«Внутренняя геометрия m - поверхности с присоединенной к ней алгеброй Ли в симплектическом пространстве Sp2n+i»

аг = ааг

Векторы-операторы называют ковариантными векторами или ко-векторами, а векторы исходного пространства называют контрвариантными или просто векторами.

Обобщая понятие линейной функции от вектора, мы будем рассматривать такие функциональные зависимости, которые относят системе значений ряда векторных и ковекторных переменных х:у:. :z; /3,., 7 скаляр W.

Функция W = Ф(х,у,. ,z] а{3,., 7) называется полилинейной, если она линейна относительно каждого входящего в неч, переменного, т.е. удовлетворяет для каждого из переменных (например х) тождеству Ф(\\х\\ + /лх2, у, • • •, z\\ а, /3,., 7) = АФОь у,., Z] а, /3,., 7) + Мф(>2, з/,., я; а, /?,., 7)

Вместо того, чтобы говорить о функции векторных аргументов, будем говорить об операторе, соответствующем этой функции, обозначая эти операторы, так же как и функции, буквами греческого алфавита, хотя, как правило, мы будем пользоваться в дальнейшем другими обозначениями, которые будут установлены ниже. Если функция полилинейна, то оператор называется тензором.

Следом тензора на системе его векторных аргументов называется значение соответствующей функции, отвечающее данным значениям этих аргументов.

Тензоры следует различать по числу аргументов соответствующей функции и ко- или контрвариантному характеру этих аргументов. Это различие приводит нас к понятию валентности тензора.

Тензор называется s - валентным, если s - есть число указанных аргументов.

Однако удобнее считать число s составным и записывать его в виде s = p-\\- q: где р-число ковариантных, а q-число контрвариантных аргументов. Про такой тензор валентности p+q говорят также, что это смешанный тензор типа (р), р раз контрвариантный и q раз ковариантный.

Пусть в Вп задан базис щ, взаимный ему базис аг и некоторая полилинейная функция W = Ф(ж, у,., z\\ а/3,., 7)- Предполагая, что аргументы принимают значения, совпадающие со значениями различных векторов взаимных базисов, мы получим систему величин А?\"\'ь = Ф(а^,., а&; о?,., аг\\ которые будут зависеть от: 1)выбора тензора,

2) выбора базиса,

3) выбора номеров у векторов основного базиса ковекторов вза

имного базиса. Эти величины и называют координатами тензора.

Итак, координаты тензора равны его следам на системе векторов,

принадлежащих данному базису и взаимному базису.

Если полилинейная функция содержит 2 или более когредиент-ных переменных, то перестановка двух или нескольких из значений этих переменных изменяет значение этой функции. В таком случае, умножая эти значения на некоторые числа и складывая их между собой, мы можем получить новую полилинейную функцию тех же переменных, Так, например, задав функцию Ф(х:у) можем получить из нее функцию

Щх,у) = \\Ф{х,у) + цФ{у,х).

Первый способ перехода от одного тензора к другому носит название симметрирования тензора и состоит в том, что значение функции, соответствующие всем возможным перестановкам р данных переменных, складывается и вся сумма делится на р!.Так, например, Ф(ж, у, z) = ^[Ф(х, у, z) + Ф(у, z, х) + Ф(г, х, у) + Ф(г, у, х) +

Процесс альтернирования тензора состоит в том, что та же сумма берется с чередующимися знаками перед слагаемыми, причем знак \"+\"ставится перед теми из них, которые соответствуют четным перестановкам переменных, а знак \"— перед теми слагаемыми, которые соответствуют нечетным перестановкам. Так, например, функция 4?i(x:y:z) соответствующая альтернированию тензора Ф, будет иметь вид Ъг(х, у, z) = ^[Ф(х, у, z) + Ф(у, z, х) + Ф(г, х, у) -

Те тензоры, которые не изменяются от симметрирования по векторным переменным, называются симметричными по отношению к этим переменным. Альтернирование симметричного тензора дает тождественный нуль. Тензоры, не меняющиеся при альтернировании по своим переменным, называются кососимметричными по

ТЕОРЕМА 7: Для того, чтобы внутренняя связность нормализованной m-поверхности в Sp2n+i с присоединенной к ней алгеброй Ли являлась аффинной связностью без кручения \"типа Вейля\"относит( кососимметрического тензора д^ необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие пАдц