«Решение краевых задач дифференциального уравне-ния второго порядка»

(1)

, (2) где имеет оценку:

(3)

при - достаточно большом.

Решение задачи (1), (2) ищется в классе ограниченных функций, стре-мящихся к нулю при , равномерно относительно .

Цель данной работы - доказательство существования и единственности решения задачи (1), (2) и нахождение более точных его оценок. Основная трудность состоит в том, что краевая задача рассматривается в неограниченной области.

Такая задача возникает при построении полного асимптотического разложения решения краевой задачи для уравнения диффузии, когда коэффициент диффузии мал. Она в теории эллиптических уравнений с частными производными не имеет конкретных методов и приемов решения. Известные теоремы и предложения доказаны для ограниченных областей. В данной работе они используются и показывается, что решение краевой задачи (1), (2) существует и единственно в классе ограниченных функций, которые стремятся к нулю при равномерно относительно , в неограниченной области. Сам прием доказательства нестандартен. Используются принцип максимума, барьерные функции, метод оценок, компактность. В чем и состоит научная новизна и актуальность данной работы.

В первой главе изложен ряд понятий и предложений, которые применяются при исследовании задачи (1), (2). Во второй главе сформулированы теоремы и подробно доказаны.

Задачи в близкой постановке исследовались в работах [1],[2],[3],[4],[5].

Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

, (1.1.1)

где являются функциями х и у.

Если коэффициенты зависят не только от х и у, а являются, подобно , функциями x, y, u, ux, , то такое уравнение называется квазилинейным.

Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных uxx, иху ,иуу, так относительно функции u(x,y) и её первых производных ux, :

(1.1.2)

где - функции х и y. Если коэффициенты уравнения (1.1.2) не зависят от х и у, то оно представляет собой линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Уравнение называется однородным, если f (х, у) = 0 .

Если является частным решением уравнения

, (1.1.3)

то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения .

Если представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференциального уравнения

, (1.1.4)

то функция удовлетворяет уравнению (1.1.3).

Уравнение (1.1.4) называется характеристическим для уравнения (1.1.1), а его интегралы — характеристиками.

Полагая , где есть общий интеграл уравнения (1.1.4), мы обращаем в нуль коэффициент при . Если является другим общим интегралом уравнения (1.1.4), не зависимом от , то пологая , мы обратим в нуль также и коэффициент при .

Уравнение (1.1.4) распадается на 2 уравнения:

(1.1.5)

(1.1.6)

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения

.

Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением:

гиперболического типа, если в точке М ,

эллиптического типа, если в точке М ,

параболического типа, если в точке М .

Эта терминология заимствована из теории кривых 2-го порядка.

1.2 Основные обозначения и термины.

Класс функций . Определение непрерывности функций по Гёльдеру.

-n-мерное евклидово пространство; x=( ) – произвольная точка в нем; всюду n 2.

- ограниченная область в , то есть произвольно открытое связанное множество, содержащееся в каком-нибудь шаре большого радиуса.

S – граница . Иногда мы будем обозначать ее через .

- замыкание , так что .

.

.

Под символами и понимаем и соответ-ственно. Иногда, желая подчеркнуть, что непрерывность u(x) не предполагается, будем писать и вместо и соответственно.

- класс (т - неотрицательное целое число) функций , имеющих частные производные до порядка m, непрерывные в G + Г.

- класс (т - неотрицательное целое число) функций и из та-ких, что их производные порядка т удовлетворяют в G + Г условию Гёльдера с показателем  ([8], гл. IV, § 7, стр. 330).

Говорят, что функция g(x) удовлетворяет условию Гёльдера с постоянной k и показателем , 0 << 1, на некотором множестве , если для любых двух точек х' и х" из этого множества:

, где .

1.3 Принцип максимума для эллиптических уравнений.

Пусть коэффициент уравнения

(1.3.1)

и свободный член f(х,у) определены в ограниченной области  и принадлежат пространству . Уравнение (1.3.1) называется эллиптическим, если выполняется условие:

(1.3.2)

([9], гл. 3, стр. 145).

Принцип максимума: Если функция u(х) удовлетворяет условию М[u]0, где

и функция u(x) принимает максимальное значение во внутренней точке, то и= const ([8], гл. IV, § 2, стр. 324).

Следовательно, максимум любой функции u(х), непрерывной в G+ Г и удовлетворяющей условию М[u]0 в G, достигается на границе G ([8], гл. IV, §2, стр. 324).

Следствие. Пусть функция и(х) удовлетворяет в G уравнению:

. (1.3.3)

Если u(х) достигает внутри области положительного максимума, то и=const. Следовательно, если функция u(х) непрерывна в G+Г, неположительная на Г и удовлетворяет условию L[u]0 в G, то u 0 в G.

Для доказательства этого следствия предположим, что u(х) имеет по-ложительный максимум во внутренней точке Р. Поскольку функция u(х) непрерывна, то она положительна в некоторой окрестности точки Р, но в этой окрестности M[u=Lu + сu  0 , так как с  0 и поэтому, в силу принципа максимума, u = const. Таким образом, множество точек, где принимается максимум, открыто в G. С другой стороны, в силу непрерывности u(х), оно одновременно замкнуто в G и, следовательно, совпадает в G. Отсюда следует, что функция u(х) всюду в G равна некоторой положительной постоянной.

Из принципа максимума следует, что любая функция, удовлетворяю-щая в G условию М(u)0 , принимает максимальное значение в граничной точке.

Принцип максимума можно применять не только для доказательства единственности решения и уравнения (1.3.3), (следовательно, и уравнения Lu= f ), принимающего заданные граничные значения u =  на границе Г области G , но и для оценки функции u .

Справедлива следующая лемма.

Лемма. Если функция g удовлетворяет условиям в G и в Г, то в G.

Для доказательства достаточно показать, что функции и неположительные. Но это вытекает из следствия принципа максимума, так как функция v(x) удовлетворяет условию:

L[]=L[u] - L[g]=f - L[g]0

и так как на границе: (x) = (x) — g(x) 0.

Аналогично доказывается, что:

- и(х)— g(x) 0

Теперь мы построим такую функцию g(x), предполагая для удобства, что область G лежит в полупространстве . Мы будем считать, что существуют такие положительные постоянные т, b, что всюду в G выполняются неравенства:

.

Положим:

,

причём в G, а  - положительная постоянная, выбранная так, чтобы функция удовлетворяла постоянным условиям. Ясно, что g  max||. Кроме того, при достаточно больших :

Выбор  зависит только от т и b.

Таким образом, мы получили следующую априорную оценку.

Для решения уравнения (1.3.3), удовлетворяющего граничным условиям u=, справедлива оценка:

, (1.3.4)

где  - постоянная, зависящая только от т и b, а - постоянная, такая, что в G.