«Изучение кривых второго порядка с помощью инвариантов»

Во второй главе рассматриваются конкретные примеры приведения уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Рассматриваются кривые всех типов: эллиптического, гиперболического, параболического.

(2)

где p1, p2, q1, q2, α, β-постоянные, которые зависят от положения новой системы координат относительно старой и от размеров и направлений координатных векторов. То есть, (α, β) обозначают координаты нового начала О' относительно старой системы, а (p1, q1) и (p2, q2) – координаты новых координатных векторов. Частный случай: если обе системы – прямоугольные, одного и того же класса, причем новая система получается из старой путем переноса начала в точку (α, β) и поворота на угол φ, формулы (2) принимают вид

Если внести в полином (1) вместо x, y их выражения (2), то обратится в полином также второй степени относительно новых координат .

Этот полином обозначают через , а коэффициенты его - соответственно через , и т. д., так что

Новые коэффициенты ,…, будут, определенным образом зависеть от старых коэффициентов ,…, и от коэффициентов формул преобразования (2). Рассмотрим отдельно случай переноса начала координат без изменения координатных векторов и случай изменения координатных векторов без изменения начала, выясним выражения новых коэффициентов через старые.

1°. Перенос начала. В этом случае, если начало перенести в точку , старые координаты (x, y) связаны с новыми координатами ( ) уравнениями

, . (4)

Подставляя эти значения в полином (1) и пользуясь формулой

где – есть квадратичная форма, представляющая собой совокупность членов второго порядка в полиноме , получим:

. (5)

Можем сделать вывод о том, что при переносе начала координат в точку полином преобразуется следующим образом: коэффициенты членов второго измерения остаются без изменения. Коэффициенты при первых степенях новых переменных х' и у' равны соответственно значениям частных производных , полинома в точке (α,β); свободный член равен значению полинома в той же точке (α,β).

,

. Итак, определители равны.

2°. Изменение координатных векторов без изменения начала координат. В этом случае

(6)

Если подставить в полином эти выражения, то получим полином , . На основании однородности формул преобразования (6), члены второго измерения в полиноме ( ) произойдут исключительно от членов второго измерения в , члены первого измерения — от членов первого измерения, член нулевого измерения (свободный член) не изменится.

Таким образом, получим:

+ + (7)

(8)

В левую часть равенства (8) вместо х, у подставим их выражения (6). Так как оно обращается в тождество, получим выражения новых коэффициентов при членах второго измерения.

+ +

Раскрывая скобки в левой части и приравнивая коэффициенты при в обеих частях, получим

= ,

= , (9)

= +

Таким же образом получим выражения новых коэффициентов при членах первого измерения, при помощи формулы (8), которая дает

откуда (сравнивая коэффициенты):

(10)

В случае поворота осей прямоугольных координат, когда формулы преобразования имеют вид

то есть, когда

предыдущие формулы дают

(9a)

,

, (10a)

Таким образом, определители равны:

Это говорит о том, что не зависят от выбора системы координат, то есть являются инвариантами кривой второго порядка. Раз эти величины не зависят от выбора системы координат, значит они отвечают за геометрию самой кривой, то есть по ним можно определить вид кривой.

Если с помощью поворота системы координат на определить направление осей координат по главным направлениям кривой, то квадратная часть приведется к каноническому виду

; обозначим и получим квадратную часть в виде: .

Найдем инварианты:

, .

будут корнями уравнения (по теореме Виета).

(11) – характеристическое уравнение кривой второго порядка.

Таким образом, любое уравнение кривой второго порядка с помощью поворота системы координат всегда можно привести к виду

. (1)

Дальнейшее исследование кривой разбивается на два класса:

1) Центральные кривые (кривые, имеющие центр: эллипс, гипербола);

2) Параболические кривые.

1. Рассмотрим центральные кривые.

Наша задача поместить новую систему координат в центр кривой, тогда линейная часть уравнения (1) обратится в нуль.

С помощью переноса начало координат из точки переходит в точку по формулам:

(12)

Применем уравнение (12) к уравнению (1):

,

новый свободный член

, (13)

.

Если эта система имеет решение, то линейная часть уравнения кривой обращается в ноль.

Определитель системы (13) – для центрального случая этот определитель не равен нулю, то есть система (13) имеет единственное решение, другими словами,существует единственная точка с координатами , в которой линейная часть уравнения кривой обращается в нуль. Таким образом, приходим к уравнению:

. (14)

1) Пусть и имеют разные знаки, то есть , тогда

Разделим обе части уравнения на , получим каноническое уравнение гиперболы:

Найдем новый свободный член в уравнении (14):

,

Получаем уравнение: .

Пусть , тогда приходим к уравнению гиперболы. Если же , то:

– пара пересекающихся действительных прямых.

2) Пусть и имеют одинаковые знаки, то есть , тогда

.

а) и имеют разные знаки: эллипс:

б) и имеют одинаковые знаки: мнимый эллипс:

в) – пара комплексно-сопряженных пересекающихся прямых.

2. Рассмотрим параболический случай.

Если , то уравнение кривой:

Преобразование (12) мы здесь не применяем, так как парабола не имеет центра. Мы переносим новое начало в вершину параболы.

Возможны следующие варианты:

а) то есть : , (если начала координат выбирать в вершине параболы)

б) , то есть : ,

- действительные или мнимые корни уравнения, тогда уравнение запишется в виде: – пара параллельных или совпавших прямых (прямые совпадают, если корни совпадают). Составим таблицу.