«Методика изучения линейных отображений»

Целями дипломной работы являются описание некоторых из линейных операторов, представление их в виде матриц, векторов и показать в каноническом виде.

Современное определение «линейный оператор» впервые дал Дж. Пеано [1] (для k=R). Оно было, однако, подготовлено предшествующим развитием математики, накопившей (начиная с линейной функции у=ах) огромное число примеров. В алгебре их неполный перечень включает линейные подстановки в системах линейных уравнений, умножение кватернионов и элементов грассмановой алгебры; в аналитической геометрии - преобразования координат; в анализе - дифференциальные и интегральные преобразования и интеграл Фурье.

Вплоть до начала XX века систематически изучались лишь линейные операторы между конечномерными пространствами над полями R и C. Первые «бесконечномерные» наблюдения, к тому же касающиеся общих полей, были сделаны О. Тёплицем [2]. Линейные операторы между бесконечномерными пространствами Е к F изучаются, как правило, в предположении их непрерывности относительно некоторых топологий. Непрерывные линейные операторы, действующие в различных классах топологических векторных пространств, в первую очередь банаховых и гильбертовых, – это основной объект изучения линейного функционального анализа [4].

Пусть φ - линейное отображение векторного пространства U на векторное пространство V. Тогда для любых векторов из U и любых скаляров

(1).

Доказательство проводится индукцией по m. Если m=1, то ввиду линейности отображения φ имеем Допустим, что предложение верно для m-1 векторов. Тогда, используя равенство

получаем

По индуктивному предположению,

Кроме того, Следовательно, выполняется равенство (1) [1].

Примеры. 1. Пусть V – векторное пространство. Отображение, ставящее в соответствие каждому вектору x из V этот же вектор, т. е. есть линейный оператор. Он называется тождественным или единичным оператором пространства [2].

2. Пусть V – векторное пространство над полем F и - фиксированный элемент поля. Отображение, ставящее в соответствие вектору x вектор, есть линейный оператор пространства V. Он называется оператором гомотетии с коэффициентом . Оператор гомотетии с коэффициентом называется нулевым оператором. Оператор гомотетии с коэффициентом есть тождественный оператор [3].

3. Пусть Любой элемент x из V однозначно представим в виде где и. Отображение, ставящее в соответствие вектору x его компоненту l в прямом слагаемом U, есть линейный оператор пространства V. Он называется оператором проектирования [4].

4. Пусть V – векторное пространство (над R) действительных функций одной переменной x, определенных и неограниченно дифференцируемых на множестве R действительных чисел. Оператор, ставящий в соответствие каждому элементу его производную , есть линейный оператор, так как удовлетворяет условиям линейности

для любых и любого Этот оператор называется оператором дифференцирования [4].

5. Пусть - арифметическое пространство n – мерных вектор – столбцов и A – фиксированная квадратная– матрица над полем F. Отображение пространства V в себя, ставящее в соответствие каждому вектору вектор AX, есть линейный оператор пространства V [2].

Теорема 1.1. Пусть U и V – векторные пространства над полем F, - базис пространства U и - произвольные векторы пространства V. Тогда существует единственное линейное отображение φ пространства U в пространство V, которое удовлетворяет условиям

(1).

Доказательство.

Любой вектор пространства U можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов, т. е. в виде Обозначим через φ отображение U в V, которое определяется равенством для любых из F.

Легко видеть, что отображение φ удовлетворяет условиям (1).

Отображение φ удовлетворяет условиям линейности. Действительно, если

то

Значит, в силу определения отображения

Предположим, что ψ - линейное отображение U в V, которое удовлетворяет условиям

Тогда для любого вектора пространства U имеем

[1].

Следствие 1.2. Пусть U и V – векторные пространства над полем F, - базис пространства U; φ и ψ - такие линейные отображения U в V, что для Тогда

Следствие 1.3. Пусть - базис векторного пространства V и - произвольные векторы этого пространства. Тогда существует единственный линейный оператор φ пространства V, который удовлетворяет условиям (1) [1].