«Методическое обеспечение лекционных занятий по курсу “Евклидово пространство” для студентов направления “Педагогическое образование”»

В данном методическом пособии уделено большое внимание профессиональной направленности, в частности, приложениям изучаемых методов к доказательству теорем и решению задач.

x^2/a^2 +y^2/b^2 =1

Рис.1

Если система координат выбрана произвольно (направление осей координат не совпадает с осями симметрии кривой, то уравнение кривой принимает общий вид (1)

Рис.2

Задача состоит в том, чтобы подобрать новую систему координат, оси, которой направлены по осям симметрии кривой (рис.2), а центр кривой совпадает с началом координат. И уже в новой системе координат уравнение кривой будет каноническим.

х^2/a^2 ±y^2/b^2 =1

y^2=2px

Зададим преобразование в системе координат в виде (2)(поворот на угол α):

{█(x=x^' cos∝-y^' sin∝@y^'=x^' sin∝+y^' cos∝)┤(2)

(2)→F(x,y)=a_11 (x^' cos∝-y^' sin∝)^2+2a_12 (x^' cos∝-y^' sin∝)(x^' sin∝+y^' cos∝)+a_22 (x'sin∝+y'cos∝)^2+2a_10 (x^' cos∝-y^' sin∝)+

+F(x^',y^' )=a_11 (x^('^2 ) 〖cos〗^2∝-2x^' y^' sin∝cos∝+y^('^2 )+2a_12 (x^('^2 ) sin∝cos∝+x^' y^' (〖cos〗^2∝-〖sin〗^2∝)-y^('^2 ) sin∝cos∝) )+a_22 (x^('^2 ) 〖sin〗^2∝+2x^' y^' sin∝cos∝+y^('^2 ) 〖cos〗^2∝+2a_10 (x^' cos∝-y^' sin∝)+〖2a〗_20 (x^' sin∝+y^' cos∝)+a_00=0

F(x^',y^' )=a_11^' x^('^2 )+2a_12^' x^' y^'+a_22^' y^('^2 )+2a_10^' x^'+2a^' y^'+a_00^'=0,

где

{█(〖a'〗_12=a_11 〖cos〗^2 α+2a_12 α cos⁡α+a_22 〖sin〗^2 α@〖a'〗_12=-a_11 sin⁡〖α cos⁡〖α+a_12 (〖cos〗^2 α-〖sin〗^2 α+a_22 sin⁡〖α cos⁡α 〗 〗 〗@〖a'〗_22=a_11 〖sin〗^2 α-2a_12 sin⁡〖α cos⁡α 〗+a_22 〖cos〗^2 α@〖a'〗_20=-a_10 sin⁡〖α+a_20 cos⁡α 〗@〖a'〗_00=a_00 )┤

Приведем квадратичную часть уравнения кривой к каноническому виду.Другими словами, подберем такой угол ∝, чтобы 〖a^'〗_12=0

a_12^'=-a_11 sin∝cos∝+a_12 (〖cos〗^∝∝-〖sin〗^2∝)+a_22 sin∝cos∝=0

〖-a〗_11 tg∝+a_12-a_12 〖tg〗^2∝+a_22 tg∝=0

k=tg∝

a_12 k^2+(a_22-a_11 )k+a_12= 0

k_1,2=(a_22-a_11+√((a_22-a_11 )^2+〖4a〗_12^2 ))/〖2a〗_12

Дискриминант

〖(a〗_22-a_11 )^2+〖4a〗_12^2>0,

∃ ∝,для которого 〖a'〗_12=0и уравнение кривой 2-го порядка примет вид:

γ^': 〖a'〗_11 x^('^2 )+〖a'〗_12 y^('^2 )+〖2a'〗_10 x^'+2〖a'〗_20+〖a'〗_00=0 (3)

Обозначим

〖a'〗_11=λ_1 〖a'〗_22=λ_2

Получим

γ^': λ_1 x^('^2 )+λ_2 y^12+〖2a^'〗_10 x^'+2〖a^'〗_20 y^'+a_00=0 (3^' )

Возможны следующие случаи:

Iλ_1 λ_2≠0 –центральныекривые

II λ_1 λ_2=0, одно из λ=0 – параболические кривые

Заметим, что оба λ одновременно не могут обращаться в нуль, т.к. квадратная часть обратится в нуль. Рассмотрим эти случаи подробно.

I Пусть〖 λ〗_1 λ_2≠0

Выберем новое начало системы координат, так чтобы линейная часть уравнения (3^' )обратилась в нуль.

{█(x^'=x^''+x_0@y^'=y^''+y_0 )┤(4)

Уравнение (4) подставляем в (3^' )

(3^' ) и (4)→ λ_1 (x^''+x_0 )^2+λ_2 (y^''+y_0 )^2+〖2a^'〗_10 (x^''+x_0 )+

+〖2a^'〗_20 (y^''+y_0 )=0

λ_1 (〖x^''〗^2+〖2a〗_0 x^''+x_0^2 )+λ_2 (〖y^''〗^2+〖2y〗_0 y^''+y_0^2 )+〖2a^'〗_10 (x^''+x_0 )+〖2a^'〗_20 (y^''+y_0 )+a_00=0

{█(〖a''〗_10=λ_1 x_0+〖a'〗_10=0@〖a'〗_20=λ_2 y_0+〖a'〗_20=0)┤

Так какни одно изλ_1 иλ_2 не равны нулю, система имеет единственное решение.

x_0=-〖a'〗_10/λ_1

y_0=-〖a'〗_20/λ_2

Существует единственная точка O^' (x_0,y_0 )-новое начало системы координат, в котором уравнение кривой принимает вид:

λ_1 〖x^''〗^2+λ_2 〖y^''〗^2+〖a^''〗_00=0,

где 〖a''〗_00=λ_1 x_0^2+λ_2 y_0^2+〖2a'〗_10 x_0+〖2a'〗_20 y_0+a_00

Возможныследующие варианты:

〖a) λ〗_1 и λ_2- имеют одинаковые знаки

λ_1 λ_2>0

〖a''〗_00- имеет противоположный знак с λ_i, уравнение приходит к виду

λ_1 〖x''〗^2+λ_2 〖y''〗^2=〖-a〗_00

Если оба λ>0 приходим к уравнению

〖x''〗^2/a^2 +〖y''〗^2/b^2 =1 – каноническое уравнение эллипса.

Если оба λ<0, получим уравнение

-〖x''〗^2/a^2 -〖y''〗^2/b^2 =1 - мнимый эллипс

Если 〖a''〗_00=0, то уравнение принимает вид:

λ_1 〖x''〗^2+λ_2 〖y''〗^2=0 - пара пересекающихся комплексно сопряженных прямых.

б) Пустьλ_1 λ_2≠0

λ_1 λ_2<0

Уравнение кривой приводится к виду:

λ_1 〖x''〗^2+λ_2 〖y''〗^2=〖-a''〗_00

〖x''〗^2/a^2 -〖y''〗^2/b^2 =1- каноническое уравнение гиперболы

Если〖a''〗_00=0, то мы приходим к уравнению

λ_1 〖x''〗^2+λ_2 〖y''〗^2=0

(√(λ_1 ) x^''+√(λ_2 ) y^'' )(√(λ_1 ) x^''-√(λ_2 ) y^'' )=0– пара действительных пересекающихся прямых

II Пусть дно из λ=0

λ_1 λ_2=0,

Например,

λ_2=0

λ_1 x^2+〖2a'〗_10 x+〖2a'〗_20 y+a_00=0

Это уравнение можно записать в виде:

y=px2+qx+к – уравнение параболы

Если 〖a'〗_20=0, то приходим к уравнению

λ_1 〖x'〗^2+〖2a'〗_10 x^'+a_00=0получаем квадратное уравнение относительно x'

Пусть〖x'〗_1 и 〖x'〗_2корни этого уравнения(действительные или комплексные) тогда уравнениекривой запишется в виде:

λ_1 (x-x_1 )(x-x_2 )=0

Парабола в этом случае распадается на пару параллельных прямых, если корни совпадают – на пару совпавших прямых.

