«Математическое обеспечение курса «математика»» - Дипломная работа

Содержание

Введение 6

ГЛАВА 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 7

§1. Функции двух переменных 7

1.1 Основные понятия 7

§2. Предел функции 8

§3. Непрерывность функции двух переменных 10

§4. Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области 11

§5. Производные и дифференциал функции нескольких переменных 12

5.1. Частные производные первого порядка и их геометрическое истолкование 12

5.2. Частные производные высших порядков 14

5.3. Дифференцируемость и полный дифференциал функции 16

5.4. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям 18

5.5. Дифференциалы высших порядков 19

5.6. Производная сложной функции. Полная производная 20

5.7. Инвариантность формы полного дифференциала 22

5.8. Дифференцирование неявной функции 23

§6. Экстремум функции двух переменных 24

6. 1. Основные понятия 24

6.2. Необходимые и достаточные условия экстремума 25

6.3. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области 28

ГЛАВА2. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 31

§1 Двойной интеграл 31

1.1. Основные понятия и определения 31

1.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла 32

1.3. Основные свойства двойного интеграла 34

1.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах 36

1.5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах 39

1.6. Приложения двойного интеграла 42

1.6.1. Объем тела 42

1.6.2. Площадь плоской фигуры 42

1.6.3. Масса плоской фигуры 43

§2. Тройной интеграл 45

2.1 .Основные понятия 45

2.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах 47

2.3. Замена переменных в тройном интеграле. 49

2.4. Некоторые приложения тройного интеграла. Объем тела 52

2.4.1 Масса тела 52

2.4.2 Статистические моменты 52

2.4.3 Центр тяжести тела 53

2.4.4 Моменты инерции тела 53

ГЛАВА 3. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ 56

§1. Поверхностный интеграл I рода 56

1.1 Основные понятия 56

1.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода 58

1.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода 61

1.1.1 Площадь поверхности 61

1.1.2. Масса поверхности 62

1.1.3. Моменты, центр тяжести поверхности 63

§2. Поверхностный интеграл II рода 64

2.1. Основные понятия 64

2.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода 67

2.3. Формула Остроградского-Гаусса 71

2.4. Формула Стокса 74

2.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода 79

ГЛАВА 4. РЯДЫ ФУРЬЕ 81

§ 1. Определение. Постановка задачи 81

§ 2. Примеры разложения функций в ряды Фурье 85

§ 3. Одно замечание о разложении периодической функции в ряд 90

Фурье 90

§ 4. Ряды Фурье для четных и нечетных функций 93

§ 5. Ряд Фурье для функции с периодом 2l 94

§7. Интеграл Дирихле 98

§8. Сходимость ряда Фурье в данной точке 100

§9. Некоторые достаточные условия сходимости Ряда Фурье 102

§10. Ряд Фурье в комплексной форме 105

§ 11. Интеграл Фурье 106

§ 12. Интеграл Фурье в комплексной форме 111

Приложение 113

ГЛАВА 5.ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 121

§ 1. Преобразования Лапласа 121

1.1. Оригиналы и их изображения 121

1.2. Свойства преобразования Лапласа 125

Таблица оригиналов и изображений. 139

§2. Обратное преобразование Лапласа 141

2.1. Теоремы разложения 141

2.2. Формула Римана-Меллина 144

§ 3. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений с их систем 146

ПРИЛОЖЕНИЕ 151

Скалярные и векторные поля 151

§1. Скалярное поле. Поверхности уровня. Производная по направлению и градиент скалярного поля 151

§2. Векторное поле. Векторные линии 155

§3. Дивергенция и ротор векторного поля, их свойства 157

§4. Циркуляция векторного поля 160

§5. Поверхностный интеграл второго рода от вектор – функции. 164

Поток векторного поля 164

§6. Формула Остроградского 171

§7. Формула Стокса 174

§8. Дифференциальные операции первого порядка. Оператор Гамильтона. 176

§ 9. Дифференциальные операции второго порядка. Оператор Лапласа 179

§10. Запись основных дифференциальных операций теории поля в цилиндрических и сферических координатах 182

Заключение 186

ЛИТЕРАТУРА 187

Введение

Знания, приобретаемые студентом в результате изучения математики, играют важнейшую роль в процессе его обучения в высшем учебном заведении. Они необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области информационных технологий, педагогики, экономики и других областях. Математические методы широко используются для решения самых разнообразных задач техники, технологии, информационных систем, экономики и планирования, статистической деятельности. Поэтому студент не должен забывать, что и после окончания вуза он не раз столкнется с необходимостью применения математики в практической деятельности.

Учебные планы инженерных, педагогических, экономических, юридических специальностей, специальностей в области информационных технологий предусматривают изучение курса «Математика».

Объем и содержание этого курса определяются программами, утвержденными Министерством образования и науки Российской Федерации и не зависит от формы обучения (дневное, вечернее, заочное, дистанционное).

Данное учебно-методическое пособие соответствует учебной программе по курсу высшей математики студентов второго курса, обучающихся по направлению «Электроника и наноэлектроника»

Выдержка из текста работы

ГЛАВА 1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§1. Функции двух переменных

1.1 Основные понятия

Пусть D- множество упорядоченных пар чисел (x; y). Соответствие f, которое каждой паре чисел (х; у) D сопоставляет одно и только одно число z R, называется функцией двух переменных, определенной на множестве D со значениями в R, и записывается в виде z = f(x;y) или f:(z) →R, х и y называются независимыми переменными (аргументами), a z — зависимой переменной (функцией).

Множество D = D(f) называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых z в области определения, называется областью значения, обозначается E(f) или Е.

Примером функции двух переменных может служить площадь S прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество {(х; у)| х > 0, у > 0}.

