«Математические методы в психологии ВАРИАНТ-7»

Задачи

№1. Исследовалась мотивация к избеганию неудач по методике Т.Элерса. Исследование проводилось на базе факультета психологии. Участники исследования - студенты первого курса. Объем выборки – 60 студентов. Уровень мотивации определяется исходя из набранных баллов. Чем больше сумма баллов, тем выше уровень мотивации к избеганию неудач, защите. Уровень мотивации определяется следующим образом: низкая мотивация к защите - от 2 до 10 баллов; средний уровень - от 11 до 16 баллов; высокий уровень - от 17 до 20 баллов; слишком высокий уровень мотивации к избеганию неудач, защите - свыше 20 баллов.

Результаты измерения мотивации к избеганию неудач: 17, 18, 16, 16, 12, 13, 15, 14, 14, 13, 20, 11, 12, 4, 12, 5, 12, 22, 18, 6, 15, 17, 16, 15, 12, 6, 14, 20, 3, 17, 8, 19, 11, 5, 4, 15, 7, 19, 15, 13, 15, 18, 19, 18, 13, 3, 17, 10, 16, 14, 21, 18, 15, 20, 26, 10, 17, 13, 17, 18.

Провести первичную обработку полученных результатов, построить полигон частот, гистограмму. Проверить соответствие эмпирического распределения нормальному распределению. Построить гистограмму по сгруппированным данным, где по оси «Х» откладывается уровень мотивации, по оси «Y» процент студентов имеющих данный уровень мотивации.

№ 2. Решить задачу, обосновав выбор статистического критерия. Для случайной выборки из 6 учеников каждой школы в таблице представлены результаты контрольного задания, содержащего 10 задач.

Номер школы

№1 №2 №3 №4

Результаты учеников 4 8 6 6

5 9 7 9

6 9 10 8

9 7 5 4

6 7 8 6

5 8 10 7

Одинакова ли подготовленность по заданному предмету учеников пятых классов трех различных школ?

№ 3. Для проверки гипотезы о равномерном распределении возрастного состава большого лагеря отдыха, где отдыхала молодежь от 16 до 24 лет, была организована случайная выборка отдыхающих объемом n=144. Данные по возрастным интервалам представлены в таблице.

Интервалы (в годах) Число отдыхающих

[16-17) 16

[17-18) 17

[18-19) 19

[19-20) 16

[20-21) 24

[21-22) 19

[22-23) 17

[23-24) 16

Дисперсионный анализ (от латинского Dispersio – рассеивание / на английском Analysis Of Variance - ANOVA) применяется для исследования влияния одной или нескольких качественных переменных (факторов) на одну зависимую количественную переменную.

•

Сущность дисперсионного анализа заключается в расчленении общей дисперсии изучаемого признака на отдельные компоненты, обусловленные влиянием конкретных факторов, и проверке гипотез о значимости влияния этих факторов на исследуемый признак. Сравнивая компоненты дисперсии друг с другом посредством F—критерия Фишера, можно определить, какая доля общей вариативности результативного признака обусловлена действием регулируемых факторов.

Исходным материалом для дисперсионного анализа служат данные исследования трех и более выборок, которые могут быть как равными, так и неравными по численности, как связными, так и несвязными.

В основе дисперсионного анализа лежит предположение о том, что одни переменные могут рассматриваться как причины (факторы, независимые переменные), а другие как следствия (зависимые переменные). Независимые переменные называют иногда регулируемыми факторами именно потому, что в эксперименте исследователь имеет возможность варьировать ими и анализировать получающийся результат.

Основной целью дисперсионного анализа (ANOVA) является исследование значимости различия между средними с помощью сравнения (анализа) дисперсий. Разделение общей дисперсии на несколько источников, позволяет сравнить дисперсию, вызванную различием между группами, с дисперсией, вызванной внутригрупповой изменчивостью.

Задача дисперсионного анализа состоит в том, чтобы из общей вариативности признака вычленить вариативность троякого рода:

- вариативность, обусловленную действием каждой из исследуемых независимых переменных,

- вариативность, обусловленную взаимодействием исследуемых независимых переменных,

- случайную вариативность, обусловленную всеми другими независимыми переменными.

Нулевая гипотеза в дисперсионном анализе будет гласить, тчо средние величины исследуемого результативного признака во всех градациях одинакова.

При истинности нулевой гипотезы (о равенстве средних в нескольких группах наблюдений, выбранных из генеральной совокупности), оценка дисперсии, связанной с внутригрупповой изменчивостью, должна быть близкой к оценке межгрупповой дисперсии. Если вы просто сравниваете средние в двух выборках, дисперсионный анализ даст тот же результат, что и обычный t-критерий для независимых выборок (если сравниваются две независимые группы объектов или наблюдений) или t-критерий для зависимых выборок (если сравниваются две переменные на одном и том же множестве объектов или наблюдений).

Альтернативная гипотеза будет утверждать, что средние величины результативного признака в разных градациях исследуемого фактора различны.

