«Оценки решения одной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка»

В данной работе в области рассматривается краевая задача:

(1)

с граничным условием:

(2)

где функция , , , и имеет оценку:

(3)

для некоторого  > 0, достаточно большого N и y стремящегося к нулю на бесконечности.

Уравнение (1) возникает при исследовании явления массообмена между частицей (каплей) и потоком жидкости в случае, когда вещество, диффундирующее от поверхности частицы, испытывает в потоке химическое превращение.

Цель данной работы - доказательство существования и единственности решения задачи (1), (2) и установление оценки решения. Основная трудность состоит в том, что краевая задача рассматривается в неограниченной области. Известные теоремы и предложения доказаны для ограниченных областей. В данной работе они используются, но показывается, решение краевой задачи (1), (2) существует и единственно в классе ограниченных функций, стремящихся к нулю при равномерно относительно y, в неограниченной области. Сам прием доказательства нестандартен. Используются принцип максимума, барьерные функции, методы оценок, компактность. В чем и состоит научная новизна и актуальность данной работы.

Первая глава носит вспомогательный характер. В ней изложены ряд понятий и предложений, которые используются при исследовании задачи (1), (2). Во второй главе доказывается существование и единственность решения, а так же делается оценка решения задачи (1), (2).

.

Будем пользоваться следующими обозначениями для производных:

, .

Аналогично записываются уравнения и для большего числа независимых переменных.

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

, (1.1.1)

где являются функциями х и у.

Если коэффициенты зависят не только от х и у, а являются, подобно , функциями x, y, u, ux, ,, то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, иху, иуу, так относительно функции u(x,y) и её первых производных ux, :

, (1.1.2)

где - функции х и y. Если коэффициент уравнения (1.1.2) не зависит от х и у, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Уравнение называется однородным, если f (х, у) = 0 .

Если является частным решением уравнения

, (1.1.3)

то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения .

Если представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

, (1.1.4)

то функция удовлетворяет уравнению (1.1.3).

Уравнение (1.1.4) называется характеристическим для уравнения (1.1.1), а его интегралы — характеристиками.

Полагая , где есть общий интеграл уравнения (1.1.4), мы обращаем в нуль коэффициент при . Если является другим общим интегралом уравнения (1.1.4), не зависимом от , то пологая , мы обратим в нуль также и коэффициент при .

Уравнение (1.1.4) распадается на 2 уравнения:

, (1.1.5)

. (1.1.6)

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

.

Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением:

гиперболического типа, если в точке М ,

эллиптического типа, если в точке М ,

параболического типа, если в точке М .

Эта терминология заимствована из теории кривых 2-го порядка.

1.2 Основные обозначения и термины. Класс функций . Определение непрерывности функций по Гельдеру

-n-мерное евклидово пространство; x=( ) – произвольная точка в нем; всюду n 2.

- ограниченная область в , то есть произвольно открытое связанное множество, содержащееся в каком-нибудь шаре большого радиуса.

S – граница . Иногда мы будем обозначать ее через .

- замыкание , так что .

.

.

Под символами и понимаем и соответственно. Иногда, желая подчеркнуть, что непрерывность u(x) не предполагается, будем писать и вместо и соответственно.

- класс (т - неотрицательное целое число) функций , имеющих частные производные до порядка m, непрерывные в G + Г.

- класс (т - неотрицательное целое число) функций и из таких, что их производные порядка т удовлетворяют в G + Г условию Гельдера с показателем  ([8], гл. IV, § 7, стр. 330).

Говорят, что функция g(x) удовлетворяет условию Гельдера с постоянной k и показателем , 0 << 1, на некотором множестве , если для любых двух точек х' и х" из этого множества:

, где .

1.3 Принцип максимума для эллиптических уравнений

Пусть коэффициент уравнения

(1.3.1)

и свободный член f(х,у) определены в ограниченной области  и принадлежат пространству . Уравнение (1.3.1) называется эллиптическим, если выполняется условие:

(1.3.2)

([9], гл. 3, стр. 145).

Принцип максимума. Если функция u(х) удовлетворяет условию М[u]0, где

и функция u(x) принимает максимальное значение во внутренней точке, то и= const ([8], гл. IV, § 2, стр. 324).

Следовательно, максимум любой функции u(х), непрерывной в G+ Г и удовлетворяющей условию М[u]0 в G, достигается на границе G ([8], гл. IV, §2, стр. 324).

Следствие. Пусть функция и(х) удовлетворяет в G уравнению:

. (1.3.3)

Если u(х) достигает внутри области положительного максимума, то и=const. Следовательно, если функция u(х) непрерывна в G+Г, неположительная на Г и удовлетворяет условию L[u]0 в G, то u0 в G.

Для доказательства этого следствия предположим, что u(х) имеет положительный максимум во внутренней точке Р. Поскольку функция u(х) непрерывна, то она положительна в некоторой окрестности точки Р, но в этой окрестности M[u=Lu + сu  0 , так как с  0 и поэтому, в силу принципа максимума, u = const. Таким образом, множество точек, где принимается максимум, открыто в G. С другой стороны, в силу непрерывности u(х), оно одновременно замкнуто в G и, следовательно, совпадает в G. Отсюда следует, что функция u(х) всюду в G равна некоторой положительной постоянной.

Из принципа максимума следует, что любая функция, удовлетворяющая в G условию М(u)0 , принимает максимальное значение в граничной точке.

