«Свойства функции м. отелбаева» - Дипломная работа

Содержание

ВВЕДЕНИЕ….3

I. МЕТОД ТАУБЕРОВЫХ ТЕОРЕМ ВЫЧИСЛЕНИЯ АСИМПТОТИКИ НА ПРИМЕРЕ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ….5

II. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ М. ОТЕЛБАЕВА…17

ЗАКЛЮЧЕНИЕ….20

ЛИТЕРАТУРА…21

---

Введение

Оператором Штурма-Лиувилля называется обыкновенный дифференциальный оператор второго порядка, порожденный дифференциальным выражением

Ly=-y’’+q(x)y, a x b

и краевыми условиями, например, у(а)=0, у(b)=0.

Если q(x) непрерывна на [a,b], то оператор назовем регулярным. Если [а,b)-бесконечный интервал, то назовем оператор сингулярным. Мы будем рассматривать сингулярный оператор L:

Ly=-y’’+q(x)y, y(0)=0, y(x) L2(0,+ .

Собственным значением оператора L называется число λ, для которого существует у 0, y L2(0, , удовлетворяющая краевым условиям y(0)=0, y(x) L2(0,+ и такая, что Ly=λу. В отличие от конечномерного случая, когда у матрицы конечное число собственных значений, дифференциальные операторы, как правило, имеют бесконечное число собственных значений λn, n=1,2,… . Известно, что если q(x) , то оператор L имеет счетную последовательность собственных значений λn + .

Рассмотрим функцию N(λ)= - число собственных значений оператора L, меньших λ. Задача, изученния поведения функции N(λ), является одной из основных в спектральной теории операторов. Решить эту задачу только при условии q(x) не удается. Поэтому на функцию q(x) приходиться накладывать дополнительные довольно жесткие условия.

В главе I дипломной работы подробно разобран метод тауберовых теорем. Показано, что функция q(x) не может быть колеблющейся, например, вида , <1.

В 1997 году М. Отелбаев ввел в рассмотрение функцию , которая определяется по функции неявным образом:

1= , .

Функция является усреднением функции . Оказалось, что для плохих может оказаться хорошей. В дипломной работе изучены свойства функции на примере колеблющейся функции

. Показано, что

2. Если q(x)=xα, то ~αxα-1.

3. Если α>0, то =α .

4. А(х)= , если β>1- , то =о(

Если M(λ) любая строго монотонная неотрицательная функция, которая при больших положительных λ совпадает с функцией

М (λ)= dx,

а F(λ) – функция, обратная ( в смысле преобразования) к функции М (λ), то при q(x) 1 и q(x) K спектр оператора L дискретен и справедлива асимптотическая формула

λn= F(n) (1+o(1)),

где λn ,n=1,2,…-собственные числа оператора L.

---

Выдержка из текста работы

I. МЕТОД ТАУБЕРОВЫХ ТЕОРЕМ ВЫЧИСЛЕНИЯ АСИМПТОТИКИ НА ПРИМЕРЕ ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ

1.На примере оператора Штурма-Лиувилля Ly=-y’’+q(x)y (1.1) продемонстрируем метод тауберовых теорем (или метод Карлемана) для вычисления асимптотики распределения собственных чисел. Наиболее обстоятельно этот вопрос рассмотрен Б.М. Левитаном и И.С. Саргсяном [1], А. Г. Костюченко и И.С. Саргсяном [2].

2.Рассмотрим L2(I) оператор (1.1). Условие inf{q(x): x }>-∞ (1.2) заменим более удобным условием q(x) (2.1)

которое не является менее общим, чем (1.2), так как из (1.2), не ограничивая общности, можно прийти к (2.1), совершив сдвиг по спектру, т.е. рассматривая вместо оператора -y’’+q(x)y оператор -y’’+(q(x)- 0+I)y, где 0 – нижняя грань q(x).

