«О росте целой функции в полосе и во всей плоскости»

.

Правая часть имеет минимум при

(когда , то величина σ0 стремится к ), и он равен

.

Поэтому при больших n

или

откуда .

Покажем теперь, что если , т.е. если выполняется (1.6), то R – тип функции f(z) не превосходит τ. Из (1.6) при любом для всех n > 0 находим

где B(ε) – некоторая постоянная. Отсюда

Так как

то

Из условия

находим, что при больших k

в силу чего

Таким образом,

Указанный максимум достигается в точке

и он равен

.

Поэтому при больших (-σ)

и, следовательно,

т.е. R – тип функции f(z) меньше или равен τ. Из всех этих рассуждений и следует, что R – тип вычисляется по формуле (1.6).

О типе в полосе.

Рассмотрим соотношение между типом функции f(z) = (2.1) в горизонтальной полосе S(a,t0) и типом во всей плоскости.

Если - R – порядок f(z) в полосе S(a,t0), то по определению R – тип f(z) в полосе есть

.

ТЕОРЕМА1. Пусть f(z) = удовлетворяет следующим условиям:

. Пусть f(z) имеет конечный R – порядок ρ и тип τ. Пусть S – горизонтальная полоса которая содержит в себе при некотором α. Тогда функция f(z) в полосе S имеет тип .

ТЕОРЕМА2. Пусть { } имеет усредненную верхнюю плотность D* и

(2.2).

тогда R – тип функции (2.1) в полосе S(a,t0) при a > πD* и R – тип этой функции связаны соотношением (2.3),

где h(φ) – индикатриса роста функции L(λ), а - R – порядок функции (2.1).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим t0=0. Левая часть соотношения (2.3) очевидна. Докажем его правую часть.

- конечная верхняя плотность.

- усредненная верхняя плотность. , где N(λ) – число чисел λn, меньших λ.

Известно

,

.

В рассматриваемом случае Lk(λn) = 0 при всех n ≠ k. Поэтому , и следовательно

(2.4),

где - функция, ассоциированная по Борелю с .

Известно

, r > r0(ε), (2.5)

где r0(ε) не зависит от k. Отсюда учитывая еще, что следует, что все особенности содержатся в прямоугольнике

.

Пусть Сε – граница прямоугольника

В формуле (2.4) в качестве контура интегрирования можно взять контур Сε. Учтем еще, что

.

Получим

(2.6).

Из формулы обращения

,

на основании (2.5) выводим, что на

где N не зависит от k. В силу этого, из (2.6) получаем

.

Условие (2.2) влечет за собой выполнение условия

.

Поэтому порядок . Имеем

на основании этого

(2.7).

минимум правой части достигается при

.

Правая часть при больших k будет меньше . На этом основании в (2.7) можно подставить вместо σ величину σ0. Сделав это, получим

.

Отсюда на основании формулы (1.6) будем иметь

.

Следовательно . Соотношение (2.3) установлено.

Если последовательность имеет плотность D, то

. Тогда .

В случае когда последовательность имеет плотность и , имеем .

ТЕОРЕМА. R-порядок целой функции (*) вычисляется по формуле:

(2)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Допустим, что R-порядок функции f(s) конечен, и докажем, что тогда

(3)

Имеем (по формуле т.е. Если у ряда Дирихле абсцисса абсолютной сходимости a<∞, коэффициенты ряда могут быть вычислены по этой формуле) при любом σ

откуда находим

| | M(σ),

или

(4)

Обратимся теперь к выражению (1). Из него, каково бы ни было > 0, получаем для больших (-σ)

ln M(σ) <

Следовательно, в силу (4), можно утверждать, что при боль-ших (-σ)

Правая часть этого неравенства имеет минимум при

σ = σ0 ,

причем величина σ0 стремится к при . Заменяя в вышеуказанном неравенстве σ на σ0 (при больших n это можно сделать), получим, что при больших n

откуда

Так как — любое, то, следовательно, верно (3).

Покажем теперь, что если выполняется соотношение (2) при , то R-порядок функции f (s) не превосходит . Из (2) при любом > 0 находим для n>0

|an

где В( )— некоторая постоянная, зависящая от ε. В силу этого получаем

М ( )

Так как

, a= ,

то

M(σ)Поскольку, силу условия , ,где b >0, то

Поэтому

M(σ)где δ = 1/(ρ+2ε).

Указанный максимум достигается в точке

и равен exp ( ).