Принцип максимума можно применять не только для доказательства единственности решения и уравнения (1.З.З.), (следовательно, и уравнения Lu= f ), принимающего заданные граничные значения u =  на границе Г области G , но и для оценки функции u .

Справедлива следующая лемма.

Лемма. Если функция g(x) удовлетворяет условиям в G и в Г, то в G.

Для доказательства достаточно показать, что функции и неположительные. Но это вытекает из следствия принципа максимума, так как функция v(x) удовлетворяет условию:

L[]=L[u] - L[g]=f - L[g]0

и так как на границе: (x) = (x) — g(x) О.

Аналогично доказывается, что:

- и(х)— g(x) 0.

Теперь мы построим такую функцию g(x), предполагая для удобства, что область G лежит в полупространстве . Мы будем считать, что существуют такие положительные постоянные т, b, что всюду в G выполняются неравенства:

.

Положим:

,

причём в G, а  - положительная постоянная, выбранная так, чтобы функция удовлетворяла постоянным условиям. Ясно, что g  max||. Кроме того, при достаточно больших :

.

Выбор  зависит только от т и b.

Таким образом, мы получили следующую априорную оценку.

Для решения u(x) уравнения (1.3.3), удовлетворяющего граничным условиям u=, справедлива оценка:

, (1.3.4)

где  - постоянная, зависящая только от т и b, а - постоянная, такая, что в G.

1.4 Теоремы существования решений для эллиптических уравнений

Рассмотрим квазилинейное уравнение:

. (1.4.1)

Имеют место следующие утверждения ([9], гл. 4,стр. 419- 427).

Теорема 1.1 Пусть u(х) есть обобщенное решение уравнения (1.4.1) из класса с

, .

Если уравнение (1.4.1) эллиптично на нем, т.е.

, >0, (1.4.2)

и если на множестве

функции дифференцируемы по всем своим аргументам, а , и частные производные по и ограничены какой-нибудь постоянной , то u(х) принадлежит классу с некоторым >0, причем  зависит лишь от , M1, M2, а нормы для зависят от тех же постоянных и расстояния до границы S. Если к тому же и , где то , причем  и , определяются постоянными , M1, M2, , q и границей S.

Если относительно а(х, и, р) предположить больше, именно, что а(х, и, р) на множестве принадлежит пространству , то решение u(x) будет принадлежать классу C2+().

Действительно, u(x) можно рассмотреть как решение линейного уравнения с коэффициентами , из . Это в свою очередь гарантирует принадлежность и к , и решение u(х) C2+().

Такими же рассуждениями выводится дальнейшее увеличение гладкости и(х) в  и в по мере увеличения гладкости функций и S. Сформулируем результат в виде теоремы.

Теорема 1.2. Пусть относительно u(х) и функций а(х, и, р), выполнены условии теоремы 1.1. Тогда, если дополнительно, то и(х) будет элементом C2+ при произвольных S и и при  и S C2+. Далее, если и , , то при произвольных S,  и при  и .

1.5 Критерий компактности

Множество М, расположенное в пространстве X , называется компактным, если всякая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность.

Компактное пространство называется так же компактом.

Функции из некоторого множества М называются равномерно ограниченными, если существует такая постоянная с, что для всех x(t)M при любом tD, и называют равностепенно непрерывными, если для любого  > 0 существует  > 0, зависящее только от , такое, что для любых t1 и t2 из D, удовлетворяющих неравенству (t1,t2)< и для любой функции x(t) из рассматриваемого множества имеет место:

.

Теорема Арцела. ([10], гл. V, стр. 236).

Для того, чтобы множество К C(D) было компактным, необходимо и достаточно, чтобы функции x(t)К были равномерно ограничены и равностепенно непрерывны.

1.6 Теорема Лагранжа о конечных приращениях

Данная теорема связывает приращение f(x+h,y+k)-f(x,y) с частными

производными и . При выводе формулы, выражающей эту теорему предполагается, что эти частные производные непрерывны. Применим теорему о среднем значении к функции одной переменной F(t) для интервала от 0 до t:

(θt)

где θ есть какое-то промежуточное число 0 и 1.

Подставив сюда выражение функции F(t) и ее производной (t) получим: .

Полагая здесь t=1 получим следующую формулу, выражающую терему о среднем значении для функции двух переменных:

Теорема. Приращение функции f(x,y) при переходе от точки P(x,y) к точке Q(x+h,y+k) равно полному дифференциалу функции в некоторой промежуточной точке прямолинейного отрезка PQ.

При определении промежуточных значений обеих переменных x и y как и в , так и в все четыре раза участвует одно и тоже значение θ(0<θ<1).

Одним из самых простых следствий данной теоремы является:

Теорема. Функция f(x,y), частные производные которой и в некоторой области всюду существуют и равны нулю, есть постоянная.

В самом деле при выполнении этих условий правая часть формулы, выражающей теорему о среднем значении, обращается в ноль; стало быть f(x+h,y+k)=f(x,y) при произвольных значениях h и k, так что функция имеет всюду в рассматриваемой области одно и тоже значение.

Обратно, если функция f(x,y) сводится к постоянной, то обе ее частные производные и всюду существуют и равны нулю.

Следовательно, обращение в нуль производных и является необходимым и достаточным условием постоянства функции f(x,y) в данной области.