В зарубежной психологии чаще говорят о переменных, действующих в разных условиях, а не о факторах и градациях. Т.К. градации предполагают, что сила признака возрастает при переходе от одного к другому. А схема дисперсионного анализа применима и в тех влучаях, когда градация фактора представляет собой номинативную шкалу, то есть отличается лишь качественно. Например: градациями фактора могут быть: параллельные формы экспериментальной задачи, цвет окраски стимулов и т.д.

Экспериментальные данные, представленные по градациям фактора, называются дисперсионным комплексом.

По количеству выявляемых регулируемых факторов дисперсионный анализ может быть

– однофакторным (при этом изучается влияние одного фактора на результаты эксперимента),

– двухфакторным (при изучении влияния двух факторов),

– многофакторным (позволяет оценить не только влияние каждого из факторов в отдельности, но и их взаимодействие).

Однофакторный дисперсионный анализ.

Основной целью дисперсионного анализа является исследование влияния фактора на зависимую переменную. Оценка происходит путем определения значимости различия между средними градациями фактора.

Однофакторный дисперсионный анализ направлен на проверку гипотезы о влиянии фактора на зависимую переменную. Он позволяет выявить изменчивость зависимой переменной при разных уровнях фактора. При этом для проведения оценки изменчивости признака под воздействием фактора необходимо соблюдение определенных требований:

– выборки должны быть случайными и независимыми,

– дисперсии статистически не должны различаться – либо объем выборок одинаков, либо достаточно большой,

– численность выборок должна составлять не меньше 5 случаев. Каждая выборка соответствует одному уровню фактора.

Многофакторный ANOVA применяется для оценки влияния нескольких факторов на зависимую переменную. Многомерный анализ не меняет общую логику дисперсионного анализа, а лишь несколько усложняет ее, поскольку помимо оценки влияния факторов проводится оценка их совместного действия на зависимую переменную. Данные, которые обрабатываются дисперсионным анализом, обозначают в соответствии с количеством факторов и их уровней. Если производится оценка влияния двух факторов, первый из которых имеет 2 уровня, а второй – 3, то схема факторного плана обозначается 2×3.

Дисперсионный анализ относится к группе параметрических методов и поэтому его следует применять только тогда, когда доказано, что распределение является нормальным.

Дисперсионный анализ используют, если зависимая переменная измеряется в шкале отношений, интервалов или порядка, а влияющие переменные имеют нечисловую природу (шкала наименований).

АЛГОРИТМ ПРОВЕДЕНИЯ ДИСПЕРСИОННОГО АНАЛИЗА ПО УПРОЩЕННОМУ ВАРИАНТУ

Алгоритм проведения дисперсионного анализа по упрощенному способу позволяет получить те же результаты, но расчеты выполняются значительно проще:

Результаты измерения мотивации к избеганию неудач: 17, 18, 16, 16, 12, 13, 15, 14, 14, 13, 20, 11, 12, 4, 12, 5, 12, 22, 18, 6, 15, 17, 16, 15, 12, 6, 14, 20, 3, 17, 8, 19, 11, 5, 4, 15, 7, 19, 15, 13, 15, 18, 19, 18, 13, 3, 17, 10, 16, 14, 21, 18, 15, 20, 26, 10, 17, 13, 17, 18.

Провести первичную обработку полученных результатов, построить полигон частот, гистограмму. Проверить соответствие эмпирического распределения нормальному распределению. Построить гистограмму по сгруппированным данным, где по оси «Х» откладывается уровень мотивации, по оси «Y» процент студентов имеющих данный уровень мотивации.

Гистограмма позволяет наглядно представить распределение первичных данных. Графическое представление распределения различных значений с учетом их частот называют столбиковой диаграммой.

Для качественных данных используют группировку. Группировка состоит в основном в том, что объединяют данные с одинаковыми или близкими значениями в классы и определяют частоту для каждого класса. Способ разбиения на классы зависит от того, что именно экспериментатор хочет выявить при разделении измерительной шкалы на равные интервалы.

Меры центральной тенденции – характеристики совокупности переменных (признаков) указывающие на наиболее типичный, репрезентативный для изучаемой выборки результат. К мерам центральной тенденции относятся средне арифметическое, мода, медиана.

Среднее определяется по формуле:

Мода (Мо) – наиболее часто встречаемое значение вариационного ряда.

Варианты определения моды:

1. Если в вариационном ряду лишь одно значение встречается наиболее часто, то мода равна этому значению (варианте).

2. Если два соседних значения имеют одинаковую частоту и эта частота больше частот других значений, то мода вычисляется как средне арифметическое из этих двух значений.

3. Если два наиболее часто встречаемых значения находятся не рядом, между ними есть значение с меньшей частотой встречаемости, то распределение имеет две моды (бимодальное распределение).

Медиана (Ме) – значение вариационного ряда, делящее этот ряд на две равные части, так что количество значений справа от медианы, равно количеству значений слева от медианы.

Медиана рассчитывается по формуле:

Меры изменчивости – это статистические показатели вариации (разброса) признака (переменной) относительно среднего значения, степени индивидуальных отклонений от центральной тенденции распределения. К мерам изменчивости относятся: вариационный размах, дисперсия, стандартное отклонение.