«Нахождение определенного и неопределенного интеграла на языке PHP»

Определение: Функция F(x) в данном промежутке называется первообразной функцией для функции f(x) или интегралом от f(x), если во всем этом промежутке f(x) является производной для функции F(x) или, что то же, f(x)dx служит для F(x) дифференциалом F'(x)= f(x) или dF(x)=f(x)dx .

Разыскивание для функции всех ее первообразных, называемое интегрированием ее, и составляет одну из задач интегрального исчисления; как видим, эта задача является обратной основной задачи дифференциального исчисления.

Выражение F(x)+C,где C - произвольная постоянная, представляет собой общий вид функции, которая имеет производную f(x) или дифференциал f(x)dx.Это выражение называется неопределённым интегралом f(x) и обозначается символом

f(x)dx.

В записи f(x)dx=F(x)+С, произведение f(x)dx называется подынтегральным выражением, а функция f(x) - подынтегральной функцией.

В подобных случаях применяют различные методы приближенного (численного) интегрирования. Например, метод Симпсона (парабол), метод трапеций, метод Гаусса, метод Ромберга, метод Монте-Карло и др. Такой подход удобен тем, что он приводит к алгоритмам, легко реализуемым на ЭВМ и позволяющим получать результат с достаточной точностью.

Но прежде, чем рассмотреть некоторые из этих методов, рассмотрим некоторые вопросы, касающиеся этих методов.

Интерполяционный многочлен Лагранжа

Пусть известные значения некоторой функции f образуют следующую таблицу:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 . EMBED Equation.3

При этом требуется получить значение функции f для такого значения аргумента x, которое входит в отрезок [ ], но не совпадает ни с одним из значений

Здесь можно применить следующий прием - построение по исходной информации (табл.1) приближающей функции F, которая в некотором смысле близка к функции f и аналитическим выражением которой можно воспользоваться для вычислений, считая приближенно, что f(x)=F(x).

Классический подход к решению задачи построения приближающей функции основывается на требовании строгого совпадения значений f(x) и F(x) в точках

В этом случае нахождение приближенной функции называют интерполяцией (или интерполированием), а точки - узлами интерполяции.

Квадратурные формулы Ньютона - Котеса

Как уже отмечалось выше, применение формулы ( ) предполагает построение на отрезке интегрирования [a,b] системы узлов интерполяции

, которыми отрезок делится на n частей. Длина (i=1,2,3,.,n-1) называется при этом шагом интегрирования. Шаг h считается постоянным, h=(b-a)/n. В этом случае можно применять интерполяционную формулу Лагранжа для равноотстоящих узлов.

Перейдем в этом интеграле к переменной t. Примем подстановку: (x-x0)/h=t. Тогда получим:

Числа ( ) называют коэффициентами Котеса. Как видно эти коэффициенты не зависят от функции f(x), а только от числа n точек разбиения. учетом формул ( ) получим следующий вид квадратурных формул Ньютона- Котеса:

дающих на одном участке интегрирования различные представления для различного числа n отрезков разбиения.

Интегрирование методом Симпсона

При n=2 из формулы ( ) последовательно имеем (i=0,1,2):

Тогда с учетом ( ) получим на отрезке [x0,x2]:

Геометрически, в соответствии со смыслом интерполяционной формулы Лагранжа при n=2, использование формулы ( ) означает замену

подынтегральной функции f(x) параболой L(x), проходящей через точки

M (x , y) (i=0,1,2) (рис.2).

Если считать, что n - четное (n=2m), то, применяя формулу (12) последовательно к каждой паре частичных отрезков [ ] (i=1,2,.,m), получим: