«Методика исследования асимптотических решений одного класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка»

Действительно, если некоторая физическая величина оказывается меняющейся со временем под действием тех, или иных факторов, то как правило, закон ее изменения по времени описывается именно дифференциальным уравнением, т.е. уравнением, которое связывает исходную переменную, как функцию времени и производные этой функции. Решение уравнения с анализом его зависимости от параметров задачи и начального состояния системы позволяет установить общие закономерности изменения исходной физической величины.

Многие физические задачи, как известно, описываются дифференциальными уравнениями в частных производных, а так же некоторыми начальными условиями. Одним из универсальных методов решения смешанных задач является метод Фурье, предложенный им в 1807 г. Этот метод приводит к краевой задаче, описываемой граничными условиями и обыкновенным дифференциальным уравнением, содержащим некоторый параметр. Поскольку данные дифференциальные уравнения имеют переменные коэффициенты, то они, как правило, не интегрируются. Только в частных случаях Фурье удалось найти решение указанных дифференциальных уравнений.[13]

В 1838 г. Результаты Фурье были обобщены французским математиком Жозефом Лиувиллем. Он предложил метод разложения произвольной функции в ряд по фундаментальным функциям краевой задачи, заданной дифференциальным уравнением II порядка

где - большой параметр, с некоторыми граничными условиями. Фундаментальные функции полученные Лиувиллем для уравнения при больших значениях , обладают свойством ортогональности. Поэтому коэффициенты в разложении

определяются обычным образом.[13]

Постановка задачи. В данной выпускной квалификационной работе исследуется дифференциальное уравнение второго порядка:

Требуется найти решение уравнения удовлетворяющее условиям:

Теория асимптотических рядов ведет свое начало от Стилтьеса (1886) и А. Пуанкаре (1886). Эту теорию можно разделить на II части. В первой части, изучаются вопросы, «суммы» асимптотических рядов («асимптотические пределы», «асимптотическая сходимость»), операции над асимптотическими рядами (алгебраические операции, дифференцирование, интегрирование и т.д.). Понятие асимптотическое разложение функции и асимптотический ряд были введены Анри Пуанкаре в связи с задачами небесной механики.[13]

Благодаря работам Фурье, Штурма и Лиувилля теория изображения решений дифференциальных уравнений, содержащих параметр, в виде асимптотических формул (такое изображение называют асимптотическим) стало очень быстро развиваться. Однако ее применение ограничивалось лишь выяснением характера сходимости разложения произвольной функции в ряд по фундаментальным функциям. В дальнейшем обнаружилось, что эта. Своего рода асимптотическая теория, может быть применена к решению многих задач совсем другого характера, в частности задач практики. Так, например, в работах Фаулера, Локка и Спарре результаты Лиувилля были применены к решению приближенных уравнений движения снаряда.[13]

Большой вклад в развитии асимптотических методов внес русский ученый В.А. Стеклов. Так, установив теорему «замкнутости» для функции Штурма-Лиувилля, Стеклов решил тем самым обе задачи о разложении функции в ряд по фундаментальным функциям уравнения с такой же степенью общности, как и для обыкновенных тригонометрических рядов Фурье.[13]

Асимптотические разложения и ряды играют большую роль в различных задачах математики, механики и физики. Это вызвано тем, что многие задачи нельзя решить точно, но удается получить асимптотическое разложение решений. Кроме того, численные методы часто применяются именно в тех случаях, когда асимптотические разложения удается найти.[13]

(2)

Данные условия называются начальными условиями. Задача нахождения решения уравнения (1), удовлетворяющая начальным условиям (2), называется задачей Коши. С геометрической точки зрения условия (2) означают, что из семейства интегральных кривых, проходящих через точку . Мы выделяем определенную интегральную кривую, имеющую заданный угол наклона (рис. 1).

Рис. 1

В уравнение (1) могут не входить все переменные , но должна входить обязательно, иначе это уравнение не будет дифференциальным уравнением второго порядка, например, , .[14]

Разрешим уравнение (1) относительно . Предположим, что это возможно. Из теории неявных функций известно, что если функция равна нулю в некоторой точке , имеет непрерывные частные производные в этой точке, то уравнение имеет в некоторой окрестности указанной точки решение и притом единственное.[15]

Тогда уравнение (1) примет вид

,

(3)

где функция задана на некоторой области ω трехмерного пространства точек , непрерывна на ней и имеет непрерывные частные производные. Функция может и не зависеть явно от некоторых из переменных . Например, это имеет место для уравнений , , .[15]

Пусть некоторая интегральная кривая проходит через точку и имеет в этой точке угловой коэффициент касательной, равный заданному числу (т. е. ).

Этим однозначно определяется вторая производная от в точке , равная

.

Однако возникает вопрос, если мы зададим и произвольные числа , то существует ли на самом деле интегральная кривая уравнения (3), для которой и , и как много таких интегральных кривых. Следующая теорема показывает, что если функция в окрестности точки достаточно гладкая, то такая интегральная кривая существует и притом одна.