Таким образом

ln M(σ) lnC(ε) + < ,

откуда, так как δ =1/(р +2ε) и ε — любое, получаем, что

Из двух установленных утверждений следует искомая формула (2).

Формула (2) для определения R-порядка может иметь место, конечно, и в ряде случаев, когда не выполняется условие .

Эта формула справедлива, в частности, если

N(x) = .

§2.О порядке в полосе

Допустим, что показатели всюду сходящегося ряда Дирихле

f (s) = имеют конечную верхнюю плотность D = . В плоскости комплексного переменного s = σ + it возьмем полосу S(a, t0): | t – t 0| ≤ a . При a>πD* + ε, D* - усредненная верхняя плотность, D*= (где (N(λ) - число λn, меньших λ).

Положим

M(σ) =

Величину

ρS =

будем называть R-порядком функции f (s) в полосе S(a,t0).

Доказано, что если

(5)

то R-порядок функции f (s) в полосе S(a, t0) при a > πD*, где D* — усредненная верхняя плотность последовательности {λn}, равен R-порядку f (s) во всей плоскости.

Имеет место более сильное утверждение.

ТЕОРЕМА. Пусть {λn} имеет усредненную верхнюю плотность D* . Положим

q = , L(λ)= (6)

Порядок ρ s функции

f (s) =

в полосе S (а, t0) при а > πD* и R-порядок ρ этой функции

связаны соотношением

(7)

ДОКАЗКТЕЛЬСТВО.

Для доказательства допустим, что функция f (s) имеет порядок ρs в полосе S (a,t0), a > πD*. Тогда

| f(σ + it) | < exp , | t –t0 | ≤ a, - σ > σ 0 (ε1) (8)

Воспользуемся неравенством

| ak| < ( s = σ + it ),

где

Lk(λ)= .

Будем считать, что в этом неравенстве s = σ + it0 и ε столь мало, что круг | u - s |< πD* + ε лежит в полосе S(a,t0). На основании (8)

| ak| < , - σ > σ0 (ε1).

Функция exp [ ] при σ = σ 0 = - имеет минимум, равный

exp [ - ln ]= exp [- ln λk + O( λk ) ].

Поэтому

| ak| < + O(λk)].

Отсюда в силу формулы (2)

, q1 = .

Отметим, что Lk(λk) = - .

Следовательно q1 = q и ρs . Теорема доказана.

При условии (5) имеем неравенство

k > K(ε), β=3[3 – ln(hD)]D.

Кроме того

| L k(λ k) | < , k > k0(ε),

откуда | | >

В силу полученных неравенств q1 = q = 0. Следовательно, ρS = ρ.

В доказанной теореме нет нужды предполагать, что S - обяза-тельно горизонтальная полоса. Пусть К — криволинейная полоса, описываемая кругом радиуса πD*+ ε при движении центра вдоль кривой С, простирающейся к Re s = - ∞. Рассуждениями, аналогичными проводимым выше, можно убедиться, что порядок в К, и порядок в плоскости связаны соотношением (7).При условии (5) порядки равны.

Границы для порядка ρS, устанавливаемые соотношением

(7) не могут быть улучшены. Если t0=0, а коэффициенты ak

положительны, то, очевидно, ρ5 = ρ.

Неулучшаемость другой границы устанавливается следующей теоремой.

ТЕОРЕМА. Пусть {λ k} имеет усредненную верхнюю

плотность D*. Тогда существует функция

f (s) =

для которой порядок ρS в полосе S (a, t0) при а > πD* + ε и R-порядок ρ удовлетворяют условию

где величина q определена формулой (6).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Воспользуемся теоремой об оценке аналитической функции снизу: пусть функция f (z) голоморфна в круге |z| 2eR , f (0) = 1 и h — произвольное положительное число, не превышающее 3е/2. Тогда внутри круга |z| R, но вне исключительных кружков с общей суммой радиусов, меньшей 4hR,

ln|f(z)| >-H(h)ln M( 2eR ), M(r) = (9)

при

(10)

Предположим, что f(z) — целая функция (в дальнейшем в качестве f (z) будет взята функция L (z)). Возьмем систему положительных чисел {R n} такую, что

R n=R n – 1(1+ ), (n=2, 3 ,…). (11)

Число R1 — произвольное, но достаточно большое. Очевидно, что R n при n . В указанной теореме положим R = R n, h = . Так как сумма диаметров исключительных кружков меньше 8hR, то в кольце

R n - (12)

найдется окружность | z | = ρn на которой выполняется нера-венство (9)

ln|f(z)| > - H(h) ln M( 2eR ), | z|=ρn ,

где H(h) = 2 + ln ( )

Покажем, что левая часть неравенства (12) больше R n-1.

