«Задания школьной олимпиады по математике» - Задача/Задачи

Содержание

1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь равна целому числу.

2. Решить уравнение .

3. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

4. Решить систему неравенств:

5. Делится ли на 61?

6. При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?

7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

Введение

Задания школьной олимпиады по математике

1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь равна целому числу.

2. Решить уравнение .

3. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

4. Решить систему неравенств:

5. Делится ли на 61?

6. При каких значениях а разность корней уравнения равна 3?

7. Сумма десяти первых членов арифметической прогрессии равна 140, а произведение . Найти прогрессию, если она является возрастающей.

Решения

1. Найти все натуральные числа m, при которых дробь равна целому числу.

Решение. – целое число, если – целое, т.е. .

При , значит не выполняется.

При , значит не выполняется.

При , значит не выполняется.

При , значит выполняется.

Выдержка из текста работы

5. Делится ли на 61?

Решение. Разложить заданное число на множители. Тогда, получим

Заключение

3. Известно, что в ABC ∠A = 2∠C, сторона ВС на 2см больше стороны АВ, а АС = 5см. Найти АВ и ВС.

Решение. Проведем биссектрису AD. Тогда ∠1 = ∠2 = ∠3. В ADC AD = DC. Пусть АВ = х, AD = DC = y, тогда ВС = х + 2, BD = x + 2 – y. Заметим, что ABD ~ ABC по двум углам (∠В – общий, ∠1 = ∠3).

Из подобия имеем: ,

или .

Для нахождения х и у получим систему уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, получим откуда , тогда значит АВ = 4см, ВС = 6см.

II способ. Указание: применить теорему синусов.

Ответ. AB = см, ВС = см.

Примечания

Есть все решения!