поэтому решение нашего уравнения запишем в виде

f(n) = P(n, f , f ,…, f )

т. е. оно зависит от k начальных значений f , f ,…, f .

Обратно, если у нас есть семейство функций

f(n) = P(C, C ,C , C ,…, C )

определенных на последовательности точек n=n +m, где т целое число, то, исключая из уравнений

f(n) = P(n, C ,…, C )

f(n+1) = P(n+1, C ,…, C )

…

f (n+k) = P(n+k, C ,…, C )

константы C ,C , …, C , мы получим разностное уравнение, вообще говоря, k-го порядка для f(n).

Также можно считать величины C ,C , …, C не константами, а произвольными периодическими функциями периода единица. Тогда по-прежнему эти функции можно исключить из системы. Если допустить, что n пробегает последовательность n +m, то предположения, что C — постоянная или периодическая функция, эквивалентны.

6. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. Об осцилляционных свойствах уравнений высшего порядка в конечных разностях . Башгоспединститут. Уфа. 1986- 17 с. Библиогр. 9 назв.-Рус.-Деп. В ВИНИТИ 05.02.86.№864-В86.

7. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. О поведении решений разностного уравнения высшего порядка. //Проблемы математического образования в педагогических вузах на современном этапе: Материалы научно-практической конференции. –Екатеринбург: УрГПУ, 2000.

8. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. К теории осцилляции решений разностного уравнения II. – Численные методы в задачах математической физики //Сб.научн.тр. – М.: Изд-во УДН, 1985.

9. Гайнуллин М.Н. Осцилляционные свойства решений нелинейных уравнений высшего порядка. Алгебра и анализ: Тез. Докладов меңдународной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева. Ч. II. – Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1994.

10. Гайнуллин М. Н. Об осцилляции решений разностного уравнения высшего порядка: Тез. XXVII итоговой научно-теоретической конференции профессорско-преподавательского состава и студентов Башгоспединститута. – Уфа: Башгоспединститут, 1996.

11. Гайнуллин М.Н. О решениях разностного уравнения высшего порядка: Тез. докладовVII Четаевской конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» - Казань: Изд-во Казанского гос техн. ун-та, 1997.

12. Гайнуллин М.Н., Закиров Ф.К. Некоторые вопросы осцилляции решений нелинейных разностных уравнений. Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы: Сб.научн тр. Ч. 1 Междунар. Научн. Конф. – Стерлитамак: 1998.

13. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. -Издательство «Наука». –Главная редакция физико-математической литературы. –Москва. -1967.

14. Громова Т.С., Шарифова Т. О колеблемости решений разностных уравнений //Тр. Семинара по теории дифференц.уравнений с отклоняющимся аргументом при Университете дружбы народов им. П. Лумумбы. – М.: 1975. Т.9.

15. Закиров Ф.К., Гайнуллин М.Н. Об осцилляционных свойствах решений разностного уравнения. Управление, надежность и навигация: Межвуз. сб. научн. Работ. – Саранск: Мордовский государственный ун-т, 1976. В.З.

16. Закиров Ф.К., Гайнуллин М.Н. Об осцилляции решений нелинейных разностных уравнений высшего порядка. Управление, надежность и навигация: Межвуз. сб. научн. Работ. – Саранск: Мордовский государственный ун-т, 1976. В.З.

17. Кудинов А. Ф. Некоторые методы решений разностных уравнений 2-го порядка.//ПММ. Воронеж. 2009, №7

18. Матакаев А.И. Осциллируемость решений разностных уравнений//Докл.Адыг.(Черкес.)Междунар. акад. Наук.2001,5,№2

19. Матакаев А.И. Осцилляция решений разностного уравнения первого порядка//Докл.Адыг.(Черкес.)Междунар. акад. Наук.2000,5,№1

20. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. – Издательство «Наука». –Главная редакция физико-математической литературы. –Москва. -1986.

21. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. Государственное издательство технико-теоретической литературы. –Москва.-Ленинград.-1951.

