Дипломная работа

«Асимптотика функции Грина оператора четвертого порядка»

20 страниц

Содержание

Введение 3

Глава 1. 4

1.1. Основные условия на коэффициенты 4

2.1. Асимптотика функции Грина 7

3.1. Вывод асимптотической формулы для 16

Заключение 19

Литература 20

Введение

Одной из основных задач спектральной теории дифференциальных операторов являются задачи исследования поведения собственных значений оператора при или задача исследования асимптотического поведения функции

В дипломной работе рассматривается оператор четвертого порядка

Далее условия. Найдена асимптотика функции Грина , ее следа при . Далее к интегралу

Основным результатом дипломной работы является численные расчеты (см. графики), показывающие, когда на асимптотику функции влияет только коэффициент при нулевой производной и когда влияет оба коэффициента.

Фрагмент работы

Глава 1.

1.1. Основные условия на коэффициенты

Рассмотрим дифференциальный оператор, порожденный на всей числовой оси дифференциальным выражением

(1.1)

Предположим, что характеристический многочлен дифференциального выражения (1.2)

при всех достаточно больших и достаточно больших при всех положителен, т. е. . Далее, предположим, что коэффициенты дифференциального выражения и корни его характеристического многочлена на протяжении настоящей главы удовлетворяют следующим основным условиям.

Существуют такие положительные постоянные А и В, что

3) и при

где и

4) ,

где - некоторая постоянная, зависящая от характеристических корней , и определяется ниже;

5) ;

6) функция суммируема, т. е.

7) при всех

Заметим, теперь, что из условий 1) и 2) следует, что при всех

(1.3)

(1.4)

В самом деле, из условия 1) получаем

Аналогично из условия 2) имеем

Откуда

тем более . (1.5)

И, наконец, из равенства

и неравенства (1.3) получаем при . (1.6)

Обозначим через функцию Грина оператора с «замороженными» коэффициентами

Вычислим функцию . Эта функция удовлетворяет следующему уравнению:

функция Дирака. Применяя преобразование Фурье к обеим частям последнего равенства, находим

А теперь, взяв обратное преобразование Фурье, отсюда получаем что

Вычисляя этот интеграл при помощи вычетов, имеем

где – характеристические корни, у которых .

К условиям 1) – 7) присоединим еще одно условие. Потребуем, чтобы для функции было выполнено условие

Характер наложенных условий 1) – 8) весьма понятен. Мы требуем, чтобы все корни характеристического многочлена были в «одну силу» и без «вырождения».

Читать далееСвернуть

Заключение

При исследовании спектральных свойств обыкновенных дифференциальных операторов возникает вопрос о вкладе коэффициентов дифференциального выражения в асимптотику спектра оператора.

В дипломной работе исследуется вопрос о влиянии коэффициентов дифференциального оператора четвертого порядка в асимптотику спектра. Приведены численные расчеты.

Список литературы

1) Костюченко А. Г., Саргсян И. С., Распределение собственных значений, M., 1979

2) Сударев Ю. Н., О некоторых спектральных асимптотических свойствах сингулярных операторов, Математические заметки, т. 4, № 2 (1968), 168-172

Покупка готовой работы

	Тема:	«Асимптотика функции Грина оператора четвертого порядка»
	Раздел:	Математика
	Тип:	Дипломная работа
	Страниц:	20
	Цена:	1300 руб.