«Решение нелинейных уравнений численными методами 10» - Контрольная работа

Содержание

1. ЗАДАНИЕ 4

2. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ 5

2.1. Метод половинного деления 5

2.2. Метод Ньютона (метод касательных) 6

2.3. Метод простых итераций 8

3. ГРАФИК ФУНКЦИИ 15

4. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 16

5. БЛОК-СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ 17

5.1. Метод половинного деления 17

5.2. Метод Ньютона (метод касательных) 18

5.3. Метод простых итераций 19

6. ТЕКСТ ПРОГРАММЫ 20

7. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ 24

7.1. Метод половинного деления (met1.txt) 24

7.2. Метод Ньютона (met2.txt) 24

7.3. Метод простых итераций (met3.txt) 25

7.4. Итог работы программы (result.txt) 25

8. ГРАФИКИ СХОДИМОСТИ 26

Заключение 29

Список используемой литературы 31

---

Введение

1. Самостоятельно изучить следующие методы решения уравнений

• метод половинного деления;

• метод Ньютона (метод касательных);

• метод простых итераций.

2. Составить программу на языке Pascal, которая выводит в текстовой файл da-ta1.txt в два столбца значения переменной x и функции F(x)=x-sin(5*x)+1.

3. Затем, используя программное приложение Excel, построить график функции F(x)=x-sin(5*x)+1 по данным файла data1.txt.

4. Графически определить отрезок изменения переменной x вблизи корня уравнения , учитывая требования, описанные в литературе по методам решения уравнения (п.1).

5. Границы отрезка и погрешность вычислений задать в текстовом файле data2.txt.

6. Нарисовать блок-схемы решения задачи каждым методом из п.1.

7. Написать программу на языке Pascal решения уравнения методами п.1. Исходные данные считать из файла data2.txt. Вычисление оформить в виде под-программы (функции). Решение уравнения каждым методом оформить в виде подпрограммы (процедуры).

8. Построить графики сходимости решения задачи методами п.1. Для этого для каждого метода значения переменной x и функции F(x)=x-sin(5*x)+1 на каждом шаге решения выводить в текстовые файлы met1.txt, met2.txt и met3.txt (для метода половинного деления, метода Ньютона и метода простых итераций со-ответственно).

9. Используя программное приложение Excel построить графики сходимости по данным файлов met1.txt, met2.txt и met3.txt.

10. В программе подсчитать количество шагов (итераций) требуемых для нахождения решения уравнения с заданной точностью каждым из методов п.1.

11. В текстовой файл result.txt вывести результаты решения задачи и число итераций для каждого метода с соответствующими комментариями.

---

Заключение

В результате данной работы уравнение решено тремя итерационными методами: методом половинного деления, методом Ньютона, методом простых итераций.

Более сложным, в сравнении с остальными вышеперечисленными, является метод Ньютона, так как при решении уравнения данным методом требуется вычислять производную функции.

Менее сложным является метод простых итераций, так как при решении уравнения данным методом требуется привести уравнение к виду .

Наиболее простым является метод половинного деления, но при решении уравнения данным методом необходимо определить границы отрезка начальных приближений, а не одно начальное приближение, как в предыдущих методах.

Оценивая быстроту нахождения решений каждым из методом, необходимо от-метить, что наиболее быстрым в поиске решений является метод Ньютона – метод имеет квадратичную сходимость, т.е. в отличие от других рассматриваемых методов погрешность на каждой следующей итерации при решении уравнения методом Ньютона пропорциональна квадрату погрешности на предыдущей итерации. Но, высокая скорость нахождения решений гарантирована только в случае выбора близкого к точному решению начального приближения. Если начальное приближение выбрано неверно, то метод может сходится медленно, либо может не сойтись вообще.

---

Список литературы

1. Бахвалов Н.С. Численные методы. - М.: Бином, 2003. - 631 с. - 5 экз.

2. Годунов С.К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М., 2000

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», М., 1978. – 512 с. – ил.

4. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. — М., 2003

5. Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа. — М., 2007

6. Никольский С. М. Курс математического анализа. — М., 2002

7. Пирумов У.Г. Численные методы. - М.: Дрофа, 2003. - 224с. - 5 экз.

8. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. — М., 2000

9. Садов В.Е., Устюгов М.Н. Численные методы при решении технических задач. Уч. пособие. - Челябинск, 1995.

10. Самарский А.А. Введение в численные методы. — М., 2003, 2001.

11. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. — М., 2008

12. Яковлев Г. Н. Функциональные пространства. — М., 2001

---