«Методическое обеспечение по курсу «математика» (задачник по алгебре) для направления «информационные системы и технологии»»

В дипломной работе решено рассмотреть разделы: «Системы линейных алгебраических уравнений», «Элементы векторной алгебры», «Аналитическая геометрия». Изложение теоретического материала (основные понятия, формулы) по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров. Также в конце каждой темы приведены примеры для самостоятельного решения студентов.

Мы уделили особое внимание стандартным задачам, достаточного количества которых не хватает студентам для успешного хода учебного процесса.

При составлении методического пособия использованы многочисленные источники для более полного содержания каждой темы.

Определение 1.3. Суммой матриц и одинакового размера называется матрица .

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением.

Итак, по определению

Пример 1.1. Найдем сумму двух матриц

Определение 1.4. Произведением матрицы на вещественное число λ называется матрица , элементы которой равны

Пример 1.2. , λ=3. Найти матрицу .

Решение. B=λA= .

Определение 1.5. Для матрицы типа m×n ее транспонированной матрицей называют матрицу типа n×m с элементами

При транспонировании матрицы ее строки становятся столбцами новой матрицы с сохранением их порядка. Точно так же столбцы исходной матрицы превращаются в строки транспонированной. Поэтому транспонирование можно рассматривать как преобразование симметрии матрицы относительно ее главной диагонали.

Пример 1.3.

Определение 1.6. Произведением матрицы размера m×n и матрицы размера n×p называется матрица размера m×p, элементы которой находятся по формулам

.

Пример 1.5. Найдем произведение двух матриц

= =

Пример 1.6. Даны матрицы и

Найти:

Решение.

Пример 1.7. Вычислить матрицу где

Решение.

Пример 1.8. Найти:

Решение.

Примеры для самостоятельного решения к п.1.

№1.1. Даны матрицы , . Найти: A±B.

№1.2. Найти сумму матриц A и B, если ,

№1.3. Найти матрицу C = −5A+2B, если ,

№1.4. Дана матрица Найти:

№1.5. Определить матрицу, транспонированную для матрицы

№1.6. Найти матрицу С=AT−3B, если

№1.7. Дано: Найти:

№1.8. Найти произведение матриц A ∙ B, если

№1.9. Найти произведение матриц ,

№1.10. Найти произведение матриц

№1.11. Найти матрицу An, если при n=3.

№1.12. Дана матрица . Найти A5.

№1.13. Найти если , , .

№1.14. Выполнить действия над матрицами (A−B2)(2A+B),

где ,

№1.15. Выполнить действия над матрицами A3−(A+B)(A−3B), где ,

2.Определитель матрицы. Миноры и алгебраические дополнения. Свойства определителей.

Определение 2.1. Определителем второго порядка, соответствующим квадратной матрице второго порядка, называется число, равное и обозначаемое:

Пример 2.1. Вычислить определитель второго порядка: .

Решение.

Определитель обладает свойствами:

1) При замене строк соответствующими столбцами величина определителя не изменяется.

2) При перестановке двух строк (столбцов) определитель меняет знак на противоположный.

3) Определитель, у которого элементы строк (столбцов) пропорциональны (или равны), равен нулю.

4) Общий множитель строки (столбца) можно вынести за знак определителя.

5) Определитель не изменится, если к элементам его строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на любое число.

Определение 2.1. Определителем третьего порядка, соответствующим

квадратной матрице называется число

Определитель третьего порядка обладает всеми свойствами определителя второго порядка.

Определение 2.2. Минором элемента , где определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием i−й строки и j−го столбца. Так, например, минор M23 элемента a23 есть определитель

Определение 2.3. Алгебраическим дополнением элемента , где , называется минор этого элемента, взятый со знаком т.е.

где

Например, и т.д.

Свойство 2.1. (Разложение определителя по элементам строки или столбца)

Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Иными словами:

Пример 2.2. Вычислить определитель

Решение. Рассмотрим различные схемы вычисления данного определителя.

Итак, по определению,

1) Правило треугольника. Заметим, что первые три слагаемых, стоящих со знаком плюс, представляют собой произведение элементов определителя, взятых по три так, как указано различными пунктирами на нижеприведенной схеме:

Последние же три слагаемых, стоящих в со знаком минус, представляют собой произведение элементов, взятых по три так, как указано различными пунктирами на следующей схеме:

Правило составления шести слагаемых, входящих в выражение для определителя, опирающееся на указанные две схемы, обычно называют правилом треугольника.

Итак,

2) Метод разложения. По теореме 2.1, раскладывая определитель по элементам, например, первой строки, получим

Аналогично, если определитель разложить по элементам, например, второго столбца, получим тот же результат:

3) Метод предварительного получения нулей. Данный метод наиболее эффективен, если в определителе имеется строка (столбец), содержащая максимальное количество нулей.

Выберем в качестве базовой строки первую строку и умножив ее на (–2), прибавим ко второй строке. Тогда

Умножая базовую строку на 3 и прибавляя к третьей, получим

Так как в определителе первый столбец содержит два нулевых элемента, то по теореме разложения раскладывая Δ по элементам первого столбца, получим

Определение 2.3. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице n-го порядка, называется число

где есть определители (n–1)-го порядка, полученные из данного вычеркиванием его первой строки и соответственно первого, второго,… , n-го столбцов.

Определение 2.4. Минором элемента , определителя n-го порядка называется определитель (n–1)-го порядка, полученный из Δ вычеркиванием его i-й строки и j-го столбца.

Пример 2.4. Вычислить определитель

Решение. Перед использованием свойства 2.1 наиболее целесообразно преобразовать определитель так, чтобы все элементы какой–либо строки (или столбца), кроме одного, обратились в 0. Например, сделаем так, чтобы в 1-м столбце все элементы, кроме первого, были равны нулю.