22. Худжина И. В. Классификация знакопостоянных решений системы разностных уравнений и условия их отсутствия.// Актуальные проблемы современной науки. 2006. №3

23. Шевело В.Н. Осцилляция решений дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Киев, Наук. Думка, 1978.

24. Agarwal Ravi P., Wong Patricia J. On the oscillation of nonlinear difference equations second order //Math.Inegual.and Appl.-1998.-1, №3.

25. Budincevic M. Oscillation of nonlinear neutral difference equations //Acad. Serbe scl. Et auts.-1997. - № 22.

26. Cheng Sui, Lin Yi-Zhong Complete characteristic oscillation of neutral difference equations// J.Math.Anal.and Appl.-1998.-221, №1.

27. Dai Binxiang, Tu Xiaojie Oscilliation for a class of nonlinear neutral difference equations//Hunan daxue xuebao. Zuran kexue ban=J.Hunan Univ.Natur.Sci.-1997.-24, №1.

28. Graef J.R., Jaros J., Miciano A. Oscillation and not oscillation results of nonlinear difference equations // Proc.Pyn.Syst.and Appl.Vol.2.Proc.Second Int. Conf. Dyn. Syst. and Appl., Atlanta, Ga, May 24-27, 1995.-Atlanta (Ga),1996.

29. Jiang Jianchu, Li Xiaoping, Tang Xianhua. Новые критерии осцилляторности разностных уравнений первого порядка с запаздыванием. New oscillation criteria for first-order delay difference equations//Comput. and Math.Appl.2004,47,№12

30. Liu Jindo, Liu Zhiguang, Li Xuechen. Oscillation first order with variable coefficient difference equations// Sluixue lilin yu yingyong-Math.-Theor. and Appl.-1999.-19,№1.

31. Miroya Yoshiaki, Ishiwata Emiko.Stability for a class of difference equations.// J. Comput. and Appl. Math. 2009. №2

32. Parhi N. Осцилляция решения разностных уравнений первого порядка. Oscillations of first order difference equations.//Proc.Indian Acad. Sci. Math.Sci.2000,110,№2

33. Popendia Jerzy On the oscillation of solutions of difference equations//Demonstr. Math.-1995.-28, №3.

34. Rath R. N., Padhy L.N. Необходимые и достаточные условия колеблемости решений нелинейного разностного уравнения первого порядка с несколькими запаздываниями. Necessary and sufficient conditions for oscilliation of solutions of a first order forced nonlinear difference equation with several delays//Facs.math.2005,№35

35. Samir H. Cheng Sui Sun. Критерии осцилляции типа Каменева для нелинейных разностных уравнений. Kamenev type oscillation criteria for nonlinear difference equations.//Chehosl.Math.J.2004.54,№4

36. Selvaraj B., Jafffer I., Mohammed Ali. Oscillation behavior of certain third order non-linear difference equations. Осциляционное поведение некоторых нелинейных разностных уравнений 3-го порядка. 2007.

37. Shamanda Blazei .Oscillatory and asymptotic behaviour of higher order difference equations//Matematiche.-1997.-52, №1.

38. Shen Jianhua, Luo Zhiguo. О некотором критерии осцилляции для разностных уравнений. Some oscillation criteria for difference equations.//Comput.and Math.Appl.2000.40, №6-7

39. Szafranski Zdzislaw, Szmanda Blazej. Theorem on the oscillation for some nonlinear difference equations// Appl.Math.and Comput.-1997.-83, №1.

40. Yang Jun, Guan Xinping, Li Ronglu. Oscillatory and asymptotic behaviour of nonlinear difference equations of neutral type//J.Harbin Inst. Techn.-1999.-6, №1.

41. Yang Jiashan. Колеблемость решений разностных уравнений с запаздыванием и с переменными коэффициентами. Oscillation of delay difference equations with variable coefficients.//Zhongnan minzu daxue xuebao. Ziran kexue ban.-J.South-Cent.Univ.Nat.Natur.Sci.2004.23,№4

42. Zhang B.G., Lian Fu Yun. Критерии осцилляции некоторых разностных уравнений с непрерывными коэффициентами. Oscillation criteria for certain difference equations with continuous variables.//Indian J.Pure and Application Math.2006.37,№6