«Лабораторные работы № 1-8 по Численным методам. (БирГСПА) excel»

корень погрешность Усл.ост.

2 3 2,5 -14,18594854 6,1776 -5,71944 - 0,5 нет

2,5 3 2,75 -5,719442882 6,1776 -0,07072 - 0,25 нет

2,75 3 2,875 -0,070719841 6,1776 2,996705 - 0,125 нет

2,75 2,875 2,8125 -0,070719841 2,996705 1,446466 - 0,0625 нет

2,75 2,8125 2,78125 -0,070719841 1,446466 0,683454 - 0,03125 нет

2,75 2,78125 2,765625 -0,070719841 0,683454 0,305226 - 0,015625 нет

2,75 2,765625 2,757813 -0,070719841 0,305226 0,116964 - 0,0078125 нет

2,75 2,757813 2,753906 -0,070719841 0,116964 0,023049 - 0,00390625 нет

2,75 2,753906 2,751953 -0,070719841 0,023049 -0,02385 - 0,001953125 нет

2,751953 2,753906 2,75293 -0,023853741 0,023049 -0,00041 - 0,000976563 нет

2,75293 2,753906 2,753418 -0,000406954 0,023049 0,01132 - 0,000488281 нет

2,75293 2,753418 2,753174 -0,000406954 0,01132 0,005456 - 0,000244141 нет

2,75293 2,753174 2,753052 -0,000406954 0,005456 0,002525 - 0,00012207 нет

2,75293 2,753052 2,752991 -0,000406954 0,002525 0,001059 2,752991 0,000061035 да

Приближенное решение 2,752991, погрешность 0,000061035, число итераций .

0,000061035 Округлим 2,753 0,000009+0,000061035=0,00007.

Ответ: 2,753 0,00007

14

корень погрешность Усл.ост.

-1 2 0,5 17,82942 -14,1859 -9,33851 - 1,5 нет

-1 0,5 -0,25 17,82942 -9,33851 5,010579 - 0,75 нет

-0,25 0,5 0,125 5,010579 -9,33851 -2,47787 - 0,375 нет

-0,25 0,125 -0,0625 5,010579 -2,47787 1,253093 - 0,1875 нет

-0,0625 0,125 0,03125 1,253093 -2,47787 -0,62392 - 0,09375 нет

-0,0625 0,03125 -0,01563 1,253093 -0,62392 0,312731 - 0,046875 нет

-0,01563 0,03125 0,007813 0,312731 -0,62392 -0,15619 - 0,0234375 нет

-0,01563 0,007813 -0,00391 0,312731 -0,15619 0,07814 - 0,01171875 нет

-0,00391 0,007813 0,001953 0,07814 -0,15619 -0,03906 - 0,005859375 нет

-0,00391 0,001953 -0,00098 0,07814 -0,03906 0,019532 - 0,002929688 нет

-0,00098 0,001953 0,000488 0,019532 -0,03906 -0,00977 - 0,001464844 нет

-0,00098 0,000488 -0,00024 0,019532 -0,00977 0,004883 - 0,000732422 нет

-0,00024 0,000488 0,000122 0,004883 -0,00977 -0,00244 - 0,000366211 нет

-0,00024 0,000122 -6,1E-05 0,004883 -0,00244 0,001221 - 0,00018311 нет

-6,1E-05 0,000122 3,05E-05 0,001221 -0,00244 -0,00061 0,00003052 0,00009155 да

Приближенное решение 0,00003052, погрешность 0,000061035, число итераций 15

0,00009155 Округлим 0,00003 0,0000006.

Ответ: 0,00003 0,0000006 15

Результаты в таблицу получим

a= 2

b= 3

X Условие остановки

итерации

2 -1 1 нет

2,04167 -0,61448 0,04167 нет

2,067275 -0,36706 0,025605353 нет

2,082571 -0,21539 0,015295453 нет

2,091546 -0,12503 0,008975391 нет

2,096756 -0,07212 0,005210116 нет

2,099761 -0,04144 0,003005102 нет

2,101488 -0,02376 0,00172682 нет

2,102478 -0,01361 0,000990138 да

Приближенное решение 2,102478, погрешность 0,00061035, число итераций 9

0,00061035 Округлим 2,102 0,00009+0,00061035=0,0007.

Ответ: 2,102 0,0007

9

Лабораторная работа № 3

Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод хорд.

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения методом хорд с точностью .

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

7

Решение задачи. Отделим корень уравнения на отрезке [-2; 1] графическим методом. Для этого табулируем функцию f(x)= на данном отрезке построим график.

Для формализации модели используем математические формулы.

