«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу «Алгебра»»

Во второй главе рассматриваются векторы, операции над ними, произведения векторов, преобразования систем координат на плоскости.

В третьей главе рассматриваются различные уравнения прямой на плоскости.

Четвертая глава посвящается кривым второго порядка (эллипс, гипербола, парабола).

И в заключение, в пятой главе рассказывается о комплексных числах.

.

− квадратная матрица.

− составляют главную диагональ матрицы.

− вторая диагональ матрицы.

Квадратные матрицы бывают верхне треугольные и нижне треугольные.

− верхне треугольная матрица.

− нижне треугольная матрица.

Если в квадратной матрице все элементы, кроме главной диагонали равны 0, то такая матрица называется диагональной матрицей.

− диагональная матрица.

Е − квадратная диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны 1.

− единичная матрица.

1.1. Операции над матрицами.

1.1.1. Сложение матриц.

Матрица называется нулевой, если она целиком состоит из нулей. Обозначается О.

.

Замечание. Операция сложения матриц возможна только для матриц одинакового типа:

,

,

,

.

При сложении двух матриц складываются соответствующие элементы этих матриц.

Пример:

;

;

.

1.1.2. Вычитание матриц.

При вычитании двух матриц А-В соответствующие элементы вычитаются.

Пример:

;

;

.

1.1.3. Умножение матрицы на число.

Такая операция выполнима для любых матриц. При умножении матрицы А на число α все элементы матрицы А умножаются на это число.

α•А=С;

.

Свойства сложения и умножения матриц.

1) A, B, C − матрицы одинакового типа, тогда (А+В)+С=А+(В+С) − ассоциативность сложения.

2) А+В=В+А − коммутативность сложения матриц.

3) А+0=0+А=А в этом случае говорят, 0− нейтральный элемент

по сложению матрицы.

4) А+(−А)=0.

5) α(βА)= (αβ)А.

6) (α+β)А=αА+βА − дистрибутивность.

7) α(А+В)= αА+ αВ – дистрибутивность.

8) 1•А=А.

1.1.4. Умножение матриц.

Согласованные матрицы: две матрицы А и В называются согласованными, если количество столбцов первой матрицы совпадает с количеством строк второй матрицы.

A(m•к);

B(к•р).

При умножении двух матриц А•В=С мы получим матрицу С типа (m•р),

,

элементы которой, определяются по формуле: , т.е. элемент – это сумма произведений соответствующих элементов i-ой строки первой матрицы, на элементы j-ого столбца второй матрицы.

Пример:

;

;

;

.

Свойства умножения матриц:

1) –не коммутативно.

Если матрицы А и В согласованы, то это вовсе не означает, что матрицы В и А согласованы.

Если же А и В квадратные одного и того же порядка, то коммутативность так же не выполняется в общем случае (следует из определения умножения матриц).

Если же АВ=ВА (в частном случае), то матрицы называются перестановочными.

2) – дистрибутивность.

3) – дистрибутивность.

4) – ассоциативность умножения матриц.

5) .

6) .

Для квадратных матриц, Е − единичная матрица (нейтральный элемент по умножению).