«Лабораторные работы по Численным методам. (БирГСПА) 1-8»

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Уточняем корень на отрезке [1;2].

Для уточнения используем метод половинного деления по схеме:

Составляем таблицу.

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 14

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Лабораторная работа № 2

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить один из корней уравнения методом итерации с точностью   0,001, указать число итераций.

3) Нарисовать схему применения метода итерации к данному корню уравнения.

Решение.

Отделим корень уравнения на графическим методом. Для этого

табулируем функцию.

Получаем 2 отрезка: [-2;-1] и [1;2].

Уточняем корень на отрезке [-2;-1] методом итерации.

a1 = -2 0 < -3.684942

-5.8185949

b1 = -1 0 <

При таком выборе функция удовлетворяет условию сходимости итерационной последовательности

Тогда получим следующее значение q  0.3670393 , условие остановки итерационной последовательности при выборе приближенного решения с погрешностью приближенного решения

Составляем таблицу.

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 9

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Уточняем корень на отрезке [1;2] методом итерации.

a1 = 1 0 < 3.684942

5.8185949

b1 = 2 0 <

При таком выборе функция удовлетворяет условию сходимости итерационной последовательности

Тогда получим следующее значение q  0.3670393 , условие остановки итерационной последовательности при выборе приближенного решения с погрешностью приближенного решения

Составляем таблицу.

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 9

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Уточняем корень на отрезке [1;2].

Для уточнения используем метод половинного деления по схеме:

Составляем таблицу.

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 14

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Лабораторная работа № 2

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить один из корней уравнения методом итерации с точностью   0,001, указать число итераций.

3) Нарисовать схему применения метода итерации к данному корню уравнения.

Решение.

Отделим корень уравнения на графическим методом. Для этого

табулируем функцию.

Получаем 2 отрезка: [-2;-1] и [1;2].

Уточняем корень на отрезке [-2;-1] методом итерации.

a1 = -2 0 < -3.684942

-5.8185949

b1 = -1 0 <

При таком выборе функция удовлетворяет условию сходимости итерационной последовательности

Тогда получим следующее значение q  0.3670393 , условие остановки итерационной последовательности при выборе приближенного решения с погрешностью приближенного решения

Составляем таблицу.

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 9

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Уточняем корень на отрезке [1;2] методом итерации.

a1 = 1 0 < 3.684942

5.8185949

b1 = 2 0 <

При таком выборе функция удовлетворяет условию сходимости итерационной последовательности

Тогда получим следующее значение q  0.3670393 , условие остановки итерационной последовательности при выборе приближенного решения с погрешностью приближенного решения

Составляем таблицу.

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 9

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Лабораторная работа № 3

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения методом хорд с точностью   0,0001 .

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

Решение.

Отделим корень уравнения на графическим методом. Для этого

табулируем функцию.

Получаем 2 отрезка: [-1;0] и [1;2].

Уточняем корень на отрезке [-1;0] методом хорд.

Приближенное решение и погрешность:

На отрезке [-1;0] больше 0 и

значит используем схему

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 4

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Уточняем корень на отрезке [1;2] методом хорд.

На отрезке [1;2] больше 0 и

значит используем схему

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 7

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Лабораторная работа № 4

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения методом касательных с точностью   0,0001 .

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

Решение.

Отделим корень уравнения на графическим методом. Для этого

табулируем функцию.

Получаем 2 отрезка: [-1;0] и [1;2].

Уточняем корень на отрезке [-1;0] методом касательных.

Приближенное решение и погрешность:

- всегда больше 0.

На отрезке [-1;0] -

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 4

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Уточняем корень на отрезке [1;2] методом касательных.

На отрезке [1;2] -

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 5

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Лабораторная работа № 5

Комбинированный метод хорд и касательных.

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения данным методом с точностью   0,0001 .

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

Решение.

Отделим корень уравнения на графическим методом. Для этого

табулируем функцию.