уравнение прямой, проходящей через две точки, где x1 = a, x2 = в, y1 = f(a), y2 = f(в).

После математических преобразований уравнение примет вид .

Определим корень уравнения

fb x fx abs(x1-x2) проверка условия

1,2 -1,338028 -3,001132 0,071759 ---

1,2 -1,409787 -2,962267 0,000000 -1,410

1,2 -1,409787 -2,962267 0,000000 -1,410

1,2 -1,409787 -2,962267 0,000000 -1,410

1,2 -1,409787 -2,962267 0,000000 -1,410

1,2 -1,409787 -2,962267 1,409787 ---

Ответ: -1,409787

Лабораторная работа № 4

Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод касательных (Ньютона).

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения методом касательных с точностью .

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

7

Найдем корни уравнения:

Используем для этого Метод Ньютона.

Пусть корень ξ уравнения f(x)=0 отделен на отрезке [a,b]. Предположим мы нашли (n-1)-ое приближение корня xn-1. Тогда n-ое приближение xn мы можем получить следующим образом. Положим:

xn = xn-1 + hn-1

Раскладывая в ряд f(x=ξ) в точке xn-1, получим:

f(xn) = f(xn-1+hn-1) = f(xn-1) + f’(xn-1)hn-1=0

Отсюда следует:

hn-1 = -f(xn-1)df/dx(xn-1)

Подставим hn-1 в формулу, получим:

xn = xn-1 -f(xn-1)df/dx(xn-1)

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене дуги кривой y=f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.

Находим первую производную:

dF/dx = 3x2+4x-2e2x-1

Находим вторую производную:

d2F/dx2 = 6x+4-4e2x-1

Возьмем промежуток содержащий корень [-3; -2]

Решение нелинейного уравнения методом Ньютона в Excel

a -3 -3 -3

b -2 -2 -2

F(a) dF(a) dF2(a)

-9,00091 14,99818 -14,0036

F(b) dF(b) dF2(b)

-0,00674 3,986524 -14,027

x0 -3

x1 -2

N X F(X) dF(X) h = F(X) / F'(X)

1 -3 -9,00091 14,99818 -0,600133759

2 -2,39987 -2,306 7,672552 -0,300552035

3 -2,09931 -0,44321 4,813055 -0,092085743

4 -2,00723 -0,03576 4,044702 -0,008842301

5 -1,99839 -0,00031 3,973578 -7,92218E-05

6 -1,99831 -2,5E-08 3,972943 -6,33242E-09

7 -1,99831 -1,3E-16 3,972942 -3,1656E-17

8 -1,99831 -1,3E-16 3,972942 -3,1656E-17

9 -1,99831 -1,3E-16 3,972942 -3,1656E-17

10 -1,99831 -1,3E-16 3,972942 -3,1656E-17

Возьмем промежуток содержащий корень [-1; 0]

Решение нелинейного уравнения методом Ньютона в Excel

a -1 -1 -1

b 0 0 0

F(a) dF(a) dF2(a)

0,950213 -1,09957 -2,19915

F(b) dF(b) dF2(b)

-0,36788 -0,73576 -1,47152

x0 0

x1 -1

N X F(X) dF(X) h = F(X) / F'(X)

1 0 0,950213 -1,09957 -0,86416

2 0,864164 0,067286 1,553767 0,043305

3 0,82086 0,000981 1,505382 0,000652

4 0,820208 2,82E-07 1,504516 1,87E-07

5 0,820208 2,33E-14 1,504516 1,55E-14

6 0,820208 0 1,504516 0

7 0,820208 0 1,504516 0

8 0,820208 0 1,504516 0

9 0,820208 0 1,504516 0

10 0,820208 0 1,504516 0

Возьмем промежуток содержащий корень [0; 1]

Решение нелинейного уравнения методом Ньютона в Excel

a 0 0 0

b 1 1 1

F(a) dF(a) dF2(a)

-0,36788 -0,73576 2,528482

F(b) dF(b) dF2(b)

0,281718 1,563436 -3,87313

x0 1

x1 0

N X F(X) dF(X) h = F(X) /F'(X)

1 1 -0,36788 -0,73576 0,5

2 0,5 -0,375 0,75 -0,5

3 1 0,281718 1,563436 0,180192

4 0,819808 -0,0006 1,503982 -0,0004

5 0,820208 1,07E-07 1,504516 7,09E-08

6 0,820208 3,33E-15 1,504516 2,21E-15

7 0,820208 0 1,504516 0

8 0,820208 0 1,504516 0

9 0,820208 0 1,504516 0

10 0,820208 0 1,504516 0

Возьмем промежуток содержащий корень [1; 2]

