«Программирование численных методов: решение нелинейных уравнений итерационным методом» - Курсовая работа

Содержание

ВВЕДЕНИЕ 4

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. МЕТОД ИТЕРАЦИИ 6

1.1 Решение нелинейных уравнений 6

1.2 Метод простых итераций 9

1.3 Геометрическая интерпретация метода простых итераций 10

1.4 Приведение нелинейного уравнения к виду , допускающему сходящиеся итерации 10

1.5 Решение нелинейного уравнения методом итерации 13

2. АНАЛИЗ РЕАЛИЗАЦИИ МЕТОДА ИТЕРАЦИИ 16

2.1 Блок-схема решения задачи 16

2.2 Проектирование интерфейса 17

2.3 Программирование вычисления 20

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ 21

3.1 Визуализация метода 21

3.2 Вычислительный эксперимент 22

3.3 Листинг программы 26

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 34

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 35

---

Введение

Актуальность темы исследования. В связи с развитием новой вычислительной техники инженерная практика наших дней все чаще и чаще встречается с математическими задачами, точное решение которых получить весьма сложно или невозможно. В этих случаях обычно прибегают к тем или иным приближенным вычислениям. Вот почему приближенные и численные методы математического анализа получили за последние годы широкое развитие и приобрели исключительно важное значение. Все это показывает актуальность рассмотрения данной темы.

Цель исследования: реализовать итерационный метод решения нелинейных уравнений средствами программирования.

Задачи исследования:

- изучить теоретические основы итерационного метода решения нелинейных уравнений;

- составить блок-схема решения задачи;

- реализовать решение задачу средствами программирования;

- провести анализ точности метода.

Объект исследования: решения нелинейных уравнений.

Предмет исследования: итерационный метод решения нелинейных уравнений.

Научная разработанность проблемы. Новые вычислительные средства вызвали переоценку известных методов решения задач с точки зрения целесообразности их реализации на ЭВМ и стимулировали создание более эффективных. В то же время приспособление какого-либо метода для работы на ЭВМ выдвинуло специфическую проблему «устойчивости вычислительной схемы».

Источниковая база исследования. При написании данной работы были проанализированы работы следующих ученых: Бахвалова Н.С., Березина И.С., Волкова Е.А., Жидкова Н.П., Жидкова Н.П., Житомирских В.Г., Заварыкина В.М., Кобелькова Г.М., Копченовой Н.В., Первушина В.Е., Пискунова Н.С., Ракитина В.И.

Практическая значимость исследования. Результаты исследования могут использоваться на практике при проведении математических и инженерных расчетов.

Данный проект разработан для вычисления нелинейных уравнений методом простых итераций. Программа написана на языке Delphi.

Пояснительная записка состоит из следующих разделов:

1 Теоретическая часть – теория описывающая правила вычисления корней нелинейного уравнения методом итераций, а также блок-схема метода.

2 Практическая реализация:

2.1 Проектирование интерфейса – создание и описание элементов (частей) из которых состоит данная программа.

2.2 Программирование вычисления – конечный результата работы.

2.3 Визуализация метода – последовательный показ работы проекта на вычисление корней уравнения методом итераций.

2.4 Вычислительный эксперимент – сравнение результатов программы с решением в математическом пакете EXCEL.

3 Заключение о проделанной работе.

---

Выдержка из текста работы

1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ. МЕТОД ИТЕРАЦИИ

1.1 Решение нелинейных уравнений

Нелинейными уравнениями называются уравнения вида

. (1)

Здесь - нелинейная функция:

– нелинейная алгебраическая функция вида ;

– трансцендентные функции – тригонометрические, обратные тригонометрические, логарифмические, показательные и гиперболические функции;

– комбинирование этих функций .

Решением нелинейного уравнения (1) является такая точка , которая при подстановке в уравнение (1) обращает его в тождество. На практике не всегда удается подобрать такое решение. В этом случае, решение уравнения (1) находят с применением приближенных (численных) методов. Тогда решением нелинейного уравнения (1) будет являться такая точка , при подстановке которой в уравнение (1) последнее будет выполняться с определенной степенью точности, т.е. , где - малая величина. Нахождение таких решений и составляет основу численных методов и вычислительной математики.

Решение нелинейных уравнений распадается на два этапа: отделение корней уравнений и уточнение корней нелинейных уравнений.

На первом этапе необходимо исследовать уравнение и выяснить, имеются корни или нет. Если корни имеются, то сколько их, и затем определить интервалы, в каждом из которых находится единственный корень.

Первый способ отделения корней – графический. Исходя из уравнения (1), можно построить график функции . Тогда точка пересечения графика с осью абсцисс является приближенным значением корня. Если имеет сложный вид, то представим ее в виде разности двух функций . Так как , то выполняется равенство . Построим два графика , . Значение - приближенное значение корня (Рис.1), являющееся абсциссой точки пересечения двух графиков.

