«Программирование численных методов: решение нелинейных уравнений итерационным методом»

Задачи исследования:

- изучить теоретические основы итерационного метода решения нелинейных уравнений;

- составить блок-схема решения задачи;

- реализовать решение задачу средствами программирования;

- провести анализ точности метода.

Объект исследования: решения нелинейных уравнений.

Предмет исследования: итерационный метод решения нелинейных уравнений.

Научная разработанность проблемы. Новые вычислительные средства вызвали переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесообразности их реализации на ЭВМ и стимулировали создание более эффективных. В то же время приспособление какого-либо метода для работы на ЭВМ выдвинуло специфическую проблему «устойчивости вычислительной схемы».

Источниковая база исследования. При написании данной работы были проанализированы работы следующих ученых: Бахвалова Н.С., Березина И.С., Волкова Е.А., Жидкова Н.П., Жидкова Н.П., Житомирских В.Г., Заварыкина В.М., Кобелькова Г.М., Копченовой Н.В., Первушина В.Е., Пискунова Н.С., Ракитина В.И.

Практическая значимость исследования. Результаты исследования могут использоваться на практике при проведении математических и инженерных расчетов.

Данный проект разработан для вычисления нелинейных уравнений методом простых итераций. Программа написана на языке Delphi.

Пояснительная записка состоит из следующих разделов:

1 Теоретическая часть – теория описывающая правила вычисления корней нелинейного уравнения методом итераций, а также блок-схема метода.

2 Практическая реализация:

2.1 Проектирование интерфейса – создание и описание элементов (частей) из которых состоит данная программа.

2.2 Программирование вычисления – конечный результата работы.

2.3 Визуализация метода – последовательный показ работы проекта на вычисление корней уравнения методом итераций.

2.4 Вычислительный эксперимент – сравнение результатов программы с решением в математическом пакете EXCEL.

3 Заключение о проделанной работе.

Решение нелинейных уравнений распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень.

Первый способ отделения корней – графический. Исходя из уравнения (1), можно построить график функции . Тогда точка пересечения графика с осью абсцисс является приближенным значением корня. Если имеет сложный вид, то представим ее в виде разности двух функций . Так как , то выполняется равенство . Построим два графика , . Значение - приближенное значение корня (Рис.1), являющееся абсциссой точки пересечения двух графиков.

Пример 1. Пусть дано нелинейное уравнение вида . Решим его графическим методом. Для этого представим уравнение в виде , где

; .

Графики функций ; представлены на Рис.2, из которого видно, что исходное уравнение имеет единственный корень .

Пример 2. Пусть задано нелинейное уравнение вида или . Построив два графика функций и , видим, что исходное уравнение не имеет корней (Рис.3).

Пример 3. Для нелинейного уравнения вида с помощью аналогичных преобразований и построений получим, что исходное уравнение имеет несколько (три) корней (Рис.4).

Второй способ отделения корней нелинейных уравнений – аналитический. Процесс отделения корней нелинейных уравнений основывается на следующих теоремах.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и меняет на концах отрезка знак (т.е. ), то на содержится хотя бы один корень.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , выполняется условие вида и производная сохраняет знак на , то на отрезке имеется единственный корень.

Теорема 3. Если функция является многочленом степени и на концах отрезка меняет знак, то на имеется нечетное количество корней (если производная сохраняет знак на , то корень единственный). Если на концах отрезка функция не меняет знак, то уравнение (1) либо не имеет корней на , либо имеет четное количество корней.

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого необходимо вычислить критические точки , т.е. точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности . На каждом из них определяется знак производной , где . Затем выделяем те интервалы монотонности, на которых функция меняет знак. На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

Одним из методов уточнения корня на отрезке является метод половинного деления (метод дихотомии).

1.2 Метод простых итераций

Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду

(2)

Выберем произвольно приближенное значение корня и вычислим . Найденное значение подставим в правую часть соотношения (2) и вычислим . Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность . Если существует предел этой последовательности, то он и является корнем уравнения (2). В самом деле, пусть . Тогда, переходя к пределу в равенстве и учитывая непрерывность функции на отрезке , получим или .

Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле

(3)

Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема: пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения и выполняется условие