Таким образом общее уравнение кривой 2-го порядка, с помощью преобразования системы координат всегда можно привести к каноническому виду.

1.2Инварианты кривой второго порядка

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10+2a_20 y+a_00=0 (1)

δ-определитель квадратичной части.

δ=|■(a_11&a_12@a_12&a_22 )|

∆=|■(a_11&a_12&a_10@a_12&a_22&a_20@a_10&a_20&a_00 )|

S=a_11+a_22

Можно показать, что при переходе от ортонормированного репера R{0,(i,) ⃗j ⃗} к ортонормированному реперу R'{0’,(i',) ⃗j ⃗'}по формулам:

{█(x=x^' cos∝-y^' sin∝+x_0@y=y^' sin∝+y^' cos∝+y_0 )┤

δ=δ'

∆=∆'

S=S'

Это говорит о том, что δ,∆,S не зависит от выбора системы координат, т.е. являютсяортогональными инвариантами уравнениякривой второго порядка.

Раз эти величины не зависят от выбора системы координат, значит они отвечают за геометрию кривой.

С помощью поворота системы координат на угол ∝можно выбрать направление осей координат по главным направлениям кривой, и квадратичная часть уравнения приведется к каноническому виду:

Y’(x’,y’)=Y^' (x^',y^' )=〖a'〗_11 〖x'〗^2+〖a'〗_22 〖y'〗^2

Обозначим〖a'〗_11=λ_1

〖a'〗_22=λ_2

Получим,

Y^'=λ_1 〖x'〗^2+λ_2 〖y'〗^2

δ^'=|■(λ_1&0@0&λ_2 )| =λ_1 λ_2

S=a_11+a_22=〖a'〗_11+〖a'〗_22=λ_1 〖+λ〗_2

гдеλ_i-корни уравнения.

λ^2-Sλ+δ=0 (2)

Уравнение (2)- характеристическое уравнение кривой 2-го порядка.

Таким образом, любое уравнение кривой 2-го порядка с помощью поворота системы координат всегда можно привести к виду:

F’(x’,y’)=λ_1 〖x'〗^2+λ_2 〖y'〗^2+〖2a〗_10 x^'+〖2a〗_20 y^'+a_00=0 (1')

Дальнейшее исследование разбивается на два класса:

I Центральные кривые(δ≠0)

II Параболические кривые(δ=0)

I С помощью переноса начала координат в точку O^' (x_0,y_0)

{█(х=ξ+х_0@y=η+y_0 )┤

приведем уравнение (3) к виду(1)

a_11 (ξ+x_0 )^2+〖2a〗_12 (ξ+x_0 )(η+y_0 )+a_22 (η+y_0 )^2+〖2a〗_10 (ξ+x_0 )+

+〖2a〗_20 (η+y_0 )+a_00=0

Получим:

a_11 ξ^2+2a_12 ξη+a_22 η^2+2(a_11 x_0+a_12 y_0+a_10 )ξ +2(a_12 x_0+a_22 y_0+a_20 )η+a_11 x_0^2+〖2a〗_12 x_0 y_0+a_22 y_0^2+〖2a〗_10 x_0+〖2a〗_20 y_0+a_00=0

Для того чтобы линейная часть уравнения обратилась в нуль, необходимо и достаточно чтобы:

{█(a_11 x_0+a_12 y_0+a_10=0@a_12 x_0+a_22 y_0+a_20=0)┤ (4)

Определитель системы (4)

δ=|■(a_11&a_12@a_12&a_22 )|≠0

Система (4) имеет единственное решение, т. е. другими словами существует единственная точкаO^' (x_0,y_0) в которой линейная часть уравнения кривой обращается в нуль. Таким образом, мы приходим к уравнению:

λ_1 〖x^'〗^2+λ_2 〖y^'〗^2+a_00=0

а) Пусть λ_1 и λ_2 имеют разные знаки, т.е. λ_1 λ_2<0

λ_1 〖x^'〗^2+λ_2 〖y^'〗^2=〖a'〗_00 (5)