Пример 1. Пусть дано нелинейное уравнение вида . Решим его графическим методом. Для этого представим уравнение в виде , где

; .

Графики функций ; представлены на Рис.2, из которого видно, что исходное уравнение имеет единственный корень .

Пример 2. Пусть задано нелинейное уравнение вида или . Построив два графика функций и , видим, что исходное уравнение не имеет корней (Рис.3).

Пример 3. Для нелинейного уравнения вида с помощью аналогичных преобразований и построений получим, что исходное уравнение имеет несколько (три) корней (Рис.4).

Второй способ отделения корней нелинейных уравнений – аналитический. Процесс отделения корней нелинейных уравнений основывается на следующих теоремах.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и меняет на концах отрезка знак (т.е. ), то на содержится хотя бы один корень.

Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , выполняется условие вида и производная сохраняет знак на , то на отрезке имеется единственный корень.

Теорема 3. Если функция является многочленом степени и на концах отрезка меняет знак, то на имеется нечетное количество корней (если производная сохраняет знак на , то корень единственный). Если на концах отрезка функция не меняет знак, то уравнение (1) либо не имеет корней на , либо имеет четное количество корней.

При аналитическом методе исследований необходимо выявить интервалы монотонности функции . Для этого необходимо вычислить критические точки , т.е. точки, в которых первая производная равна нулю или не существует. Тогда вся числовая ось разбивается на интервалы монотонности . На каждом из них определяется знак производной , где . Затем выделяем те интервалы монотонности, на которых функция меняет знак. На каждом из этих интервалов для поиска корня используются методы уточнения корней.

Одним из методов уточнения корня на отрезке является метод половинного деления (метод дихотомии).

1.2 Метод простых итераций

Пусть известно, что нелинейное уравнение имеет на отрезке единственный вещественный корень . Требуется найти этот корень с заданной точностью. Применяя тождественные преобразования, приведем уравнение к виду

(2)

Выберем произвольно приближенное значение корня и вычислим . Найденное значение подставим в правую часть соотношения (2) и вычислим . Продолжая процесс вычислений дальше, получим числовую последовательность . Если существует предел этой последовательности, то он и является корнем уравнения (2). В самом деле, пусть . Тогда, переходя к пределу в равенстве и учитывая непрерывность функции на отрезке , получим или .

Корень можно вычислить с заданной точностью по итерационной формуле

(3)

Достаточное условие, при котором итерационный процесс сходится, определяет следующая теорема: пусть функция определена и дифференцируема на отрезке , причем все ее значения и выполняется условие

---

Заключение

Разработан проект по вычислению корней нелинейных уравнений методом итераций, в среде программирования Delphi.

Спроектирован интерфейс программы и написан программный код на языке высокого уровня.

Проведена визуализация метода.

Также произведен вычислительный эксперимент и сравнение результатов решения полученных в математическом пакете EXCEL и методом итераций. Корень уравнения, получаемый при решении уравнения методом итераций приблизительно сходится с точным решением, равным 2,846.

Результаты исследования могут использоваться на практике при проведении математических и инженерных расчетов.

Данный проект разработан для вычисления нелинейных уравнений методом простых итераций. Программа написана на языке Delphi.

---

Список литературы

1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. СПб – М. : Физматлит, 2001. – 630с.

2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. – Т.1. – М.: Наука. 1966. – 632с.

3. Бобровский С.И. Delphi7. Учебный курс. – СПб.: Питер, 2003. – 736 с.

4. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248с.

5. Дьяконов В.П. Справочник по алгоритмам и программам на языке бейсик для персональных ЭВМ. – М.: Наука, 1987.

6. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. – М.: Просвещение, 1991. – 175с.

7. Информатика. Базовый курс. 2-е издание/Под ред. С.В. Симоновича. – СПб.: Питер, 2005. – 640 с.

8. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. – М.: Наука, 1972. – 366с.

9. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. – М.: Наука, 1992. – 361с.

10. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учебник для втузов. В 2-х т. Т.1: - М.: Интеграл – Пресс, 2001. – 416 с.

11. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений. [Текст]. – М.: Высшая школа, 1998. – 384с.

12. Турчак Л.И. Основы численных методов. [Текст]. – М.: Наука, 1987. – 318с.

13. Фаронов В.В. Delphi. Программирование на языке высокого уровня. Учебник для вузов. – СПб.: Питер, 2003. – 640 с.

---

Примечания

Есть приложения. Авторская работа.

К работе прилагается все необходимое для сдачи.

К работе прилагается рабочая программа на языке программирования.