«Методика изучения линейных отображений» - Дипломная работа

Содержание

ВВЕДЕНИЕ. 2

§1. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ. 4

1.1 Линейные отображения и операторы. 4

1.2 Ядро и образ линейного оператора. 8

1.3 Операции над линейными отображениями. 11

§2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ МАТРИЦАМИ 12

2.1 Матрица линейного оператора. 12

2.2 Связь между координатными столбцами векторов x и φ(x). 13

2.3 Ранг линейного оператора. 15

2.4 Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов. 16

2.5 Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов. 17

2.6 Алгебра линейных операторов векторного пространства. 18

2.7 Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры. 20

§3. ОБРАТИМЫЕ ОПЕРАТОРЫ. 22

3.1 Обратимые операторы. 22

3.2 Полная линейная группа. 23

§4. СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. 25

4.1 Собственные векторы и собственные значения. 25

4.2 Нахождение собственных векторов линейного оператора. 27

4.3 Характеристическое уравнение. 28

4.4 Линейные операторы с простым спектром. 30

4.5 Условия, при которых матрица линейного оператора подобна диагональной матрице. 32

ЗАКЛЮЧЕНИЕ. 34

ЛИТЕРАТУРА: 35

Введение

Линейные операторы ввиду своей доступности для изучения среди других операторов, действующих в линейных нормированных пространствах, находят большое применение в различных областях физики, механики и математики. Они представляют собой достаточно важный класс операторов, так как среди них можно найти операторы алгебры и анализа. Также во многих разделах математики применяют матрицу линейного оператора, приведенную в жордановой форме. Поэтому задачи нахождения матрицы линейного оператора, ее собственных значений и приведение данной матрицы к жордановой форме всегда остается актуальной [1].

Целями дипломной работы являются описание некоторых из линейных операторов, представление их в виде матриц, векторов и показать в каноническом виде.

Современное определение «линейный оператор» впервые дал Дж. Пеано [1] (для k=R). Оно было, однако, подготовлено предшествующим развитием математики, накопившей (начиная с линейной функции у=ах) огромное число примеров. В алгебре их неполный перечень включает линейные подстановки в системах линейных уравнений, умножение кватернионов и элементов грассмановой алгебры; в аналитической геометрии - преобразования координат; в анализе - дифференциальные и интегральные преобразования и интеграл Фурье.

Вплоть до начала XX века систематически изучались лишь линейные операторы между конечномерными пространствами над полями R и C. Первые «бесконечномерные» наблюдения, к тому же касающиеся общих полей, были сделаны О. Тёплицем [2]. Линейные операторы между бесконечномерными пространствами Е к F изучаются, как правило, в предположении их непрерывности относительно некоторых топологий. Непрерывные линейные операторы, действующие в различных классах топологических векторных пространств, в первую очередь банаховых и гильбертовых, – это основной объект изучения линейного функционального анализа [4].

Выдержка из текста работы

§1. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.

1.1 Линейные отображения и операторы.

Рассмотрим гомоморфизм векторных пространств; они называются также линейными отображениями.

Определение. Пусть U и V – векторные пространства над полем F. Отображение

называется линейным отображением или гомоморфизмом, если оно удовлетворяет условиям линейности, т. е. для любых и любого выполняются условия

Если линейное отображение U на V инъективно, то оно называется изоморфизмом или изоморфным отображением U на V.

Множество всех линейных отображений (гомоморфизмов) пространства U в пространство V будем обозначать Линейное отображение векторного пространства V в себя называется линейным оператором пространства V. Множество всех линейных операторов пространства V обозначается

Пусть φ - линейное отображение векторного пространства U на векторное пространство V. Тогда для любых векторов из U и любых скаляров

(1).

Доказательство проводится индукцией по m. Если m=1, то ввиду линейности отображения φ имеем Допустим, что предложение верно для m-1 векторов. Тогда, используя равенство

получаем

По индуктивному предположению,

Кроме того, Следовательно, выполняется равенство (1) [1].

Примеры. 1. Пусть V – векторное пространство. Отображение, ставящее в соответствие каждому вектору x из V этот же вектор, т. е. есть линейный оператор. Он называется тождественным или единичным оператором пространства [2].

2. Пусть V – векторное пространство над полем F и - фиксированный элемент поля. Отображение, ставящее в соответствие вектору x вектор, есть линейный оператор пространства V. Он называется оператором гомотетии с коэффициентом . Оператор гомотетии с коэффициентом называется нулевым оператором. Оператор гомотетии с коэффициентом есть тождественный оператор [3].

3. Пусть Любой элемент x из V однозначно представим в виде где и. Отображение, ставящее в соответствие вектору x его компоненту l в прямом слагаемом U, есть линейный оператор пространства V. Он называется оператором проектирования [4].

4. Пусть V – векторное пространство (над R) действительных функций одной переменной x, определенных и неограниченно дифференцируемых на множестве R действительных чисел. Оператор, ставящий в соответствие каждому элементу его производную , есть линейный оператор, так как удовлетворяет условиям линейности

для любых и любого Этот оператор называется оператором дифференцирования [4].

5. Пусть - арифметическое пространство n – мерных вектор – столбцов и A – фиксированная квадратная– матрица над полем F. Отображение пространства V в себя, ставящее в соответствие каждому вектору вектор AX, есть линейный оператор пространства V [2].

Теорема 1.1. Пусть U и V – векторные пространства над полем F, - базис пространства U и - произвольные векторы пространства V. Тогда существует единственное линейное отображение φ пространства U в пространство V, которое удовлетворяет условиям

(1).

Доказательство.

Любой вектор пространства U можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т. е. в виде Обозначим через φ отображение U в V, которое определяется равенством для любых из F.

Легко видеть, что отображение φ удовлетворяет условиям (1).

Отображение φ удовлетворяет условиям линейности. Действительно, если

то

Значит, в силу определения отображения

Предположим, что ψ - линейное отображение U в V, которое удовлетворяет условиям

Тогда для любого вектора пространства U имеем

[1].

Следствие 1.2. Пусть U и V – векторные пространства над полем F, - базис пространства U; φ и ψ - такие линейные отображения U в V, что для Тогда

Следствие 1.3. Пусть - базис векторного пространства V и - произвольные векторы этого пространства. Тогда существует единственный линейный оператор φ пространства V, который удовлетворяет условиям (1) [1].

Заключение

В соответствии с поставленными целями были описаны некоторые из линейных операторов. Рассматривалось представление их в виде матриц, векторов и показаны в каноническом виде [3].

После каждого параграфа приведены конкретные примеры.

Список литературы

1. Л.Я.Куликов Алгебра и теория чисел: Учебное пособие для педагогических институтов. – Москва.: Высшая школа, 1979 г.

2. Курс высшей математики и математической физики под редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова. – Москва.: Наука, 1974 г.

3. В.А.Ильин, Э.Г.Позняк Линейная алгебра. – Москва.: Наука, 1974г.

4. А.И.Кострикин Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры: Учебник для вузов. – 3-е изд. – М.: Физматлит, 2000 г.

5. В.А.Нечаев Задачник – практикум по алгебре. – Москва.: Просвещение, 1983 г.