Откуда получаем

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1 – каноническое уравнение гиперболы

В уравнении (5) найдем〖a'〗_00:

∆^'=|■(λ_1&0&0@0&λ_2&0@0&0&〖a'〗_00 )|=λ_1 λ_2 〖a'〗_00

δ^'=|■(λ_1&0@0&λ_2 )|=λ_1 λ_2=δ, получим

∆=δ〖a'〗_00 т.е.〖a'〗_00=∆/δ

Окончательно мы приходим к уравнениюкривой:

λ_1 〖x'〗^2+λ_2 〖y'〗^2+∆/δ=0

1)λ_1 λ_2>0 т.е. δ>0

λ_1 〖x'〗^2+λ_2 〖y'〗^2+∆/δ=0

Если знакиλ_iи ∆ совпадают, то

а) x^2/a^2 +y^2/b^2 =1 – эллипс

или

б) x^2/a^2 +y^2/b^2 =-1 – мнимый эллипс

3) λ_1 λ_2<0 т.е. δ<0

x^2/a^2 -y^2/b^2 =1 – гипербола

в) Если ∆=0

λ_1 〖x'〗^2+λ_2 〖y'〗^2=0– имеем пару комплексно-сопряженных пересекающихся прямых.

II.Параболический случай

δ=0, λ_1=0,〖 λ〗_2≠0

δ=λ_1 〖 λ〗_2=0

Уравнение кривой принимает вид

λ_2 〖y'〗^2+〖2a〗_10 x^'+〖2a〗_20 y^'+a_00=0

Перенесем новое начало в вершину параболы

∆^'=|■(0&0&a_10@0&λ_2&a_10@a_10&a_20&a_00 )| = -λ_2 a_10^2

а) ∆^'≠0 то a_10≠0〖 т.к y〗^2=2px

б) Пусть ∆^'=0,тогда a_10=0

Уравнение кривой принимает вид:

λ_2 〖y'〗^2+〖2a〗_10 y'+a_00=0

Если y1 и y2 – корни уравнения то, уравнение приводится к виду

λ_2 (y-y_1 )(y-y_2 )=0 – пара параллельных или совпавших прямых

По основным инвариантам можно классифицировать кривые:

Таблица 1.

№ δ ∆≠0 ∆=0

1 δ>0

криваяэллиптического типа Эллипс действительный или мнимый Пара пересекающихся комплексно-сопряженных прямых.

2 δ<0

кривая гиперболического типа Гипербола Пара пересекающихся действительных прямых.

3 δ=0

кривая параболического типа Парабола Пара параллельных илисовпавших прямых.

Геометрический смысл инвариантов кривой:δ- определяет тип кривой.

∆- отвечает на вопрос: распадается кривая или нет:

Если ∆≠0, то кривая не распадается, если ∆=0, то кривая распадается на пару прямых.

Общий вывод: с помощью inv кривой, не приводя уравнение кривой к каноническому виду, можно ответить на вопрос какая эта кривая.

1.3Асимптотические направления

Пусть дана кривая II порядка:

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10+2a_20 y+a_00=0

Векторu ̅{u_1,u_2}определяет асимптотическое направление кривой 2-го порядка, если он обращает в нуль квадратичную форму кривой.

a_ij u^i u^J=0

a_11 u_1^2+〖2a〗_12 u_1 u_2+a_22 u_2^2=0 (:u_1^2)

Пусть a_22≠0

Разделим обе части уравнения на 〖(u〗_1^2)

a_11+〖2a〗_12 u_2/u_1 +a_22 (u_2/u_1 )^2=0→

Обозначим u_2/u_1 через k

→a_22 k^2+〖2a〗_12 k+a_11=0 (1)

Приa_22≠0, мы получаем квадратное уравнение (1), которое имеет два действительных или комплексных корня

k_1,2=(〖-a〗_12±√(a_12^2-a_11 a_22 ))/a_22 =(〖-a〗_12±√(-δ))/a_22

При δ>0, т.е. для кривой эллиптического типа действительных асимптотических направлений не существует.

