«Исследование одной системы дифференциальных уравнений»

Настоящая работа состоит в получении достаточных условий существования периодических решений системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящих от параметра, близких к нулю при малых значениях параметра.

Основными методами, применяемыми в работе для определения условий существования бифуркационного значения параметра системы дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом, зависящих от параметра, является метод неподвижной точки оператора, метод сжимающих отображений.

Определение. Вектор μ0 назовем бифуркационным значением параметра μ системы (1), если каждому соответствует такой вектор μ, который удовлетворяет неравенству и при котором система (1) имеет ненулевое ω - периодическое решение, удовлетворяющее неравенству при любом .

Введем обозначения:

, ,

, ,

где – вектор-функция, определенная на .

Пусть некоторые постоянные числа.

Будем говорить, что матрица F, вектор-функции Т, N удовлетворяют условию Н, если:

1) матрица на множестве определена, непрерывна по совокупности аргументов, ω - периодична по t и удовлетворяет условию Липшица по переменным t, z, θ, u соответственно с постоянными k1, k2, k3, k4;

2) вектор-функция на множестве определена, непрерывна по совокупности аргументов, ω - периодична по t и удовлетворяет условию Липшица по переменным t, z, q соответственно с постоянными s1, s2, s3;

3) вектор-функция на множестве определена, непрерывна по совокупности аргументов, ω - периодична по t и удовлетворяет условию Липшица по переменным t, z, q соответственно с постоянными r1, r2, r3.

Если матрица удовлетворяет условию Н, то система (1) имеет нулевое решение при всех значениях параметра μ и .

Символом обозначим множество всех непрерывно-дифференцируемых на I, ω - периодических по t вектор-функций , для которых при любом t выполняются неравенства .

Пусть – множество постоянных векторов γ, удовлетворяющих условию .

Одновременно с системой (1) рассмотрим систему уравнений

, (2)

где , .

Пусть фундаментальная матрица решения системы (2) и такая, что .

Любое решение системы (2) определяется равенством

, (3)

где некоторый постоянный вектор.

Теорема 1.Неподвижные точки оператора (3) во множестве являются ω - периодическими решениями системы уравнений (1).

Доказательство. Пусть неподвижная точка оператора (3). Возьмем вектор-функцию и подставим ее в матрицу в системе (1), получим систему (2), решение которой определяется равенством (3). Так как вектор-функция удовлетворяет равенству (3), то, следовательно, является решением системы (2). Подставив в систему уравнений (2) , получим, что удовлетворяет системе уравнений (1). Следовательно, вектор-функция является ω - периодическим решением системы уравнений (1). Теорема доказана.

Теорема2.Пусть

1) и некоторые непустые замкнутые компактные множества некоторых линейных нормированных пространств, – выпуклое множество;

2) на подмножестве множества определен оператор такой, что для любого существует единственное , удовлетворяющее включению ;

3) из того, что следует, что .

Тогда существуют , удовлетворяющие равенству .

Доказательство. Пусть – произвольное положительное число. Так как множество компактно, то существует конечная - сеть для этого множества, причем .

Рассмотрим функции и , определенные на множестве равенствами

,

.

Функции непрерывны и неотрицательны на , причем для каждого найдется хотя бы одно i, что , поэтому функции непрерывны на . Так как , то согласно условию 2) существует единственное , что . Обозначим . Непрерывное отображение определим равенством

поэтому из выпуклости множества следует, что .

Таким образом, при любом k непрерывное отображение переводит выпуклое компактное множество в себя, и поэтому по теореме Шаудера о неподвижной точке существует , что .

Из условия 2) получаем для каждого единственное , что . Из компактности множеств и следует существование последовательностей таких, что

.

В силу замкнутости множеств и получаем . Пусть произвольно, тогда существует такой номер N, что при любых выполняются неравенства

.

Рассмотрим те значения i, для которых и тогда при

.

Из условия 3) следует, что для любого существует такое, что как только , то . Обозначим и найдем номер N1 , что при всех и i, при которых , и, следовательно, .

Тогда из равенства

следует, что есть выпуклая комбинация тех , для которых , поэтому .

Переходя к пределу при и учитывая произвольность σ, получим, что . Теорема доказана.

ГЛАВА II. СУЩЕСТВОВАНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ СИСТЕМЫ (1) ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В СЛУЧАЕ, КОГДА МАТРИЦА ЛИНЕЙНОГО ПРИБЛИЖЕНИЯ ПРИ КРИТИЧЕСКОМ ЗНАЧЕНИИ ПАРАМЕТРА ИМЕЕТ НУЛЕВЫЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

В данной главе на основании теоремы 1 при определенных условиях дается решение проблемы существования периодических решений системы (1) в случае, когда матрица линейного приближения при критическом значении параметра имеет нулевые собственные значения.

