«Задания школьной олимпиады по математике»

Задания школьной олимпиады по математике

1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь равна целому числу.

2. Решить уравнение .

3. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

4. Решить систему неравенств:

5. Делится ли на 61?

6. При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?

7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

Решения

1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь равна целому числу.

5. Делится ли на 61?

Решение. Разложить заданное число на множители. Тогда, получим

3. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

Решение. Проведем биссектрису AD. Тогда ∠1 = ∠2 = ∠3. В ADC AD = DC. Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y. Заметим, что ABD ~ ABC по двум углам (∠В – общий, ∠1 = ∠3).

Из подобия имеем: ,

или .

Для нахождения х и у получим систему уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, получим откуда , тогда значит АВ = 4см, ВС = 6см.

II способ. Указание: применить теорему синусов.

Ответ. AB = см, ВС = см.