При δ<0, т.е. для кривой гиперболического типа существует два действительных асимптотических направления.

Приδ=0, т.е. для кривой параболического типа,∃одно асимптотическое направление.

Пример:γ: 〖2x〗^2-3xy+y^2+4x-y-1=0

Найти векторы асимптотического направления.

Квадратичная форма.

〖2u〗_1^2-〖3u〗_1 u_2+u_2^2=0 (:u_1^2 )

2- 〖2u〗_2/u_1 +(u_2/u_1 )^2=0

Сделаем замену

u_2/u_1 =k

k^2-3k+2=0

k_1=1k_2=2

k_1=1: U_2/U_(`1) =1

¯u_1 {1;1} – I вектор асимптотического направления,

k_2=1U_2/U_(`1) =2

¯u {1;2}– II вектор асимптотического направления.

1.4 Пересечение кривой с прямой

Пусть имеется прямая заданная своим общим уравнением

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10+2a_20 y+a_00=0 (1)

и прямая заданная параметрическими уравнениями

l:{█(x=x_0+u_1 t@y=y_0+u_2 t)┤ (2)

Подставляя в (1) вместо x,yвыражение из системы (2) и получим

a_11 (x_0^2+u_1 t)^2+2a_12 (x_0+u_1 t)(y_0+u_2 t)+a_22 (y_0+u_2 t)^2+〖2a〗_10 (x_0+ut)+〖2a〗_20 (y_0+u_2 t)+a_00=0

a_11 (x_0^2+〖2x〗_0 u_1 t+ut^2)+〖2a〗_12 (x_0 y_0+(x_0 u_2+y_0 u_1 )t+u_1 u_2 t^2 )+〖+a〗_22 (y_0^2+〖2y〗_0 u_2 t+u_2^2 t^2 )+〖2a〗_10 (x_0+u_1 t)+〖2a〗_10 (y_0+u_2 t)+a_00=0

Полученное уравнение можно переписать в виде (4)

Pt^2+2Qt+R=0,

где

{█(P=a_11 u_1^2+〖2a〗_12 u_1 u_2+a_22 u_2^2@Q=(a_11 x_0+a_12 y_0+a_10 ) u_1+(a_12 x_0+a_22 y_0+a_20)u_2@R=a_11 x_0^2+〖2a〗_12 x_0 y_0+a_22 y_0^2+〖2a〗_10 x_0+〖2a〗_20 y_0+a_00 )┤(3)

Вопрос пересечения кривой c прямой сводится к исследованию уравнения (4)

Пусть P≠0,прямаяlне асимптотического направления, уравнение (4) в этом случае имеет 2 действительных или комплексных корня.

Прямая неасимптотического направления пересекает кривую в двух действительных или комплексных точках.

t_1,2=(-Q±√(Q^2-PR))/P

Если P=0, Q≠0, l- асимптотического направления. Уравнение (4) имеет вид: 2Qt+R=0т.е. прямая асимптотического направления, может пересекать кривую только в одной точке.

Если P=0,Q=0, R≠0

Уравнение (4) не имеет решения.

l∩γ=∅, l-асимптота

Если Q2-PR=0,то прямая пересекает кривую в двух совпавших точках.

Точка M(x0,y0), l–касательная к кривой в т.М_0

P=Q=R=0, уравнение (4) будет справедливо для любого t, т.е. вся прямая lлежит на кривой.

l- асимптота. Из сказанного ясно, что асимптота- это прямая, которая либо не пересекает кривую, либо принадлежит ей.

1.5 Касательная к кривой

Прямая, пересекающая кривую в двух совпавших точках называется касательной к кривой.