Помимо условия (2.1) предположим что =+ (2.2)

Таким образом, согласно теоремам 1.1 и 1.2, будем иметь самосопряженный оператор с дискретным спектром с единственной предельной точкой в + .

Через λ1, λ2,…, λn,…обозначим собственные числа оператора, занумерованные в порядке возрастания с учетом кратности, а через N(λ) –функцию их распределения N(λ ) (2.3)

Метод тауберовых теорем исследования асимптотики N(λ) (λ→∞) состоит из двух частей: первая (главная) заключается в оценке резольвенты R(λ,L) -1 оператор L при λ→∞, а вторая – в использование тауберовых теорем .

По этой причине условия, налагаемые на потенциал q(x), при исследовании функции N(λ) подразделяются на условия, обеспечивающие получение хороших оценок R(λ,L), и условия обеспечивающие применимость тауберовых теорем. В монографиях [1,2] в группу условий первого типа включено условие, ограничивающее рост потенциала, так как считалось, что оно необходимо.

Для получения оценок функции Грина (или резольвенты) оператора Штурма-Лиувилля условие, ограничивающее рост потенциала, не нужно [3].

Помимо (2.1) и (2.2) на потенциал q(x) наложим следующие ограничения:

sup {q-α(x) -1 }< , (2.4)

где 0 . Условие (2.4)- типичное условие регулярности потенциала. Оно может быть ослаблено [3]. Приведем его в простой форме для упрощения выкладок. Пользуясь им, изложим способ оценки резольвенты оператора (1.1).

Теорема 2.1. Пусть выполнены условия (2.1), (2.2) и (2.4). Тогда при достаточно больших положительных λ имеет место равенство

-1= (λ)(E- - (λ))-1.

Причем -ε)), где ε>0, ( ) при λ→∞. Здесь Mi(λ) (i=1,2,3)-интегральные операторы:

(Mi(λ)f)( )= ,

ядра которых определяются формулами:

= M (q(x)-q(η)) r (η-x),

= M r (η-x),

= -2 (η-x)-M (η-x), где

M = (q(x)+λ)-1/2exp(- )

и, наконец, r(t)- бесконечно гладкая функция, равная 1 при

В теореме 1.2.1 дается полезное представление резольвенты. При ее использовании важно, что ядро при обращается в нуль. Формулы, имеющие такие качественные свойства, верны для широкого класса эллиптических дифференциальных или псевдодифференциальных операторов.

Для дальнейших рассмотрений нам потребуется следующая лемма, позволяющая оценивать нормы интегральных операторов.

Лемма 2.1. Пусть К- интегральный оператор из L2( ) в L2( ) с ядром К(x,η), где Ω- произвольный интервал Ω I=(-∞,∞). Тогда справедливо неравенство

dη)+ ( dx). (2.5)

Отметим без доказательства, что если Ω=I, а ядро зависит только от разности х-η и неотрицательно (или неположительно), то неравенство (2.5) превращается в равенство.

---

Заключение

Спектральная теория оператора Штурма-Лиувилля играет важную роль в различных задачах естествознания. Исследования в этой области проводятся около двух сот лет. Как правило, на потенциальную функцию q(x) накладывались условия правильности роста, что запрещало этой функции быть, например, колеблющейся. Мы исследовали случай колеблющейся функции q(x).

---

Список литературы

1. Левитан Б.М., Саргсян И.С. Введение в спектральную теорию. М.: Наука, 1970.

2. Костюченко А.Г., Саргсян И.С. Распределение собственных значений. М.: Наука, 1979.

3. Отелбаев М.О. К методу Титчмарша оценки резольвенты //Доклады АН СССР.- Т. 211, №4.-стр. 153-157. 1973.

4. Эдвардс Р. Функциональный анализ. М.: Мир, 1969.

5. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

6. Отелбаев М.О. Оценки собственных чисел сингулярных дифференциальных операторов. Матем. Заметки.-Т.-20, №6.-стр. 859-867. 1976.

---

Примечания

К работе прилагается презентация.