«Решение краевой задачи для одного дифференциального уравнения эллиптического типа» - Дипломная работа

Содержание

Введение….….3

Глава I

Краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка

1.1 Классификация дифференциальных уравнений

второго порядка. Уравнения с двумя неизвестными…5

1.2 Класс функций . Определение непрерывности по Гельдеру…7

1.3 Принцип максимума для эллиптических уравнений….8

1.4 Теорема существования решения для эллиптических уравнений….10

1.5 Критерий компактности….11

Глава II

Оценки решения краевой задачи для одного эллиптического уравнения второго порядка

1.6 Постановка задачи….13

1.7 Существование и единственность решения краевой задачи….13

1.8 Уточнение оценки решения краевой задачи….19

Заключение….27

Список литературы….….28

Приложение….….29

Введение

Задача, связанная с исследованием дифференциального уравнения в частных производных в большинстве случаев включает в себя большое количество подзадач, для решения которых недостаточно просто использовать формулы и теоремы из учебника. Здесь необходимо провести самостоятельную работу, где отправным пунктом будут общие теоремы и свойства. Например, считается, что дифференциальные уравнения в частных производных эллиптического типа в ограниченной области являются практически изученными. Но стоит только вместо ограниченной области взять полуплоскость возникает большое количество, ранее не рассмотренных, задач.

В данной работе в полуплоскости D={(x,y), y > 1, x R}

исследуется краевая задача для уравнения эллиптического типа:

(1)

(2)

где a > 0 и функция имеет оценку

,

для некоторого δ > 0, достаточно большого N .

Уравнение (1) возникает при исследовании явления диффузии к поверхности осесимметрической капли при ее обтекании осесимметричным деформационным потоком вязкой несжимаемой жидкости с учетом объемной химической реакции в пограничном слое около критической точки, соответствующей точке стекания жидкости с капли.

Целью дипломной работы является доказательство существования решения задачи (1), (2) и нахождение оценки решения этой задачи. Единственность решения доказывается в классе ограниченных функций, стремящихся к нулю при , равномерно относительно y .

Такая задача возникает при построении полного асимптотического разложения решения краевой задачи для уравнения диффузии с учетом объемной химической реакции, когда число Пекле и число - постоянная скорости объемной химической реакции, стремятся к бесконечности. При этом предполагается, что число - постоянное.

В работе рассматривается краевая задача (1), (2) в неограниченной области, а общих теорем для решения таких задач найти в теории не удалось, поэтому была проведена самостоятельная работа по исследованию данной задачи. Что отражает актуальность и научную новизну дипломной работы.

Для доказательства существования решения используется теорема существования решения квазилинейных эллиптических дифференциальных уравнений в ограниченной области, а для получения оценок применяется принцип максимума и барьерные функции, а затем, используя теорему Арцеля, выделяется подпоследовательность, сходящаяся к решению задачи (1), (2) в полуплоскости D.

Работа состоит из двух глав.

Первая глава включает понятия и предложения, которые используются при исследовании задачи (1), (2).

Во второй главе доказывается существование и единственность решения задачи (1), (2) и найдены оценки решения этой задачи.

Выдержка из текста работы

Глава I

Краевые задачи для эллиптических дифференциальных уравнений второго порядка

1.1 Классификация уравнений с частными производными второго порядка. Дифференциальные уравнения с двумя неизвестными

Уравнением с частными производными 2-го порядка с двумя независимыми переменными х, у называются соотношения между неизвестной функцией и(х,у) и ее частными производными до 2-го порядка включительно:

F(X, у, и, их ,иу, uxx, иху ,иуу)=0

Будем пользоваться следующими обозначениями для производных:

Аналогично записываются уравнения и для большего числа независимых переменных.

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

(1.1.1)

где являются функциями х и у.

Если коэффициенты зависят не только от х и у, а являются, подобно , функциями x, y, u, ux, uy, то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, иху, иуу, так относительно функции u(x,y) и её первых производных ux,uy:

(1.1.2)

где - функции х и y. Если коэффициент уравнения (1.1.2) не зависит от х и у, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Уравнение называется однородным, если f (х, у) = 0 .

Если является частным решением уравнения

(1.1.3)

то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

Если представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения (1.1.4)

то функция удовлетворяет уравнению (1.1.3).

Уравнение (1.1.4) называется характеристическим для уравнения (1.1.1), а его интегралы — характеристиками.

Полагая , где есть общий интеграл уравнения (1.1.4), мы обращаем в нуль коэффициент при . Если является другим общим интегралом уравнения (1.1.4), не зависимом от , то пологая , мы обратим в нуль также и коэффициент при .

Уравнение (1.1.4) распадается на 2 уравнения:

(1.1.5)

(1.1.6)

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением

гиперболического типа, если в точке М ,

эллиптического типа, если в точке М ,

параболического типа, если в точке М .

Эта терминология заимствована из теории кривых 2-го порядка.

1.2 Класс функций . Определение непрерывности функций по Гельдеру

Говорят, что функция g(x) удовлетворяет условию Гельдера с постоянной k и показателем , 0

Заключение

В работе доказана теорема существования и единственности и получены оценки решения краевой задачи (2.1), (2.2) с использованием барьерных функций (2.17), (2.19). Интерес представляет дальнейшее исследование ассимптотики решения рассмотренной задачи на бесконечности. Задача в такой постановке в настоящей работе не рассматривалась. Исследованию аналогичных задач посвящены, например, работы [1], [2], [3].

Список литературы

Ахметов Р.Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного уравнения диффузии в полуплоскости // Дифференциальные уравнения. – 1983. – Т.19. – N 2. – С. 287-294.

2. Ахметов Р.Г. Асимптотика решения краевой задачи для одного эллиптического уравнения // Дифференциальные уравнения. – 1997. – Т.33. – N 11. – С. 1552-1554.

3. Ахметов Р.Г. Асимптотика решения задачи конвективной диффузии около сферы// ЖВМ и МФ – 1998. – Т.38. – N 5. – С. 801-806.

4. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. – М., Мир, 1996

5. Курант Рихард. Уравнения с частными производными. – М., Мир, 1974

6. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.- М. Наука, 1972.

7. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М., Наука, 1965

8. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М., Наука, 1983