L

Пусть M_0 (x_0;y_0)ϵγ, тогдав уравнении (4) R=0

a_ij x_0^i x_0^j+2a_i0 x_0^i+a_00=0 (1)

Пусть l:{█(x=x_0+u_1 t@y=y_0+u_2 t)┤ является касательнойк кривой в т.M_0, то Q=0:

(a_ij x_0^j+a_i0 ) u^i=0 (3)

ЕслиM(x^i) – произвольная точка касательной, то ∃t,что x^i-x_0^i=tu^i (4)

Умножая (3) на t и подставляя (4)получим, что для точек касательной выполняется условие:

(a_ij x_0^i+a_i0 )(x^i-x_0^i )=0

Таким образом, мы приходим к следующему уравнению касательной к кривой.

l:(a_11 x_0+a_12 y_0+a_10 )x+(a_12 x_0+a_22 y_0+a_20 )y+a_10 x_0+a_20 y_0+a_00=0 (5)

M_0 (x_0;y_0) – точка касания

Иначе уравнение касательнойможно записать:

1/2 (∂F_0)/∂x (x-x_0 )+1/2 (∂F_0)/∂y (y-y_0 )=0

(∂F_0)/∂xи (∂F_0)/∂y частные производные от левой части уравнения кривой.

Пример:Дана кривая

γ: F(x,y)=〖2x〗^2-3xy+y^2+4x-y-1=0

Записать уравнение касательной в т.M_0 (-1;1)

Решение.

1/2 ∂F/∂x= 2x-3/2 y+2|_(M_0 )=-2-3/2+2=-3/2

1/2 ∂F/∂y=-3/2 x+y-1/2 |_(M_0 )=3/2-1-1/2=0

-3/2 (x-x_0 )=0

x+1=0 – уравнение касательной

1.6 Асимптота кривой 2-го порядка

Асимптотой называется прямая, которая не пересекает кривую или принадлежит ей.

Из уравнения (4):

{█(P=0@Q=0)┤

P=a_ij u^i u^j=0

Q=(a_ij x^i+a_i0)u^i=0

¯u-векторасимптотического направления

P=0→a_11 u_1^2+〖2a〗_12 u_1 u_2+a_22 u_2^2=0

k=(u_1^2)/(u_2^2 )

a_22 k^2+〖2a〗_12 k+a_11=0

Q=0→(a_11 x+a_12 y+a_10 ) u_1+(a_12 x+a_22 y+a_20 ) u_2=0

Перегруппируем члены

(a_11 u'+a_21 u^2 )x+(a_12 u'+a_22 u^2 )y+a_10 u'+a_20 u^2=0–уравнение асимптоты

Асимптота существует, если коэффициенты при x иy одновременно в нуль не обращаются.

Если {█(a_11 u_1+a_12 u_2=0@a_12 u_1+a_22 u_2=0)┤ , ¯u≠¯0

Определитель этой системы

|■(a_11&a_12@a_12&a_22 )|≠δ для эллиптического и гиперболического случая.

Для δ<0существует два асимптотических направления т.е., для кривой гиперболического типа, существуют две асимптоты.

δ>0, не существует асимптотических направлений, т.е. кривая эллиптического типа не имеет асимптот.

δ=0,∆≠0, парабола не имеет асимптот

δ=0,∆=0, парабола распадается на пару параллельных или совпавших прямых, асимптотой параболы будет всякая прямая, параллельная прямым, на которые распадается парабола.

Пример: Определить асимптоты кривой:

γ: 〖3x〗^2+2xy-y^2+8x+10y+14=0

Решение.

δ=|■(3&1@1&-1)|=-4<0 – существуют два асимптотических направления

3u_1^2+2u_1 u-u=0 (:u_1^2)

k=u_2/u_1

〖-k〗^2+2k+3=0 (-1)

k^2-2k-3=0

k_1=-1

k_2=3

u_2/u_1 =-1

¯u{1;-1} – вектор асимптотического направления.

v_2/v_1 =3v_2=3v_1

¯v{1;3}

1/2 ∂F/∂x u_1+1/2 ∂F/∂y u_2=0

1/2 ∂F/∂x=3x+y+4

1/2 ∂F/∂y=x-y+5

Получаем

(3x+y+4)*1+(x-y+5)(-1)=0

2x+2y-1=0 (I асимптота)

1(3x+y+4) +3(x-y+5) =6x-2y+19=0 (IIасимптота)

1.7 Диаметр кривой 2-го порядка

Пусть имеется кривая 2-го порядка и вектор ¯uне асимптотического направления. Проведем хорды параллельные вектору ¯u.