Решение нелинейного уравнения методом Ньютона в Excel

a 1 1 1

b 2 2 2

F(a) dF(a) dF2(a)

0,281718 1,563436 -0,87313

F(b) dF(b) dF2(b)

-4,08554 -20,1711 -66,3421

x0 2

x1 1

N X F(X) dF(X) h = F(X) / F'(X)

1 2 0,281718 1,563436 0,180192

2 1,819808 -1,35776 -10,8013 0,125704

3 1,694105 -0,29192 -6,40155 0,045602

4 1,648503 -0,02933 -5,14202 0,005704

5 1,642799 -0,00042 -4,99556 8,38E-05

6 1,642715 -9E-08 -4,99343 1,79E-08

7 1,642715 0 -4,99343 0

8 1,642715 0 -4,99343 0

9 1,642715 0 -4,99343 0

10 1,642715 0 -4,99343 0

Ответ:

корень ξ1=-1,99831 3,1656*10-17

корень ξ2=0,820208 1,55*10-14

корень ξ3=0,820208 2,21*10-15

корень ξ4=1,642715 1,79*10-8

Лабораторная работа № 5

Тема: Решение нелинейных уравнений.

Комбинированный метод хорд и касательных.

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить корни уравнения данным методом с точностью .

3) Нарисовать схему применения метода к каждому корню уравнения.

7

Комбинированный метод: хорд и касательных.

f(X) = x3-5x2+x-3.2

fI(X) = 3x2-10x+1

f(4,5) < 0

f(5) >0

X* Є [4,5;5]

Хорд Косательных ε

Xo = 1,5 Xo = 2

n Xn n Xn

0 4,5 0 5

1 4,915294 1 4,930769 0,015475

2 4,928825 2 4,928837 1,19E-05

3 4,928835 3 4,928835 7,07E-12

X* = 4,928835

Ответ:

корень X1=-4,928835 7,07*10-12

Точное решение:

x1 = 1

x2 = 1

x3 = 0.5

Приведем данную систему к виду , где

Реализуем итерации.