Пусть матрица имеет действительные собственные значения и с помощью неособого линейного преобразования матрица представима в виде

,

где - матрица.

Будем считать, что искомое преобразование уже выполнено и искомые функции, матрицу и нелинейные члены будем обозначать прежними буквами.

Теорема3. Пусть числа и таковы, что

1) на множестве D выполняется неравенство ;

2) матрица F, вектор-функции T, N удовлетворяют условию Н;

3) матрица имеет вид , где функции непрерывны по t и μ имеют непрерывные производные по t и μ в D;

4) , где , , ;

5) в системе (1) непрерывные функции векторного аргумента , определенные в , и такие, что , при , – непрерывно-дифференцируемые по μ функции, ;

6) матрица неособенная.

Тогда – бифуркационное значение параметра системы (1).

Доказательство. Пусть выполняются условия теоремы 1. Сведем задачу нахождения периодического решения системы (1) к нахождению периодического решения системы (2).

Матрица решений системы (2) представима в виде

, (4)

где – матрица решений системы , а матрица является решением дифференциального уравнения

, (5)

причем равномерно по t, μ при .

Пусть – множество всех вектор-функций и таких, что для любых , , где некоторое постоянное число, .

Множество выпуклое, замкнутое, компактное.

Пусть – произвольное число. Выберем и зафиксируем некоторую вектор-функцию . Подставим в матрицу системы (1), получим систему (2), решение которой определяется равенством (3).

Если вектор-функция, удовлетворяющая равенству (3), то она является решением системы (2).

Найдем условия, при которых вектор-функция , определяемая равенством (3), удовлетворяет условиям ,

, (6)

где – некоторый постоянный вектор.

Нас интересуют ω - периодические не тождественно равные нулю решения системы (1). Эти решения будут отличны от нуля при . Чтобы система уравнений (6) имела ненулевые относительно решения необходимо и достаточно, чтобы

. (7)

Из условия 5) теоремы следует существование числа и матрицы с отличным от нуля, независящим от ω, μ, φ определителем, таких, что для всех n–й столбец матрицы

(8)

имеет вид

Функции непрерывны и ограничены в D по переменной μ и имеют ограниченные частные производные по μ в D, причем при равномерно относительно ω, μ.

Выберем таким образом, чтобы для любой вектор-функции выполнялись неравенства

. (9)

Определитель матрицы (8) будет равен нулю, если выполняются следующие равенства

Учитывая условия 5) теоремы, имеем

Перепишем данную систему уравнений, используя условие 6) теоремы, получим

, где , .

Так как матрица В неособенная, имеем

. (10)

Рассмотрим оператор , который определим следующим образом

. (11)

Оператор является сжимающим в шаре . Докажем, что для любых , , принадлежащих шару , выполняется неравенство

,

где .

Для того чтобы показать, что выполняется данное неравенство, заметим

.

Рассмотрим

, (12)

.

Учитывая неравенство (12), получим

.

Выберем и так, чтобы для всех β1, удовлетворяющих условию и выполнялось неравенство

.

Следовательно, оператор является сжимающим в шаре .

Покажем, что оператор (11) преобразует некоторый шар в себя.

Действительно, пусть , рассмотрим . Очевидно

.

Выберем так, чтобы для любого β2 из будет выполняться неравенство

.

Таким образом, при и оператор преобразует шар в себя и является сжимающим.

Следовательно, в шаре существует единственная неподвижная точка μ* оператора (11), которая является решением системы уравнений (10).

Разрешив систему уравнений (10) относительно μ и подставив значение μ в систему

сведем эту систему уравнений к системе уравнений, n-й столбец матрицы которой состоит из одних нулей. Решением такой системы является вектор , первые (п-1)-координаты которого равны нулю, а п-я координата отлична от нуля.

Имеем

, . (13)

В силу произвольности вектор-функции получим, что для любой вектор-функции существует единственное , удовлетворяющее системе уравнений (10).

Выберем п-ю координату вектора таким образом, чтобы для любой вектор-функции выполнялось неравенство

.

Тогда равенство

(14)

определяет непрерывный оператор на множестве .

Из условий 1), 2), 4) теоремы следует существование такого , что для любой вектор-функции существует единственное такое, что выполняются следующие условия

, ,

.

Убедимся, что такой выбор числа возможен, для этого рассмотрим

.

Таким образом, имеем

.

Получили, что можно выбрать таким, чтобы было выполнено условие .

Следовательно, получили, что . Применяя теорему 2 получили, что существуют вектор-функция и вектор-параметр такие, что при любом

(16)

и выполняется равенство

. (17)

По теореме 1 является ω - периодическим решением системы (1). А это значит, что – бифуркационное значение параметра μ системы (1). Теорема доказана.