Найдем середины этих хорд. Можно доказать, что середины хорд лежат на одной прямой.

Диаметром, сопряженным вектору¯uотносительно кривой 2-го порядка,называется геометрическое место середин хорд,параллельных вектору¯u.

Уравнение диаметра:

(a_ij x_0^j+a_io)u^i

u^i- сопряженный вектор.

Пусть направления этого диаметра определяется вектором¯v. ¯u и ¯v – взаимно сопряженные векторы относительно кривой второго порядка, если выполняется условие a_ij u_1 v^j=0. Из этого выражения ясно, что ¯u и ¯v взаимно сопряженныевекторы. Зная одно из сопряженных направлений ¯u, легко найти другое ¯v.

Пример: Дана кривая〖3x〗^2+2xy+〖2y〗^2+3x-4y=0

Найти диаметр сопряжённый заданному диаметру d: x+2y-2=0

Направляющий вектор прямой имеет координаты ¯u{-2;-1}

1/2 ∂F/∂x=3x+y+3/2

1/2 ∂F/∂y=x+2y-2

Уравнение диаметра:

(3x+y+3/2)(-2)+(x+2y-2)1=0

1.8 Центр кривой

Опр.ЦентромC кривой γназывается точка, относительно которой кривая симметрична.

C(x_0,y_0)∈d

Запишем уравнение диаметра:

〖(a〗_11 x_0+a_12 y_0+a_10)u_1+(a_12 x_0+a_22 y_0+a_20 ) u_2=0

C(x_0,y_0)- центр.

Центр лежит на любом диаметре, т.е. уравнение должно выполняться для любого вектора ¯u

{█(a_11 x_0+a_12 y_0+a_10=0@a_12 x_0+a_22 y_0+a_20=0)┤ (1)

Система, определяющая центр кривой:

При

δ=|■(a_11&a_12@a_12&a_22 )|≠0, система имеет едипственное решение

а) При δ>0,∆≠0 эллипс имеет единственный центр.

При∆=0 эллипс распадается на пару комплексно-сопряженных прямых и точки пересечения этих прямых центр распавшегося эллипса.

б) δ<0,∆≠0 – гипербола. Гипербола имеет елипственный центр

При ∆=0 гипербола распадается на пару пересекающихся действительных прямых. Центр кривой – точка пересечения этих прямых.

в) При δ=0,∆≠0 система не имеет решения, т.е. парабола не имеет центра.

При ∆=0 парабола распадается на пару совпаших или параллельных прямых. Любая точка кривой будет центром. Если парабола распадается на пару параллельных прямых, то биссектриса полосы – линия центров.

Пример:Найти центр кривой〖γ:x〗^2-2xy+〖2y〗^2+4x-6y++3=0

{█(x-y-2=0@-x+2y-3=0)┤

δ=|■(1&-1@-1&2)|=1>0 – существует центр.

Кривая эллиптического типа.

∆=|■(1&-1&-2@-1&2&-3@-2&-3&3)|= -3-9-14≠0- эллипс.

C(7;5) – центр эллипса.

1.9Вид уравнения кривой, если начало координат совпадает с центром кривой.