Для этого:

1) к элементам первой строки прибавим соответствующие элементы третьей строки;

2) умножив элементы первой строки на (–2), прибавим их к соответствующим элементам четвертой строки. Раскладывая далее полученный определитель по элементам первого столбца, найдем

Примеры для самостоятельного решения к п.2.

№2.1. Дана матрица . Найти определитель транспонированной матрицы.

№2.2. Вычислить определитель второго порядка: .

№2.3. Вычислить если

№2.4. Вычислить миноры M11, M12, M21, M22 определителя матрицы

№2.5. Вычислить миноры M23, M33, M13, M22 определителя матрицы

№2.6. Вычислить алгебраическое дополнение А21,A11,A22 определителя матрицы

№2.7. Вычислить алгебраическое дополнение A12,A13,A22,A23 определителя матрицы

№2.8. Найти определитель третьего порядка по правилу треугольников:

№2.9. Найти определитель третьего порядка по правилу треугольников:

№2.10. Вычислить определитель, используя его свойства: .

№2.11. Вычислить определитель третьего порядка разложением по какой - либо строке или столбцу: .

№2.12. Вычислить определитель третьего порядка разложением по какой - либо строке или столбцу: .

№2.13. Вычислить минор M11,М31,M44 определителя матрицы .

№2.14. Решить уравнение:

№2.15. Вычислить определитель четвертого порядка: .

3. Невырожденная и обратная матрица. Матричные уравнения.

Ранг матрицы.

Дана квадратная матрица A порядка n.

Определение 3.1. Пусть A — квадратная матрица порядка n. Квадратную матрицу B того же порядка называют обратной к A, если

AB = BA = E, где E — единичная матрица порядка n.

Обратную матрицу обозначают A-1. Она позволяет определить целую отрицательную степень матрицы A. А именно, для п > 0 полагают

Теорема 3.1. Если квадратная матрица А имеет обратную матрицу, то обратная матрица единственная.

Квадратная матрица не всегда имеет обратную. Установить, имеет ли данная матрица обратную, позволяет следующий критерий.

Теорема 3.2. Для того чтобы квадратная матрица A порядка n имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы det A ≠ 0.

Следствие 3.1. Если квадратная матрица A имеет обратную, то

Определение 3.2. Квадратную матрицу с ненулевым определителем называют невырожденной. В противном случае, когда определитель матрицы равен нулю, ее называют вырожденной. Итак, для существования обратной матрицы A-1 необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной.

Теорема 3.3. Если квадратные матрицы A и B порядка n имеют обратные матрицы, то и их произведение имеет обратную матрицу, причем (AB)-1=B-1A-1.

Теорема 3.4. Если матрица A порядка n имеет обратную, то и транспонированная матрица AT имеет обратную, причем (AT)-1 = (A-1)T.

Пример 3.1. Найти матрицу A−1, если

Решение. Для начала выясним, является ли матрица A невырожденной.

Так как определитель Δ = 5 ≠ 0, то матрица A невырожденная и имеет обратную матрицу A−1.

, где

Подставляя найденные числа в формулу для A-1, получим

Ответ.

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу A размера m×n.

Выделим в ней k строк и k столбцов (k ≤ min(m;n)). Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы.

Определение 3.3. Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы.

Обозначение ранга матрицы A: rangA (либо rgA).

Если квадратная матрица порядка n невырождена, то ее ранг равен ее порядку n: ненулевым является единственный минор максимального порядка n, совпадающий с определителем матрицы. В частности, ранг единичной матрицы E порядка n равен n.

Если квадратная матрица вырождена, то ее ранг меньше ее порядка: единственный минор максимального порядка, равного порядку матрицы, является нулевым, и в этом случае ненулевые миноры имеют меньший порядок. Ранг нулевой матрицы полагают равным нулю.

Ранг диагональной матрицы равен количеству ее ненулевых диагональных элементов.

Определение 3.4. Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным.

У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Для следующей матрицы А ее ранг равен 1:

Свойство 3.1. Если ранг матрицы равен r, то матрица имеет хотя бы один минор порядка r, не равный нулю, а все ее миноры больших порядков равны 0.

Теорема 3.5. При транспонировании матрицы ее ранг не меняется, т.е.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в

следующем. Необходимо:

1) Найти какой-нибудь минор M1 первого порядка, отличный от нуля. Если такого минора нет, то матрица нулевая и

2) Вычислить миноры 2-го порядка, содержащие M1 (окаймляющие M1) до тех пор, пока не найдется минор M2, отличный от нуля. Если такого минора нет, то если есть, то и т.д.

…

k) вычислить (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие миноры . Если таких миноров нет, или они все равны нулю, то ; если есть хотя бы один такой минор , то , и процесс продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его

только среди миноров, содержащих минор .

Для более полного содержания каждой темы при составлении методического пособия использованы многочисленные источники.

5. Ильин В.А., Позняк Э.Г. - Аналитическая геометрия, Классический университетский учебник, М.: Физматлит, 2004.

6. Ильин В.А., Позняк Э.Г. – Линейная алгебра, Классический университетский учебник, М.: Физматлит, 2005.

7. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Учебное пособие для ВУЗОВ/Под ред. Н.В. Ефимова– 1-е изд., испр. – М.:Наука, 2002. – 224 с.

8. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). — М: Высшая школа, 1983.

9. Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа (под редакцией А.В. Ефимова и Б.П. Демидовича). - М.: Наука, 2003. – 478 с.

10. Сборник задач по математике для втузов. В 4-х частях. Под ред. Ефимова А.В., Поспелова А.С., М.: Физматлит, 2001-2003.