x1 x2 x3 B

1 0 -1,4 0,3

-0,55556 1 0 0,444444

0 -0,7 1 -0,2

N x1 x2 x3 e1 e2 e3

1 0 0 0 0 0 0

2 0,3 0,444444 -0,2 0,3 0,444444 0,2

3 0,02 0,611111 0,111111 -0,28 0,166667 -0,08889

4 0,455556 0,455556 0,227778 0,435556 -0,15556 0,116667

5 0,618889 0,697531 0,118889 0,163333 0,241975 -0,10889

6 0,466444 0,788272 0,288272 -0,15244 0,090741 0,169383

7 0,70358 0,70358 0,35179 0,237136 -0,08469 0,063519

8 0,792506 0,835322 0,292506 0,088926 0,131742 -0,05928

9 0,709509 0,884726 0,384726 -0,083 0,049403 0,092219

10 0,838616 0,838616 0,419308 0,129107 -0,04611 0,034582

11 0,887031 0,910342 0,387031 0,048415 0,071726 -0,03228

12 0,841844 0,93724 0,43724 -0,04519 0,026897 0,050208

13 0,912135 0,912135 0,456068 0,070292 -0,0251 0,018828

14 0,938495 0,951186 0,438495 0,026359 0,039051 -0,01757

15 0,913893 0,96583 0,46583 -0,0246 0,014644 0,027336

16 0,952163 0,952163 0,476081 0,03827 -0,01367 0,010251

17 0,966514 0,973424 0,466514 0,014351 0,021261 -0,00957

18 0,953119 0,981397 0,481397 -0,01339 0,007973 0,014883

19 0,973955 0,973955 0,486978 0,020836 -0,00744 0,005581

20 0,981769 0,985531 0,481769 0,007813 0,011575 -0,00521

21 0,974476 0,989871 0,489871 -0,00729 0,004341 0,008103

22 0,98582 0,98582 0,49291 0,011344 -0,00405 0,003039

23 0,990074 0,992122 0,490074 0,004254 0,006302 -0,00284

24 0,986104 0,994486 0,494486 -0,00397 0,002363 0,004412

25 0,99228 0,99228 0,49614 0,006176 -0,00221 0,001654

26 0,994596 0,995711 0,494596 0,002316 0,003431 -0,00154

27 0,992434 0,996998 0,496998 -0,00216 0,001287 0,002402

28 0,995797 0,995797 0,497898 0,003363 -0,0012 0,000901

29 0,997058 0,997665 0,497058 0,001261 0,001868 -0,00084

30 0,995881 0,998365 0,498365 -0,00118 0,000701 0,001308

31 0,997712 0,997712 0,498856 0,001831 -0,00065 0,00049

32 0,998398 0,998729 0,498398 0,000687 0,001017 -0,00046

33 0,997757 0,99911 0,49911 -0,00064 0,000381 0,000712

34 0,998754 0,998754 0,499377 0,000997 -0,00036 0,000267

35 0,999128 0,999308 0,499128 0,000374 0,000554 -0,00025

36 0,998779 0,999515 0,499515 -0,00035 0,000208 0,000388

0,998779

0,999515

0,499515

Решение СЛАУ методом Зейделя

x1 x2 x3 B

-10 0 14 -3

5 -9 0 -4

0 -7 10 -2

N x1 x2 x3 e1 e2 e3

1 0 0 0 0 0 0

2 0,3 0,611111 0,227778 0,3 0,611111 0,227778

3 0,618889 0,788272 0,35179 0,318889 0,17716 0,124012

4 0,792506 0,884726 0,419308 0,173617 0,096454 0,067518

5 0,887031 0,93724 0,456068 0,094525 0,052514 0,03676

6 0,938495 0,96583 0,476081 0,051464 0,028591 0,020014

7 0,966514 0,981397 0,486978 0,028019 0,015566 0,010896

8 0,981769 0,989871 0,49291 0,015255 0,008475 0,005932

9 0,990074 0,994486 0,49614 0,008305 0,004614 0,00323

10 0,994596 0,996998 0,497898 0,004522 0,002512 0,001758

11 0,997058 0,998365 0,498856 0,002462 0,001368 0,000957

12 0,998398 0,99911 0,499377 0,00134 0,000745 0,000521

13 0,999128 0,999515 0,499661 0,00073 0,000405 0,000284

14 0,999525 0,999736 0,499815 0,000397 0,000221 0,000155

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

0,998779

0,999515

0,499515

Найдем число верных знаков

Лабораторная работа № 7

Тема: Интерполирование функции. Полином Лагранжа.

Задание:

1) Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента с помощью интерполяционного полинома Лагранжа, если функция задана в не равноотстоящих узлах; , ;

2) Оценить погрешность полученного значения.

x y

1.0000 0,9689

1.1000 1,0587

1.2320 1,1740

1.4796 1,3796

1.9383 1,7152

1.9577 1,7279

2.0380 1,7791

Решение.

Составляем расчетную таблицу

x 1,0000 1,1000 1,2320 1,4796 1,9383 1,9577 2,0380

y 0,9689 1,0587 1,174 1,3796 1,7152 1,7279 1,7791 ξ = 1,3000

ξ - хi 0,3000 0,2000 0,0680 -0,1796 -0,6383 -0,6577 -0,7380

xk - хi

1,0000 1,1000 1,2320 1,4796 1,9383 1,9577 2,0380

1,0000 1 0,1000 0,2320 0,4796 0,9383 0,9577 1,0380

1,1000 -0,1000 1 0,1320 0,3796 0,8383 0,8577 0,9380

1,2320 -0,2320 -0,1320 1 0,2476 0,7063 0,7257 0,8060

1,4796 -0,4796 -0,3796 -0,2476 1 0,4587 0,4781 0,5584

1,9383 -0,9383 -0,8383 -0,7063 -0,4587 1 0,0194 0,0997

1,9577 -0,9577 -0,8577 -0,7257 -0,4781 -0,0194 1 0,0803

2,0380 -1,0380 -0,9380 -0,8060 -0,5584 -0,0997 -0,0803 1

Pik=(ξ - хi)/(xk-xi) ПРik yiПРik

1,0000 1,0000 2,0000 0,2931 -0,3745 -0,6803 -0,6867 -0,7110 0,0729 0,0706

1,1000 -3,0000 1,0000 0,5152 -0,4731 -0,7614 -0,7668 -0,7868 -0,3359 -0,3556

1,2320 -1,2931 -1,5152 1,0000 -0,7254 -0,9037 -0,9063 -0,9156 1,0658 1,2512

1,4796 -0,6255 -0,5269 -0,2746 1,0000 -1,3915 -1,3757 -1,3216 0,2290 0,3159

1,9383 -0,3197 -0,2386 -0,0963 0,3915 1,0000 -33,902 -7,4022 -0,7216 -1,2377

1,9577 -0,3133 -0,2332 -0,0937 0,3757 32,9021 1,0000 -9,1905 0,7775 1,3434

2,0380 -0,2890 -0,2132 -0,0844 0,3216 6,4022 8,1905 1,0000 -0,0877 -0,1560

1,231915

1,231915

Оценим погрешность приближения с помощью выражения

Составляем расчетную таблицу.