Имеем

R n - > R n - = R n-1 + =

R n-1 +

Число R1 (оно было до сих пор произвольным) выберем согласно условию: ln R 1 > 16. Тогда получим

R n - > R n-1

Отсюда R n-1 ρn R n. Так как, в силу соотношения (11),

R n < 2R n-1_ и ρ n< 2 R n-1,

то

, где β — некоторая постоянная. На окружности |z| = ρn

ln |f(z)| > - Hn ln M(4eρn), | z | = ρn , (13)

где Hn=2 + ln( 3eln ρn ) (14)

ГЛАВА 2

ЗАДАЧА

Построить пример функции, для которой R-порядок в полосе и области различны( )

Где

в плоскости комплексного переменного взяли s=σ+it,полоса S(a,t0): |t-t0| , положим

Рассмотрим Лемму:

ЛЕММА. Пусть f(z) — целая функция. Существует последователь-ность окружностей | z| = ρn (n = l, 2, .), причем ρn при n , ρn + 1 < (1 + ) ρ n на которой имеет место оценка , ln |f(z)| > - Hn ln M(4eρn), | z | = ρn , где величина Нn определяется формулой Hn=2 + ln( 3eln ρn ).

Приступим теперь к построению примера ряда Дирихле, для

суммы которого выполняется условие (т.е. ρ ρS).

Пусть в лемме роль функции f(z) играет функция L(z). Обо-значим Гn замкнутый контур, ограниченный дугами окружностей |z| = ρn-1 и |z| = ρn и отрезками лучей arg z = ±π/4 (дуги окружностей расположены справа от мнимой оси). Заметим, что на лучах arg z = ±π/4

|L(z)| = .

Внутри некоторых Гn может совсем не быть точек из {λm}. Пусть , ,., , . — те контуры, внутри каждого из которых лежит хотя бы одна точка из последователь-ности {λ m}, и пусть

λm +1, λm +2,…., λm (15)

точки из {λn}, лежащие внутри , т.е на интервале (ρр , ρр ).

Положим αm +1= … =αm = λm

где величина q определена формулой

q = , L(λ)=

и рассмотрим ряд

f(z) = (16)

Убедимся сначала, что:

a) R-порядок функции f(s) равен ρ. Для этого заметим, что если mn-1

откуда следует, что существует предел

,

так как

1< < →1, n→

Имея это в виду, подсчитаем порядок ρ* функции (16) по формуле (2).

Получим

Следовательно, ρ* = ρ.

б) Теперь определим порядок ρS функции f (s) в полосе S. Для этого сумму членов ряда (16), соответствующих показателям λk из группы (15), представим в виде

An= (17)

На контуре Гn согласно лемме и соотношению

имеем

| | < exp ( ), (18)

Пусть s = σ + it изменяется в полосе S (а,t0), и пусть σ < 0. Тогда при ξ Гn (пусть ξ = ξ1 + ξ 2) имеем

Re(-sξ) = -σξ1+tξ2 -σρn+Tρn

где Т — фиксированное число. Отсюда и из оценки (18), со-гласно формуле (17), получим

|An|=ρ (19)

Рассмотрим вспомогательный ряд

R-порядок функции Ф(s) обозначим ρ*. Имеем

Отсюда, учитывая соотношение (14) и то, что при k , получим, что

В полосе S, согласно неравенству (6.30), |f(σ+it)| Ф(σ). По-этому ρS ρ* =1/( ).Но по уже доказанному порядок ρS не может быть меньше величины 1/( ).

Следовательно ρS = 1/( ),( т.е. ρS ≠ ρ)

Искомый пример построен.

Из доказанных теорем как следствие получаем:

ТЕОРЕМА.Пусть последовательность {λk} имеет усред-ненную верхнюю плотность D*. Для того чтобы R-порядок в полосе S (a, t0) при а > πD* был равен R-порядку (во всей плоскости) для любой функции f (s) = (20) (предполагается, что ряд сходится во всей плоскости, а последовательность показателей {λk} фиксирована), необходимо и достаточно, чтобы последовательность показателей {λk} удовлетворяла условию

. (21)