«Свойства функции м. отелбаева»

Рассмотрим функцию N(λ)= - число собственных значений оператора L, меньших λ. Задача, изученния поведения функции N(λ), является одной из основных в спектральной теории операторов. Решить эту задачу только при условии q(x) не удается. Поэтому на функцию q(x) приходиться накладывать дополнительные довольно жесткие условия.

В главе I дипломной работы подробно разобран метод тауберовых теорем. Показано, что функция q(x) не может быть колеблющейся, например, вида , <1.

В 1997 году М. Отелбаев ввел в рассмотрение функцию , которая определяется по функции неявным образом:

1= , .

Функция является усреднением функции . Оказалось, что для плохих может оказаться хорошей. В дипломной работе изучены свойства функции на примере колеблющейся функции

. Показано, что

2. Если q(x)=xα, то ~αxα-1.

3. Если α>0, то =α .

4. А(х)= , если β>1- , то =о(

Если M(λ) любая строго монотонная неотрицательная функция, которая при больших положительных λ совпадает с функцией

М (λ)= dx,

а F(λ) – функция, обратная ( в смысле преобразования) к функции М (λ), то при q(x) 1 и q(x) K спектр оператора L дискретен и справедлива асимптотическая формула

λn= F(n) (1+o(1)),

где λn ,n=1,2,…-собственные числа оператора L.

Помимо условия (2.1) предположим что =+ (2.2)

Таким образом, согласно теоремам 1.1 и 1.2, будем иметь самосопряженный оператор с дискретным спектром с единственной предельной точкой в + .

Через λ1, λ2,…, λn,…обозначим собственные числа оператора, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности, а через N(λ) –функцию их распределения N(λ ) (2.3)

Метод тауберовых теорем исследования асимптотики N(λ) (λ→∞) состоит из двух частей: первая (главная) заключается в оценке резольвенты R(λ,L) -1 оператор L при λ→∞, а вторая – в использование тауберовых теорем .

По этой причине условия, налагаемые на потенциал q(x), при исследовании функции N(λ) подразделяются на условия, обеспечивающие получение хороших оценок R(λ,L), и условия обеспечивающие применимость тауберовых теорем. В монографиях [1,2] в группу условий первого типа включено условие, ограничивающее рост потенциала, так как считалось, что оно необходимо.

Для получения оценок функции Грина (или резольвенты) оператора Штурма-Лиувилля условие, ограничивающее рост потенциала, не нужно [3].

Помимо (2.1) и (2.2) на потенциал q(x) наложим следующие ограничения:

sup {q-α(x) -1 }< , (2.4)

где 0 . Условие (2.4)- типичное условие регулярности потенциала. Оно может быть ослаблено [3]. Приведем его в простой форме для упрощения выкладок. Пользуясь им, изложим способ оценки резольвенты оператора (1.1).

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (2.1), (2.2) и (2.4). Тогда при достаточно больших положительных λ имеет место равенство

-1= (λ)(E- - (λ))-1.

Причем -ε)), где ε>0, ( ) при λ→∞. Здесь Mi(λ) (i=1,2,3)-интегральные операторы:

(Mi(λ)f)( )= ,

ядра которых определяются формулами:

= M (q(x)-q(η)) r (η-x),

= M r (η-x),

= -2 (η-x)-M (η-x), где

M = (q(x)+λ)-1/2exp(- )

и, наконец, r(t)- бесконечно гладкая функция, равная 1 при

В теореме 1.2.1 дается полезное представление резольвенты. При ее использовании важно, что ядро при обращается в нуль. Формулы, имеющие такие качественные свойства, верны для широкого класса эллиптических дифференциальных или псевдодифференциальных операторов.

Для дальнейших рассмотрений нам потребуется следующая лемма, позволяющая оценивать нормы интегральных операторов.

Лемма 2.1. Пусть К- интегральный оператор из L2( ) в L2( ) с ядром К(x,η), где Ω- произвольный интервал Ω I=(-∞,∞). Тогда справедливо неравенство

dη)+ ( dx). (2.5)

Отметим без доказательства, что если Ω=I, а ядро зависит только от разности х-η и неотрицательно (или неположительно), то неравенство (2.5) превращается в равенство.