«Изучение линейчатых поверхностей»

Крупный сдвиг в этом направлении (как и вообще почти во всех отделах математики) был произведен работами знаменитого математика Л. Эйлера (1707-1783), члена петербургской академии наук. В 1760 г. он опубликовал работу, в которой были исследованы кривизны нормальных сечений поверхности в данной точке, были введены главные направления на поверхности и дана формула, носящая и сейчас его имя. Эйлер исследовал также развертывающиеся поверхности; при этом он впервые рассматривал криволинейные координаты на поверхности.

Понятие развертывающейся поверхности создал Эйлер. Затем он аналитически и геометрически показал, что касательные к каждой пространственной кривой всегда образуют развертывающуюся поверхность. [1]

Дальнейший вклад в развитие дифференциальной геометрии в конце XVIII и начале XIX века внесен школой Гаспара Монжа (1746-1818), крупного математика, инженера и деятеля французской буржуазной революции.

В течение почти полутораста лет, протекших с тех пор, как дифференциальная геометрия вообще, теория поверхностей в частности, получила цельное оформления в лекциях Г. Монжа, ее разработка и построение принимали существенно различный характер.

Монж последовательно ввел понятие семейства поверхностей, определяемого дифференциальным уравнением с частными производными.

Наряду с цилиндрическими и коническими поверхностями, поверхностями вращения, ввел также поверхности, возникающие при смещении некоторой поверхности вдоль данной пространственной кривой, лежащей на данной поверхности. Здесь впервые появилось в геометрической форме понятие характеристики как линии пересечения двух бесконечно близких поверхностей некоторого семейства.

Среди семейств поверхностей, определенных дифференциальными уравнениями второго порядка, на первом месте стоят линейчатые поверхности, описываемые прямой, движущейся параллельно фиксированной плоскости и скользящей по двум данным пространственным кривым.[2]

Дифференциальная геометрия изучает геометрические объекты (линии и поверхности), применяя методы математического анализа.

Дифференциальная геометрия рассматривает локальные свойства геометрического объекта, т.е. поведение кривой или поверхности в окрестности некоторой точки. [3]

Цель выпускной квалификационной работы: изучить теорию линейчатых поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве, собрать и систематизировать имеющиеся сведения по линейчатым поверхностям.

Данная выпускная квалификационная работа посвящена теории линейчатой геометрии, а именно рассматриваются линейчатые поверхности и основные понятия с ними связанные.

Данная дипломная работа состоит из 2 глав

c = c(x,y,z). (2)

Подставляя в уравнение семейства координаты точки огибающей и соответствующее ей значение параметра, получим тождественное равенство

F(x,y,z,c(x,y,z)) ≡ 0 (3)

Чтобы принять во внимание условие прикосновения огибающей и поверхностей семейства, рассмотрим некоторую кривую

= (t),

расположенную на огибающей.

Так как координаты точек этой кривой должны удовлетворять уравнению (3), то для них тоже будет иметь место тождественное равенство

F{x(t); y(t); z (t); c(t)}≡0.

Дифференцирование последнего соотношения приводит к новому тождеству

+ + + =0 (4)

Но касательный вектор огибающей должен быть одновременно и касательным вектором соответствующей поверхности семейства, условием чего является равенство

=Fx +Fy +Fz =0 (5)

выражающее перпендикулярность вектора и нормального вектора поверхности семейства. Сравнение (4) и (5) приводит к соотношению

=0

имеющему силу для всякой кривой на огибающей.

Так как эти кривые заведомо можно выбрать так, чтобы они соединяли точки различных поверхностей семейства, то последнее условие должно выполняться и при переменном с, то есть при

0

а это значит, что

0

Итак, координаты точек огибающей должны удовлетворять двум уравнениям

=0 (6,A)

0 (6,B)

исключая параметр с из этих уравнений, можно получить соотношение вида

=0,

которое будет уравнением огибающей, если она существует.

Если произвести исключение параметра с из уравнений (6) и рассмотреть поверхность, выражаемую уравнением (7), то она (так называемая дискриминантная поверхность семейства) еще не обязательно является огибающей. Для того чтобы выяснить, при каких условиях это действительно имеет место, следует привести особое исследование, повторяющее предыдущие рассуждения, но в обратном порядке.

Прежде всего, ясно, что каждая точка дискриминантной поверхности принадлежит одной из поверхностей семейства, гак как ее координаты удовлетворяют уравнению

=0

при некотором значении с.

Чтобы установить, сверх этого, факт прикосновения, нужно взять произвольную кривую, расположенную на дискриминантной поверхности, подставить ее координаты, заданные в функции параметра t, в уравнение (6,A). Дифференцируя так же, как в случае вывода формулы (4), получим условие

Fx +Fy +Fz +Fc =0,

однако в силу (6,В) последнее слагаемое отпадает, и мы снова приходим к условию

Fx +Fy +Fz =0.

Это условие выражает перпендикулярность касательного вектора дискриминантной поверхности к нормальному вектору поверхности семейства, если только не имеют место одновременные равенства

Fx =Fy =Fz=0,

а эти равенства определяют особую точку поверхности семейства.

Вывод: дискриминантная поверхность есть огибающая семейства, если она не состоит из особых точек поверхностей семейства. [4]

1.2.Характеристика семейства поверхностей.