y Δ1y Δ2y Δ3y Δ4y Δ5y Δ6y

0,9689 0,0898 0,0255 0,0648 -0,0251 -0,4675 1,7744

1,0587 0,1153 0,0903 0,0397 -0,4926 1,3069

1,174 0,2056 0,13 -0,4529 0,8143

1,3796 0,3356 -0,3229 0,3614

1,7152 0,0127 0,0385

1,7279 0,0512

1,7791

0,000227

(n+1)! 720

R = 0,0000006

Получаем решение:

1,231915

R =0,0000006

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Округлим 1,231915 до

Получаем решение

1,231915 0,0000006

Лабораторная работа № 8

Задание:

1) Найти приближенное значение функции при заданном значении аргумента  с помощью соответствующего интерполяционного полинома Ньютона, если функция задана в равноотстоящих узлах;

2) Оценить погрешность полученного значения.

x 1,0000 1,1500 1,3000 1,4500 1,6000 1,7500 1,9000

y 0,6664 0,4329 0,2406 0,0903 -0,0178 -0,0861 -0,1185

ξ = 1,5200

Решение.

Из расположения заданных точек на графике можно заключить, что искомая функция скорее всего монотонна на рассматриваемом отрезке, поэтому обратная задача имеет единственное решение.

Решим данную задачу, используя первую интерполяционную формулу Ньютона:

Таблица конечных разностей для интерполирования по формулам Ньютона

Табличные значения Конечные разности

x y Δy1 Δy2 Δy3 Δy4 Δy5 Δy6

1,00000 0,66640 -0,23350 0,04120 0,00080 -0,00060 -0,00200 0,00310

1,15000 0,43290 -0,19230 0,04200 0,00020 -0,00260 0,00110

1,30000 0,24060 -0,15030 0,04220 -0,00240 -0,00150

1,45000 0,09030 -0,10810 0,03980 -0,00390

1,60000 -0,01780 -0,06830 0,03590

1,75000 -0,08610 -0,03240

1,90000 -0,11850

Расчетная таблица.

h 1,4700 П(x-xi) n n! Δy П(h)

0,150 0,47 0,47 1 1 -0,23350 0,150000 -0,731633

0,150 0,32 0,1504 2 2 0,04120 0,022500 0,137700

0,150 0,17 0,025568 3 6 0,00080 0,003375 0,001010

0,150 0,02 0,0005114 4 24 -0,00060 0,000506 -0,000025

0,150 -0,13 -0,000066 5 120 -0,00200 0,000076 0,000015

0,150 -0,28 0,000019 6 720 0,00310 0,000011 0,000007

-0,592927 0,073473

0,073473

0,0000000017=1,7*10-9

9. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по вычислительной математике. -М.: Высшая школа, 1990.

10. Лапчик М.П. Рагулина М.И., Хеннер Е.К. Численные методы: Уч. Пособие для ст. вузов. –М.: Изд. Центр «Академия», 2004. – 384 с.

11. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач: Учебное пособие для вузов - 2-е изд., перераб. и доп. -М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит, 1988. -550 с.

12. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач -М.: Наука, 1981. -400 с.

13. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. – М.: Наука, 1980. -536 с.

14. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – М.: Наука, 1976. - 544 с.

15. Самарский А.А. Введение в численные методы. – 3-е изд., перераб. – М.: Наука, 1997. - 239 с.

16. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972.

17. Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. – М.: Диалог-МИФИ, 1996 – 240 с.

18. Альберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и их приложения. М.: Наука, 1972.

19. Де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. - М.: Наука, 1983.

20. Foley J.D., van Dam A., Feiner S.K., Hugues J.F. Computer graphics. Principles and practice. Addison-Wesley Pub. Com. 991.

21. Боглаев Ю.П. Вычислительная математика и программирование. М.: Высшая школа, 1990.

22. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. -М.: Физ.-мат. лит. 1967.

23. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи: Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. 512 c.

24. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под ред. Дж. Холла, Дж. Уатта. М.: Мир, 1979. 312 c.

25. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений.- М.: Мир, 1988. 332 c.

26. Олемской И. В. О численном методе интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Оптимальное управление в механических системах. Л., 1983. C.178-185.

27. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров: Учеб. пособие. – М.: Высш. Шк., 1994. – 544 с.

28. Латыпов И.И. Численные методы. Лабораторный практикум: Учебное пособие для студентов физико-математического факультета по основам численных методов. Книга 1.– Бирск: Бирск.гос.соц.-пед.акад., 2007. – 94 с.