Функцию z = f(x; y), где (x; y) D можно рассматривать как функцию точки М (x; y) координатной плоскости Оху. В частности, областью определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линия, ограничивающая область, называется границей области. Точки области, которые не лежат на границе, называются внутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой. Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается D. Примером замкнутой области является круг с окружностью.

Значение функции z = f (x; у) в точке M0 (x0; y0) обозначают z0 =f (x0; y0) или z0 = f(М0) и называют частным значением функции.

Функция двух независимых переменных допускает геометрическое истолкование. Каждой точке M0 (x0; y0) области D в системе координат Oxyz соответствует точка М (x0; y0; z0), где z0 = f (x0; y0) — аппликата точки М. Совокупность всех таких точек представляет собой некоторую поверхность, которая и будет геометрически изображать данную функцию z = f (x; y).

Например, функция имеет областью определения круг и изображается верхней полусферой с центром в точке O(0; 0; 0) и радиусом R =1 (см. рис. 1).

Рис.1

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей, аналитически, графиком. Будем пользоваться, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы.

§2. Предел функции

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично случаю функции одной переменной. Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству , называется δ - окрестностью точки М0 (x0; y0). Другими словами, δ - окрестность точки М0 — это все внутренние точки круга с центром М0 и радиусом δ (см. рис. 2).

Рис.2.

Пусть функция z = f (x; y) определена в некоторой окрестности точки М0 (x0; y0). Число А называется пределом функции z = f (x; y) при и (или при М(х; у) → М0 (x0; y0)), если для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех х ≠ x0 и у ≠ y0 и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Записывают:

или .

Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к М0 (число таких направлений бесконечно; для функции одной переменной х → x0 по двум направлениям: справа и слева)

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем.Для любого числа ε > 0, найдется такая δ - окрестность точки , что во всех ее точках М(x; y), отличных от М0, аппликаты соответствующих точек поверхности z = f(x; y) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на ε.

Пример 1. Найти предел

Решение. ( = ),

.

Ответ. 0

Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной. Значит справедливы утверждения: если функции f(M) и g(М) определены на множестве D и имеют в точке М0 этого множества пределы A и B соответственно, то и функции , f (М) • g(М), (g(М) ≠ 0) имеют в точке М0 пределы, равные соответственно А ± В, А • В, (В ≠ 0).

§3. Непрерывность функции двух переменных

Функция z = f(x; y) (или f(М)) называется непрерывной в точке если oна:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел ,

в) этот предел равен значению функции z в точке М0, т. е.

или .

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Если предел функции не существует в данной точке, то говорят, что в этой точке функция терпит разрыв. Точки разрыва могут образовывать целые линии разрыва.

Например, имеет точку разрыва при x=0, y=0, - .

Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции z = f (x; y) в точке. Обозначим , , . Величины x и y называются приращениями аргументов x и y, а z - полным приращением функции f (x; y) в точке .

Функция z = f (x; y) называется непрерывной в точке М0 (x0; y0) D, если выполняется равенство , т. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и y стремятся к нулю.

Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям — подобные теоремы имели место для функций одной переменной.

Заключение

Данное методическое пособие разработано в качестве обеспечения дисциплины « Математика», и адресовано студентам 2 курса, обучающихся по направлению «Электроника и наноэлектроника». Материал составлен в соответствии с требованиями, учитывающими особенности подготовки студентов по данному направлению, и рекомендуется для использования. Также пособие может применяться для самостоятельной подготовки студентов.

В работе, в качестве основных, были приведены следующие главы:

1) Функции нескольких переменных;

2) Двойные и тройные интегралы;

3) Поверхностные интегралы;

4) Ряды Фурье;

5) Элементы операционного исчисления;

Для лучшего усвоения материала в пособии вводятся основные понятия, приводится множество примеров, а также их решения, представлены теоремы и доказательства. В целях более глубокого изучения материала по дисциплине « Математика» можно использовать учебники.

В конце пособия есть список использованной и рекомендуемой литературы.

Список литературы

1. Акимов Г.П., Дятлов В.Н. Основы математического анализа.- М.:

Наука,1980.- 336 с.

2. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. Учебник для университетов и пед. вузов / под ред. В.А. Садовничего - М.: Высш. шк., 1999.- 695 с.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.- М.: Наука, 1969.- 440 с.

4. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного: Учебник для студентов вузов.- Ростов-на-Дону: Феникс, 1997.- 511 с.

5. Виноградова И.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу: В 2-х кн. Учебное пособие для студентов ун-тов и пед. вузов.- 2-е изд. Кн.2. - М.: Высш. шк., 2000- 712 с.

6. Давыдов Н.А. и др. Сборник задач по математическому анализу. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. инст.- М.: «Просвещение», 1973.

7. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.- М.: Наука, 1990.- 624 с.

8. Коровкин П.П. Математический анализ. В 2-х ч. Учебное пособие для физ.-мат. фак. пед. инст.- М.: «Просвещение», 1974.

9. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. В 3-х т.- М.: Высш. шк., 1988.

10. Никольский С.М. Курс математического анализа. В 2-х т. Учебник для физ. и мех.-мат. спец. вузов.- М.: Наука, 1990.

11. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учебник для втузов. В 2-х т. Т.2.- М.: Интеграл-Пресс, 2002.-544с.

12. Романовский П.И. Общий курс математического анализа в сжатом изложении.- М.: Физматгиз, 1962.- 331с.

13. Рудин У. Основы математического анализа.- М.: «Мир», 1966.- 320 с.

14. Уваренков И.М. и Маллер М.З. Курс математического анализа. В 2-х т.

15. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. В 2-х т. Т.2.- СПб.: Издательство «Лань», 2001.- 464 с.

16. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2-х т.-М.: Рольф «Айрис Пресс», 2001.

17. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах. –М.: Высшая школа, 1980.