Пусть дана кривая II порядка:

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10+2a_20 y+a_00=0

Система определяющая центр кривой:

{█(a_11 x+a_12 y+a_10=0@a_12 x+a_22 y+a_20=0)┤

Подставляя вместо xи y нули, получим {█(a_10=0@a_20=0)┤

1.10 Вид уравнения кривой, если оси координат направлены по сопряженным направлениямкривой

Если ¯u{u_1;u}, ¯v{v_1;v_2} имеют сопряженные направления относительно кривой 2-го порядка, то a_ij u^i v^j=0

¯u{u_1;u_2}- вектор неасимптотического направления, тогда уравнение диаметра, сопряженного направления ¯u имеет вид:

(a_11 x+a_12 y+a_10 ) u_1+(a_12 x+a_22 y+a_20 ) u_2=0

Пусть направление оси (OX) совпадает с направлением¯u, т.е. ¯u{1;0}

Уравнение диаметра, сопряженного этому направления имеет вид:

a_11 x+a_12 y+a_10=0

Пусть этот диаметр совпадает с осью (Oy),(Oy):x=0

∀y, a_12=0, a_10=0

Cдругой стороны ¯u направлен по осиy, т.е.¯v{0;1}

Уравнение диаметра, сопряженного такому направлению имеет вид:

a_12 x+a_22 y+a_20=0будем считать что этот диаметр совпадает

с осью (Ox) .

(Ox):y=0

∀x,a_12=0,a_20=0

Общее, в обоих случаях,a_12=0.Таким образом, если оси координат, направлены по сопряженным направлениям кривой 2-го порядка, то коэффициент a_12 обращается в ноль.

1.11Главные направления кривой 2-го порядка

Пусть имеется кривая 2-го порядка, заданная уравнением (1)

Ɣ:а_11 x^2+2a_12 xy+a_22 y^2+2a_10+2a_20 y+a_00=0

Направление ¯uназывается главным относительно кривой 2-го порядка, если оно сопряжено перпендикулярному ему направлению.

Пусть ¯u и¯v определяют главные направления кривой 2-го порядка, из определения следует, что эти направления должны быть перпендикулярными и сопряженными.

{█(u_1 v_1+u_2 v_2=0-условие перпендикулярности.@a_ij u^i v^j=0-условие сопряжения. )┤

Запишем в развернутом виде:

{█(u_1 v_1+u_2 v_2=0 @(a_11 u_1+a_12 u_2 ) v_1+(a_12 u_1+a_22 u_2 ) v_2=0)┤→

Эта система имеет решения только в том случае, когда уравнения пропорциональны.

→{█(a_11 u_1+a_12 u_2=〖λu〗_1@a_12 u_1+a_22 u_2=〖λu〗_2 )┤ отсюда {█((a_12-λ) u_1+a_12 u_2=0@a_12 u_1+(a_22-λ) u_2=0)┤

Oтносительноu_1 и u_2 однородная система линейных уравнений. Известно, что однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, только в случае когдаее определитель равен нулю.

|■(a_11-λ&a_12@a_12&a_22-λ)|=0 (2)-характеристическое уравнение.

Теорема. Любая кривая 2-го порядка имеет два главных направления.

Доказательство.

Распишемуравнение (2)

(a_11-λ)(a_22-λ)-a_12^2=0

λ^2-(a_11+a_12 )λ+a_11 a_22-a_12^2=0

λ^2-sλ+δ=0 (2^' )

λ_1,2=(a_11+a_22±√((a_11+a_22 )^2-4(a_11 a_22-a_12^2)))/2

λ_1,2=(a_11+a_22±√((a_11-a_22 )^2+〖4a〗_12^2 ))/2

Данное уравнение имеет два действительных корня, дискриминант D≥0. Каждому λ будет соответствовать свое главное направление.

Возвращаемся к системе:

{█((a_11-λ) u_1+a_12 u_2=0@a_12 u_1+(a_22-λ) u_2=0)┤

Для каждого λ будет определен свой вектор ¯u. Теорема доказана.

1.12Главные диаметры

Диаметры имеющие главные направления называются главными диаметрами.

Взаимно перпендикулярные диаметры, проходящие через центр кривой – оси симметрии - это главные диаметры.

Опр.Главным диаметром (главной осью) называется диаметр, сопряженный ортогональным ему хордам.

Следствие1.Главным диаметром является ось симметрии. Диаметр, являющийся осью симметрии, будет главным.

Следствие 2.При δ≠0 все диаметры проходят через центр, то прямые проходящие через центр и имеющие главные направления, являются главными диаметрами.