«Методическое обеспечение курса «алгебра и геометрия» для студентов направления «педагогическое образование»»

Актуальность проблемы, её теоретическая и практическая значимость обусловили тему данного исследования: «Методическое обеспечение курса «Алгебра и геометрия» для студентов направления «Педагогическое образование»».

Цель исследования.

- Систематизировать учебный материал по курсу «Алгебра и геометрия», что позволит студенту самостоятельно изучить соответствующий материал.

Исходя из цели исследования, были поставлены следующие задачи:

- изучить учебно-методическую литературу по курсу «Алгебра и геометрия»;

-систематизировать материал, касающийся лекционных и практических занятий курса «Алгебра и геометрия»;

- привить умение самостоятельно изучать литературу по курсу «Алгебра и геометрия»;

- разработать систему упражнений на закрепление после каждой темы.

Методы исследования. При выполнении работы использовались общенаучные методы исследования: анализ, синтез, обобщение; педагогические методы – работа с научно- педагогической и научно-методической литературой.

Исследование проводилось в три этапа:

I этап. Постановка целей и задач исследования. Сбор материалов по проблеме исследования.

II этап. Уточнение основных понятий, обобщение, систематизация и дополнение собранного материала по теме данного исследования.

III этап. Формулировка общих выводов. Оформление выпускной квалификационной работы.

Практическая значимость данной выпускной квалификационной работы заключается в том, что она может быть внедрена в ВУЗах в качестве некоторых внеурочных форм дополнительных занятий по математике, для углублённого изучения курса «Алгебра и геометрия».

Определение 1.6 Параллельные лучи AB и BD называются сонаправленными, если они располагаются в одной и той же плоскости определяемой прямой AC. В противном случае противоположнонаправленными.

Определение 1.7 Два вектора называются сонаправленными, если лучи их содержащие сонаправлены, в противном случае противоположно направленными.

а)

б)

Определение 1.8 Два вектора и называются равными, если

1)

2)

§2. Сложение и вычитание векторов.

Пусть даны два вектора .Совместим начало вектора с концом (то есть построим вектор , равный , начало которого совпадает с концом отрезка ), тогда направленный отрезок , начало которого совпадает с началом и конец с концом , называется суммой направленных отрезков и .

Указанное выше правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Из правила треугольника легко вытекает правило сложения n векторов. Оно называется правилом многоугольника. Чтобы сложить векторов нужно от произвольной точки пространства отложить , и так далее. Тогда = будет отрезок с началом в начале и концом в конце

Если слагаемые векторы не коллинеарны, то для построения их суммы можно пользоваться другим способом – правилом параллелограмма.

, где - диагональ параллелограмма построенного на векторах .

Разностью векторов понимается вектор такой, что +

Свойство сложения векторов :

1)Для суммы векторов выполняется переместительный закон:

2)Для любых трех векторов имеет место ассоциативный закон:

3) Для любого вектора имеем:

4) Для каждого вектора существует противоположный вектор, т.е. вектор, удовлетворяющий условию:

§3. Умножение вектора на число.

Определение 3.1 Произведение вектора a на число называется такой вектор b удовлетворяющий следующим условиям:

a) , где –абсолютное значение действительного числа

б) и

Такой вектор обозначается через

Свойства операций над векторами:

Ассоциативность (сочетательный закон)

Распределительный закон, относительно сложения векторов

Дистрибутивность (распределительный закон)

Определение 3.1 Ортом вектора называется такой , который коллинеарен и сонаправлен и длина которого равна единице.

1)

2)

Теорема 3.1 Если векторы и коллинеарны и , то существует единственное число , такое что

(1)

Доказательство: Так как векторы , то либо , либо . В первом случае положим , а во втором случае . По определению произведения вектора на число и в первом и во втором случае получаем равенство (1).

Единственность: Предположим, что каким-то другим способом мы нашли число такое, что . Отсюда из равенства (1) следует, что или . Так как , то , т.е. .

Теорема 3.2 Если векторы и компланарны, а векторы , не коллинеарны, то существует единственные числа и такие, что

(2)

Доказательство: отложим от некоторой точки O векторы и . Эти векторы компланарны, поэтому точки O,A,B и C лежат в одной плоскости, причем точки O,A и B не лежат на одной прямой (векторы ).

Если точка C лежит на прямой (рис 3.1, а), то векторы и коллинеарны, поэтому по теореме 3.1 существует такое число , что или . Таким образом, имеет место равенство (2). Рассмотрим случай, когда точка C не лежит на прямой (рис 3.1, б). Проведем прямую , параллельную прямой , где – точка прямой . По правилу треугольника = . Но , , поэтому существуют числа и такие, что , . Следовательно, , т.е. имеет место равенство (2).