Получаем 2 отрезка: [-2;-1] и [1;2].

Уточняем корень на отрезке [-2;-1] комбинированным методом.

- меньше 0 при х меньше 5, то есть на обоих отрезках

Приближенное решение и погрешность:

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 6

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Уточняем корень на отрезке [1;2] комбинированным методом.

Приближенное решение

Погрешность

Число итераций 5

Следовательно, приближенное значение корня равно

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Лабораторная работа № 6

Задание:

1) Решить систему линейных уравнений методом итерации и методом Зейделя с точностью    0,5 103 ;

2) Найти погрешности полученных приближенных решений;

3) Сравнить полученные приближенные решения и их погрешности.

Решение.

Точное решение:

Определитель матрицы А = 52, значит решение единственное.

Приведем данную систему к виду , где

Реализуем итерации.

Решение:

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Найдем число верных знаков для

Получаем приближенное решение с числом верных знаков

Лабораторная работа № 7

Задание:

1) Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента с помощью интерполяционного полинома Лагранжа, если функция задана в не равноотстоящих узлах

2) Оценить погрешность полученного значения.

x y

1.0000 3.6788

1.1000 3.6616

1.2320 3.5938

1.4796 3.3694

1.9383 2.7901

1.9577 2.7639

2.0380 2.6553

Решение.

Составляем расчетную таблицу.

Оценим погрешность приближения с помощью выражения

Составляем расчетную таблицу.

Получаем решение:

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим до

Получаем решение

Лабораторная работа № 8

Задание:

1) Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента  с помощью соответствующего интерполяционного полинома Ньютона, если функция задана в равноотстоящих узлах;

2) Оценить погрешность полученного значения.

Решение.

Из расположения заданных точек на графике можно заключить, что искомая функция скорее всего монотонна на рассматриваемом отрезке, поэтому обратная задача имеет единственное решение.

Решим данную задачу, используя первую интерполяционную формулу Ньютона:

Расчетная таблица.

Округлим до

Получаем решение

Лабораторная работа № 8

Задание:

1) Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента  с помощью соответствующего интерполяционного полинома Ньютона, если функция задана в равноотстоящих узлах;

2) Оценить погрешность полученного значения.

Решение.

Из расположения заданных точек на графике можно заключить, что искомая функция скорее всего монотонна на рассматриваемом отрезке, поэтому обратная задача имеет единственное решение.

Решим данную задачу, используя первую интерполяционную формулу Ньютона:

Расчетная таблица.

9. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. -М.: Высшая школа, 1990.

10. Лапчик М.П. Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы: Уч. Пособие для ст. вузов. –М.: Изд. Центр «Академия», 2004. – 384 с.

11. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учебное пособие для вузов - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит, 1988. -550 с.

12. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач -М.: Наука, 1981. -400 с.

13. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1980. -536 с.

14. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. - 544 с.

15. Самарский А.А. Введение в численные методы. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука, 1997. - 239 с.

16. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

17. Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. – М.: Диалог-МИФИ, 1996 – 240 с.

18. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и их приложения. М.: Наука, 1972.

19. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. - М.: Наука, 1983.

20. Foley J.D., van Dam A., Feiner S.K., Hugues J.F. Computer graphics. Principles and practice. Addison-Wesley Pub. Com. 991.

21. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. М.: Высшая школа, 1990.

22. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Физ.-мат. лит. 1967.

23. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. 512 c.

24. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979. 312 c.

25. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1988. 332 c.

26. Олемской И. В. О численном методе интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Оптимальное управление в механических системах. Л., 1983. C.178-185.

27. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. Шк., 1994. – 544 с.

28. Латыпов И.И. Численные методы. Лабораторный практикум: Учебное пособие для студентов физико-математического факультета по основам численных методов. Книга 1.– Бирск: Бирск.гос.соц.-пед.акад., 2007. – 94 с.