«Регуляризованные следы дифференциальных операторов»

Для случая, когда коэффициент имеет особенность (нуль или полюс), обычно применялся метод «склеивания» решений, при котором выделяется окрестность особой точки и в ней отдельно находится решение, которое затем склеивается с решением в остальной части интервала. Этот процесс склеивания представляет известные затруднения, а кроме того, не даёт аналитической наглядности решения во всём интервале. Естественным поэтому является стремление получить единое асимптотическое представление решения во всём интервале, включая особую точку.

В [3] были получены такие представления решений уравнения (1) в случае, когда имеет нуль первого порядка в замкнутом интервале .Для особенностей коэффициента более сложного вида не было ещё получено общих результатов, хотя в ряде работ для конкретных дифференциальных уравнений и удавалось находить нужные асимптотические представления.

Здесь мы рассмотрим два особых типа дифференциального уравнения (1).

первый тип

(2)

).

второй тип

(3)

Второй тип (2) мы выделили из других особых типов потому, что к нему относится ряд классических дифференциальных уравнений.

Метод, применяемый для нахождения асимптотических представлений решений уравнений типа (2) или (3), один и тот же. Сущность его состоит в том, что решение данного конкретного уравнения выражается через решения «эталонного» уравнения.

Как нужно выбирать «эталонное» уравнение? Если мы рассмотрим уравнение (1), исследованное Горном ( >0, >0), то заметим, что при больших решения уравнения быстро колеблются (или вообще изменяются) и на малом интервале независимой переменной, но таком, что интеграл уравнения успевает совершить полное колебание, коэффициенты уравнения ещё почти не изменятся. Таким образом, на протяжении каждой «волны» решения его поведение близко к синусоиде, то есть к интегралу такого уравнения, в котором коэффициенты и заменены постоянными, a — нулём. Лишь при прохождении нескольких «волн» решения коэффициенты изменятся заметно, так что решение будет вести себя близко к колеблющемуся, но уже с другой частотой, амплитудой и фазой. Отсюда понятно, что решение уравнения в этом случае можно описать выражением вида , где и — медленно (по сравнению с решением уравнения) меняющиеся функции.

Так как и являются решениями уравнения , то для уравнения типа (1) эталонным является такое, в котором коэффициенты (не обращающиеся здесь в нуль или бесконечность) заменены постоянными величинами.

Если коэффициент обращается в нуль или имеет полюс некоторого порядка ( обращается в нуль), то вышеизложенные рассуждения теряют смысл, так как в окрестности нуля (или полюса), как бы быстро ни колебалось решение уравнения, коэффициенты уравнения относительно сильно изменятся, так что при представлении решения в виде функции отнюдь не будут медленно меняющимися функциями, и подобный вид решения не позволит его найти.

Следовательно, «эталонное» уравнение должно точно изображать особенность поведения коэффициентов данного уравнения: коэффициенты его должны иметь нули и полюсы того же порядка, что и коэффициенты данного уравнения.

Эталонное уравнение, через решения которого мы будем находить решения данного уравнения, согласно сказанному выше будет строиться следующим образом: те коэффициенты исходного уравнения, которые во всём интервале не меняют знака и остаются ограниченными, заменяются постоянными величинами; с другой стороны, эталонное уравнение должно сохранять все особенности исходного уравнения (при этом обращение в нуль коэффициента при большом параметре с точки зрения асимптотических представлений является тоже особенностью).

Рассмотренные ниже конкретные типы уравнений ясно проиллюстрируют применение этого метода «эталонных» уравнений. Во всех исследованных до сих пор случаях (например в работах [3]) именно этот метод и применялся. (в [3] применялся термин «присоединённое уравнение» вместо нашего - «эталонное» уравнение.)

Мы начнём с подробного рассмотрения уже известного случая, когда в уравнении типа (2) имеет нуль первого порядка. Затем более бегло исследуем общий случай уравнения типа (2) и уравнение (3).

Обозначим через и два линейно независимых решения этого уравнения, такие что

(1.4)

Решение уравнения (1.1) будем искать в виде

(1.5)

Подставив выражение (1.5) в (1.1), получим

(1.6)

Уравнение (1.3) позволяет представить выражения в фигурных скобках при и в виде

Поэтому, полагая

(1.7)

мы уничтожим в выражении члены, содержащие высшие степени , то есть члены порядка и выше. Решая уравнение (1.7), получим

(1.8)

(1.9)

(1.10)

Производная при выполнении условий (1.2) отлична от нуля в интервале в частности,

(1.11)

Приравнивая далее нулю выражения при и , уничтожим в члены порядка . Для и это даёт уравнение

(1.12)

и такое же уравнение для .

Из (1.12) имеем

Решая последние уравнения, получим

(1.13)

(1.13’)

Если теперь

(1.14)

или

(1.15)

то равно нулю и общим решением уравнения (1.1) будет

(1.16)

При произвольном в выражении останутся только члены порядка в нулевой степени, в то время как члены порядка и уничтожаются. Это позволяет ожидать, что в общем случае решение уравнения (1.1) будет асимптотически стремиться к функции , определённой формулой (1.16). Для доказательства этого положения запишем уравнение (1.1) в виде

(1.17)

где (1.18)

(1.19)

(1.20)

Применим метод последовательных приближений к решению этого уравнения, полагая

(1.21)

Два линейно независимых решения уравнения (1.17) будем искать в виде

(1.22)

Причём и подчиним условиям

(1.23)

Подставив в уравнение (1.17) выражения (1.22) с учётом того, что (1.24)

удовлетворяют уравнению получим

. (1.25)

Приведём, далее, уравнение (1.25) к интегральному уравнению Вольтерра. Рассматривая правую часть его как известную функцию, положим

(1.26)

Подставив эти выражения в (1.25), получим

(1.27)

Уравнение (1.27) и третье из уравнений (1.26) определяют и :

Вронскиан функций и есть постоянная величина, так как дифференциальное уравнение , решениями которого являются функции и , не содержит производной , и следовательно, (здесь учтены условия (1.4) для функций и ). Отсюда получим, приняв во внимание условия (1.23), получаем

и, следовательно, интегральные уравнения Вольтерра для функций и запишутся в виде

(1.28)

(1.29)

Так как функции и ограничены в интервале то уравнения (1.28) и (1.29) имеют единственное решение в этом интервале, которое можно получить обычным методом последовательных приближений.

При этом и представятся сходящимися рядами

(1.30)

Где

(1.31)

Перейдём теперь к оценке поправок и . Для этого оценим сначала и . Рассмотрим отдельно случаи положительных и отрицательных значений х.