Единственность: Предположим, что каким-то другим способом мы нашли числа и такие, что . Из этого и равенства (2) следует или .Пусть и . В самом деле, если , то из предыдущего векторного равенства получаем : , что невозможно, так как по условию теоремы векторы и не коллинеарны.

§4.Линейная зависимость векторов.

Рассмотрим систему векторов (1) и зададим n действительных чисел , ,

Определение 4.1 Выражение вида , (2)

где - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов .

Определение 4.2 Если хотя бы одно из чисел , , отлично от нуля и такие, что = (3) то система векторов (1) называется линейно зависимой.

Определение 4.3 Если все числа , , в выражение (3) равны нулю одновременно то система векторов (1) называется линейно независимой.

При n=1 имеем систему, состоящую из одного вектора. Легко видеть, что такая система будет линейно зависимой тогда и только тогда, когда вектор системы нулевой.

Рассмотрим некоторые свойства системы линейно зависимых векторов:

При n>1 система векторов (1) линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных векторов этой систем.

Доказательство:

Необходимость: Пусть система векторов (1) линейно зависима.Это значит, что имеет место равенство (2), где отлично от нуля по крайней мере одно из чисел , ,

Пусть (k-одно из чисел 1,2,…,n). Равенство (2) перепишем в виде

.

Следовательно, вектор является линейной комбинацией остальных векторов системы (1).

Достаточность: Пусть в системе (1) вектор является линейной комбинацией остальных векторов:

.

Это равенство можно записать так:

и, следовательно, система векторов (1) линейно зависима (так как коэффициент при отличен от нуля).

. Если часть данной системы векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

Доказательство: Пусть дана система векторов (1) и известно, что система векторов (e = .Это равенство можно переписать так:

.

Таким образом, система векторов (1) также линейно зависима.

Система линейно зависимых векторов не содержит нулевого вектора.

Если система векторов линейно независима, то любая её часть также линейно независимо.

Теорема 4.1 Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.

Доказательство:

Необходимость: Пусть система векторов линейно зависима. По свойству хотя бы один из векторов линейно выражается через другой. Следовательно, векторы и коллинеарны.

Достаточность: Пусть векторы и коллинеарны. Если система векторов , линейно зависима. Если , то по теореме о коллинеарных векторах . Отсюда ,т.е. система векторов , линейно зависима.

Теорема 4.2 Система векторов , линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы компланарны.

Доказательство:

Необходимость: Пусть система векторов , линейно зависима: , причем хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Докажем, что векторы , компланарны. Если хотя бы один из коэффициентов и равен нулю, то это утверждение очевидно. Действительно, если, например, , то и по теореме 4.1 векторы и коллинеарны, следовательно, векторы , и компланарны.

Рассмотрим случай, когда . Отложим от некоторой точки вектор , затем от точки вектор . Так как , то , с другой стороны, , поэтому . Через точки и проходит плоскость . Так как , то из равенства и следует, что векторы , и параллельны плоскости , поэтому они компланарны.

Достаточность: Пусть , компланарны. Если , то по теореме 4.1 векторы и линейно зависимы и по свойству система , линейно зависима.Если векторы и не коллинеарны, то по теореме 3.2 . система , линейно зависима.

§5. Понятие n-мерного векторного пространства.

Рассмотрим множество векторов и множество

Определение 5.1 Не пустое множество V, на котором определены две операции :

1)сложение векторов:

2)умножение вектора на число:

И эти 2 операции удовлетворяют следующим аксиомам:

1)аксиомы сложения векторов

а)

б)

в)

г) /

2)аксиомы умножения вектора на число

а)

б)

в)

г)

3)аксиомы размерности

а)существует n- линейно независимых векторов

б) n+1 линейно зависимых векторов

Определение 5.1 Число линейно независимых векторов называется размерностью векторного пространства.

Определение 5.2 Базисом n-мерного векторного пространства называется упорядоченная система n- линейно независимых векторов

Определение 5.3 Базисом 3-мерного векторного пространства называется упорядоченная совокупность 3 линейно независимых векторов или 3 некомпланарных векторов.

Теорема 5.1 Любой вектор можно разложить по векторам базиса

и притом однозначно

Определение 5.4 Коэффициенты в разложение вектора по векторам базиса называются его координатами т.е любому вектору ставится в соответствие упорядоченная тройка чисел и наоборот.

Определение 5.5 Базисом 2-мерного векторного пространства называется упорядоченная система 2-х линейно независимых векторов или 2-х неколлинеарных векторов

Данная работа будет полезна не только для студентов физико-математического факультета, а также для преподавателей ведущих практические занятия по данной дисциплине.

7. Шнеперман Л.Б. Сборник задач по алгебре и теории чисел: Учебное пособие.-Мн.: Выш.школа, 1982.-223 с., ил.