«Периодические решения одной системы дифференциальных уравнений»

Теорема 3. Пусть существуют числа R>0,p>0 такие что

1) на множестве S выполняется неравенство ;

2) матрица B, вектор-функции T,N удовлетворяют условию (*);

3) матрица имеет вид , где функции непрерывны по  и имеют непрерывные частные производные по  в S;

4) , , где , , ;

5) в системе уравнений (1) , непрерывные функции, определенные на множестве , такие что

, , , , , .

Тогда 0=0 бифуркационное значение параметра  системы уравнений (1).

Доказательство. Задача нахождения периодических решений системы уравнений (1) сводится к нахождению периодических решений системы уравнений (2).

Согласно автономности системы уравнений (1), период искомого периодического решения будет отличаться от периода 0, порождающего решения (=0), таким образом положим его равным , причем 0, 00, должно удовлетворять условию cos(0) 0=1, sin (0) 0=0.

Матрицу решений системы уравнений (2) представим в виде :

, (4)

где Z(t,) – матрица решений системы уравнений ,

матрица является решением системы дифференциальных уравнений , причем ||()|| 0 при || || 0 равномерно по .

Пусть множество всех вектор-функций , таких, что для любых значений выполняется соотношение , где k>0 некоторое постоянное число, а .

Множество выпуклое, замкнутое, компактное.

Зафиксируем некоторую функцию . Пусть >0 произвольное число. Если вектор-функция y(t,) удовлетворяет равенству (3), то она является решением системы уравнений (2). Найдем условия при которых вектор-функция y(t,) определенная равенством (3) удовлетворяет условиям

(5)

Нас интересуют -периодические не тождественно равные нулю решения системы уравнений (1). Эти решения будут отличны от нуля при 0. чтобы система уравнений (5) имела не нулевые решения необходимо и достаточно, чтобы

(6)

Из условия 5) теоремы и [8], следует существование числа и неособой матрицы , определитель которой не зависит от , , , такой что матрица

(7)

представима в виде

- матрица ((n-2)*(n-2)), det 0 при =0, все элементы матрицы равны нулю. Матрицы , имеют вид

,

Из условия 3) теоремы следует, что функции непрерывны и ограничены по  в S и | |0 при ||||0 равномерно относительно .

Постоянные R< и p < выберем таким образом, чтобы для любой вектор-функции выполнялись неравенства

Определитель матрицы (7) будет равен нулю, если выполняются следующие равенства:

После элементарных преобразований получим

(8)

Введем обозначения

(9)

Учитывая условие 5) теоремы и равенства (8) имеем

(10)

Положим 1=-0 , систему неравенств (10) представим в виде

(11)

Выберем 21 так, чтобы для любых и выполнялись следующие неравенства

(12)

где  >0,  >0.

Систему (11) перепишем в следующем виде , где c=col(,1), , .

Оператор определим равенством

.

Покажем, что оператор является сжимающим в шаре ||c|| 2, т.е. докажем, что для любых принадлежащих шару выполняется неравенство , где 0 < <1.

Рассмотрим

Сделаем оценку, учитывая соотношения (9):

Таким образом, принимая во внимание соотношения (12) получим

где

.

(13)

Аналогично рассмотрим

Сделаем оценку:

Учитывая соотношения (12), получим:

где

.

Тогда

(14)

Из соотношений (13), (14) следует

Если  положить max(P1,P2), то можно выбрать 3 2,  <1,  <1 так, что  будет меньше 1. Следовательно, оператор является сжимающим в шаре ||c|| 3

Покажем, что оператор A преобразует шар ||c|| 4 в себя, т. е. докажем, что имеет место неравенство .

Рассмотрим

Таким образом

(15)

Рассмотрим

Выберем так, чтобы выполнялось неравенство

Следовательно, оператор преобразует шар ||c|| 4 в себя. Таким образом, в шаре ||c|| 4 существует единственная неподвижная точка с* оператора А, которая является решением системы уравнений (10).

Разрешив систему уравнений (10) относительно , 1, представив эти значения в уравнение

получим, что решением этой системы является вектор , (n-1) координата которого равна нулю, а n-ая координата отлична от нуля.

Тогда

(16)

Выберем n-ую координату вектора таким образом, чтобы для любой вектор-функции выполнялось неравенство

Из условий 1), 2), 4) теоремы следует существование такого значения k>0, что для любой вектор-функции существуют единственные  и 1 такие, что выполняются следующие неравенства

Убедимся в этом, для этого рассмотрим

Следовательно, k>0 можно выбрать таким образом, что будет выполняться условие .

Таким образом, получили, что

.

Равенство (16) определяет непрерывный оператор на множестве . Применяя теорему 2, получим, что существуют значения такие, что при любом значении t[0,] выполняются равенства

Следовательно, по теореме 1, является -периодическим решением системы уравнений (1), а следовательно является бифуркационным значением параметра  системы уравнений (1).

Заключение

В данной работе рассматривается автономная система дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, содержащих параметр. Решается задача определения условий существования периодических решений системы дифференциальных уравнений в окрестности нулевого решения. В работе дается определение бифуркационного значения параметра, доказывается общая теорема о существовании периодического решения, сводящая исследование проблемы существования периодического решения системы к исследованию проблемы существования неподвижной точки оператора, содержащего параметр. Получено достаточное условие существования периодических решений системы в случае, когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра имеет нулевые собственные значения.