Значение параметра с, вообще говоря, изменяется при перемещении точки по огибающей. Однако можно искать на огибающей такие особые геометрические места, в точках которых параметр семейства сохраняет постоянное значение.

При таком условии уравнения

F(x,y,z,c) = 0, (7,A)

Fс (x,y,z,с) = 0 , (7,B)

выражают две поверхности, а место общих точек этих поверхностей есть, вообще говоря, некоторая кривая, принадлежащая огибающей, причем всем точкам этой кривой соответствует одно и то же значение параметра с. Эта кривая называется характеристикой семейства. Так как все точки характеристики принадлежат в силу уравнения (7,А) также некоторой поверхности семейства, то характеристика есть линия, вдоль которой огибающая касается некоторой фиксированной поверхности семейства (рис.3).

К понятию характеристики можно прийти и из других соображений, которые во многих частных случаях облегчают исследование геометрической природы характеристик.

Предположим, что две поверхности семейства, соответствующие двум достаточно близким значениям параметра с и c+ с, пересекаются по некоторой линии. Координаты точек этой линии, очевидно, удовлетворяют уравнениям

F(x,y,z,c) = 0 (8)

и

F(x,y,z,c + c) = 0. (9)

Пользуясь теоремой Лагранжа, мы можем получить третье уравнение

Fc(x,y,z,c) = 0, (10)

где с1 есть значение параметра, заключенное между двумя данными.

Этому уравнению тоже удовлетворяют координаты точек рассматриваемой кривой. Предположим теперь, что c , т. е., что значения параметра, соответствующие обеим поверхностям семейства, неограниченно сближаются. В таком случае уравнение (10) перейдет в уравнение

Fc(x,y,z,c) = 0 (11)

и вместе с уравнением (8) определит предельное положение рассматриваемой линии. Сравнивая уравнения (8), (9) с уравнениями (9), приходим к следующему заключению. Предельное положение линии пересечения двух поверхностей семейства, соответствующих двум бесконечно близким значениям параметра, совпадает с его характеристикой. [4]

1.3.Ребро возврата.

Характеристики образуют на огибающей поверхности семейство линий, зависящее от одного параметра. Если это семейство имеет огибающую, то она называется ребром возврата данного семейства поверхностей.

Предположим, что рассматриваемое семейство поверхностей имеет ребро возврата, выражающееся уравнением

= (t),

Подставляя выражение координат точки этой кривой в уравнения (7) §1.2 мы обратим их в тождества, так как, по определению ребро возврата принадлежит огибающей.

Дифференцируя условие, полученное из (7,В), найдем

+ + + =0 (12)

Но касательный вектор ребра возврата должен совпадать в каждой его точке с касательным вектором соответствующей характеристики и должен поэтому быть перпендикулярен к нормальному вектору всякой поверхности, проходящей через эту характеристику. Но одна из таких поверхностей выражается уравнением (7, В)

Fc(x,y,z,c) = 0

и ее нормальный вектор Nc имеет координаты

Fcx,Fcy,Fcz.

Приняв во внимание условие перпендикулярности

c (13)

и заметив, что значение параметра с меняется при движении по ребру возврата, получим из соотношения (12)

Fcc=0

Таким образом, координаты точки ребра возврата должны удовлетворять трем уравнениям

F(x,y, z, с) = 0; Fc (х, у, z, с) = 0; Fcc (х, у, z, с) = 0. (14)

Разрешая эти уравнения относительно х, у, z, мы можем определить их в функции параметра с и получить, таким образом, параметрические уравнения ребра возврата

= (c),

если оно существует.

В этом случае соответственно значению с на каждой поверхности семейства найдется точка, принадлежащая ребру возврата. Эта точка называется характеристической точкой данного семейства поверхностей. [4]

Определение. Предел отношения кратчайшего расстояния между бесконечно близкими образующими к углу между ними называется параметром распределения поверхности .[4]

Задача. Вычислить параметр распределения для всех развертывающихся поверхностей:

а) для конуса

тогда

б) для поверхности касательных к ребру возврата – компланарны

тогда

в) для цилиндрических поверхностей , т.к.

Рассмотрим случай:

направляющая кривая совпадает со стрикционной линией поверхности.

Тогда единичный вектор нормали в стрикционной точке (то есть ):

но

тогда

причем

тогда

откуда

Таким образом, вектор нормали в любой точке образующей имеет вид

.

тогда

(59)

Но векторы и ортоганальны и имеют одинаковую абсолютную величину:

Найдем , где – угол между нормалями в точке стрикции и в точке с абсциссой .

Следовательно, .

Действительно,

, ,

,

тогда

откуда

тогда

2.5. Асимптотические линии линейчатой поверхности.

Определение: Линия, расположенная на поверхности, называется асимптотической, если касательная плоскость поверхности совпадает в каждой ее точке с соприкасающейся плоскостью этой линии.[4]

Введем следующие обозначения для выражения нормального вектора линейчатой поверхности

Продифференцируем

. (60)

Уравнение линейчатой поверхности

Продифференцируем

(61)

Умножим скалярно (60) на (61)

получим

откуда

тогда

Найдем вторую квадратичную форму поверхности:

Итак:

где A, B, C, D зависят только от .u.

Приравняв, получим, кроме семейства прямолинейных образующих , которые являются асимптотическими, дифференциальное уравнение второго семейства асимптотических линий:

или

тогда

Это уравнение типа Рикатти.[4]